212解一元二次方程基础训练 ●双基演练 1.分解因式 (1)x2-4x= (2)x2-x(x-2)= (3)m29= (4)(x+1)2-16= 2.方程(2x+1)(x-5)=0的解是 3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是 4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于 5.已知y=x2+x6,当x 时,y的值为0;当x 时,y的值等 于24. 6.方程x2+2axb2+a2=0的解为 7.若(2x+3y)2+3(2x+3y)-4=0,则2x+3y的值为 8.方程x(x+1)(x-2)=0的根是() B.1,-2C.0,-1,2 9.若关于x的一元二次方程的根分别为5,7,则该方程可以为() A.(x+5)(x-7)=0 B.(x-5)(x+7)=0 C.(x+5)(x+7)=0 D.(x-5)(x-7)=0 10.已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的是() A.只有一个根x=4B.只有一个根x=0 C.有两个根x1=0,x2 D.有两个根 11.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是() A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.分解因式法 .方程(x+4)(x-5)=1的根为() A.x=4 C.x1=4,x2=5D.以上结论都不对 13.用适当的方法解下列方程 (3)x(2x-3)=(3x+2)(2x-3)(4)(x-1)22(x2-1)=0 第1页
第 1 页 21.2 解一元二次方程 基础训练 ⚫ 双基演练 1．分解因式： （1）x 2 -4x=_________；（2）x-2-x（x-2）=________ （3）m2 -9=________；（4）（x+1）2 -16=________ 2．方程（2x+1）（x-5）=0 的解是_________ 3．方程 2x（x-2）=3（x-2）的解是___________ 4．方程（x-1）（x-2）=0 的两根为 x1·x2，且 x1>x2，则 x1-2x2 的值等于_______ 5．已知 y=x2+x-6，当 x=________时，y 的值为 0；当 x=________时，y 的值等 于 24． 6．方程 x 2+2ax-b 2+a2=0 的解为__________． 7．若（2x+3y）2+3（2x+3y）-4=0，则 2x+3y 的值为_________． 8．方程 x（x+1）（x-2）=0 的根是（） A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，2 9．若关于 x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（） A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0 C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=0 10．已知方程 4x2 -3x=0，下列说法正确的是（） A．只有一个根 x= B．只有一个根 x=0 C．有两个根 x1=0，x2= D．有两个根 x1=0，x2=- 11．解方程 2（5x-1）2=3（5x-1）的最适当的方法是（） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．分解因式法 12．方程（x+4）（x-5）=1 的根为（） A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对 13．用适当的方法解下列方程． （1）x 2 -2x-2=0 （2）（y-5）(y+7）=0 （3）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）（4）（x-1）2 -2（x 2 -1）=0 3 4 3 4 3 4
(5)2x2+1=2√3x (6)2(t-1)2+t=1 能力提升 15.方程x2=|x的根是 16.方程2x(x-3)=7(3-x)的根是() 3,x2= 17.实数a、b满足(a+b)2+a+b-2=0,则(a+b)2的值为() A.4B.1C.2或1D.4或1 18.阅读下题的解答过程,请判断是否有错,·若有错误请你在其右边写出正确 的解答 已知:m是关于ⅹ的方程mx-2x+m=0的一个根,求m的值. 解:把ⅹ=m代入原方程,·化简得m3=m,两边同除以m,得m2=1, ∴m=1,把m=1代入原方程检验可知:m=1符合题意.· 答:m的值是1 19.若规定两数a、b通过“※”运算,得到4ab,即a※b=4ab,例如2※ 6=4·×2·×6=48 (1)求3※5的值 (2)求x※x+2※x2※4=0中x的值 (3)若无论x是什么数,总有a※xx,求a的值 作用. 聚焦中考 20.(南宁)方程x2-x=0的解为 21.(内江)方程ⅹ(x+1)=3(x+1)的解的情况是() Bx=3Cx1=-1x2=3D以上答案都不对 22.(兰州)在实数范围内定义一种运算“★”,其规则为a★b=a2-b2,根据这 个规则,方程(x+2)5=0的解为 23.(北京海淀)已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程: 第2页
第 2 页 （5）2x2+1=2 x （6）2（t-1）2+t=1 ⚫ 能力提升 14．（x 2+y2 -1）2=4，则 x 2+y2=_______． 15．方程 x 2=│x│的根是__________． 16．方程 2x（x-3）=7（3-x）的根是（） A．x=3 B．x= C．x1=3，x2= D．x1=3，x2=- 17．实数 a、b 满足（a+b）2+a+b-2=0，则（a+b）2 的值为（） A．4 B．1 C．-2 或 1 D．4 或 1 18．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，• 若有错误请你在其右边写出正确 的解答． 已知：m 是关于 x 的方程 mx-2x+m=0 的一个根，求 m 的值． 解：把 x=m 代入原方程，• 化简得 m3=m，两边同除以 m，得 m2=1， ∴m=1，把 m=1 代入原方程检验可知：m=1 符合题意．• 答：m 的值是 1． 19．若规定两数 a、b 通过“※”运算，得到 4ab，即 a※b=4ab，例如 2※ 6=4• ×2• ×6=48 （1）求 3※5 的值； （2）求 x※x+2※x-2※4=0 中 x 的值； （3）若无论 x 是什么数，总有 a※x=x，求 a 的值． 作用． ⚫ 聚焦中考 20．（南宁）方程 的解为 ． 21．（内江）方程 x（x+1）=3（x+1）的解的情况是（） A．x=-1 B.x=3 C. D.以上答案都不对 22．（兰州）在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为 ，根据这 个规则，方程 的解为。 23．（北京海淀）已知下列 n（n 为正整数）个关于 x 的一元二次方程： 3 7 2 7 2 7 2 2 x x − = 0 x1 = −1, x2 = 3 2 2 a＊b = a − b (x + 2)＊5 = 0
(1)请解上述一元二次方程、、、; (2)请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可。 谷案: 1.略2.x1=,x2=53.x1=2,x2=4.05.-3或2,-6或5 6.x1=a-b,x2=a+b7.·4或18.C9.A10.C11.D12.D 13.(1)x=1√;(2)y1=5,y2=7:(3)x1=3,x=1 (4)x1=3,x2=1;(5)x= 2:(6)t1=1,t2=· 14.315.0,±116 D 18.有错,正确的解答为:把ⅹ=m代入原方程,化简得m3-m=0, ∴m(m+1)(m-1)=0, ∴m=0或m+1=0或m-1=0, ∴m=0,m2=-1,m3=1, 将m的三个值代入方程检验,均符合题意 故m的值是0,-1,1 19.(1)3※5=4×3×5=60, (2)由x※x+2※x-2※4=0得4x2+8x-32=0,即x2+2x-8=0 (3)由a*x=x得4ax=a,无论x为何值总有4ax=x, 20.X1=0,x2=121.C 22.x=3或x=-7; 23.解:(1)(x+1)x-1)=0,所以x1=-1,x2=1 (x+2)(x-1)=0,所以x1=-2,x2 (x+3)x-1)=0,所以x=-3,x2=1 (x+n)(x-1)=0,所以x1 第3页
第 3 页 （1）请解上述一元二次方程、、、； （2）请你指出这 n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。 答案: 1．略 2．x1= ，x2=5 3．x1=2，x2= 4．0 5．-3 或 2，-6 或 5 6．x1=-a-b，x2=-a+b 7．-• 4 或 1 8．C 9．A 10．C 11．D 12．D 13．（1）x=1± ；（2）y1=5，y2=-7；（3）x1= ，x2=-1； （4）x1=-3，x2=1；（5）x= ；（6）t1=1，t2= • 14．3 15．0，±1 16．D 17．D 18．有错，正确的解答为：把 x=m 代入原方程，化简得 m3 -m=0， ∴m（m+1）（m-1）=0，• ∴m=0 或 m+1=0 或 m-1=0， ∴m1=0，m2=-1，m3=1， 将 m 的三个值代入方程检验，均符合题意，• 故 m 的值是 0，-1，1． 19．（1）3※5=4×3×5=60， （2）由 x※x+2※x-2※4=0 得 4x2+8x-32=0，即 x 2+2x-8=0， ∴x1=2，x2=-4， （3）由 a*x=x 得 4ax=a，无论 x 为何值总有 4ax=x， ∴a= ． 20．x1=0，x2=1 21．C 22． 或 ； 23．解：（1） (x +1)(x −1) = 0 ，所以 x x 1 = −1， 2 = 1 (x + 2)(x −1) = 0 ，所以 x x 1 = −2， 2 = 1 (x + 3)(x −1) = 0 ，所以 x x 1 = −3， 2 = 1 (x + n)(x −1) = 0 ，所以 x n x 1 = − ， 2 = 1 1 2 3 2 3 3 2 3 1 2 1 2 1 4 x = 3 x =−7
212解一元二次方程拓展训练 1.方程x2+3x=0的解是() B C.x1=0,x2=-3 2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中,配方正确的是() A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.(x-2)2=9 3.方程(x2)2=9的解是() 1,x2=-7 11. 7 4.三角形一边长为10,另两边长是方程x2-14x+48=0的两根,则这个三角形 是() A.等边三角形B等腰三角形C.直角三角形D等腰直角三角形 5.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根 则这个直角三角形的斜边长是() B.3 C.6 D.9 6.已知关于x的方程x2-2x+k=0有实数根,则k的取值范围是() A k1 7.下列方程中,有实数根的是() A.2x2+x+1=0 B.x2+3x+21=0 C.x2-0.1x-1=0 D.x2-2√2x+3=0 8.关于x的一元二次方程x2-mx+(m-2)=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D无法确定 9.若分成 的值为0,则 x+1 10.解下列方程 (1)3-(3x-1)2=0: (2)x(x-5)+6=0 (3)9x2-12x+4=0 (4)(x-1)2-4(x+3)2=0. 1l已知ab,c是△ABC的三边长,且方程(a2+b2)x2-2cx+1=0有两个相等 第4页
第 4 页 21.2 解一元二次方程 拓展训练 1. 方程 x 2＋3x＝0 的解是（ ） A.x1＝－3 B. x1＝0, x2＝3 C. x1＝0, x2＝－3 D. x＝3 2. 用配方法解一元二次方程 x 2－4x＝5 的过程中，配方正确的是（ ） A.（x＋2）2＝1 B. （x－2）2＝1 C. （x＋2）2＝9 D. （x－2）2＝9 3. 方程（x-2）2＝9 的解是（ ） A. x1＝5, x2＝－1 B. x1＝－5, x2＝1 C. x1＝11, x2＝－7 D. x1＝－11, x2＝7 4. 三角形一边长为 10，另两边长是方程 x 2－14x＋48＝0 的两根，则这个三角形 是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x 2－8x＋7＝0 的两个根， 则这个直角三角形的斜边长是（ ） A. 3 B.3 C.6 D.9 6. 已知关于 x 的方程 x 2－2x＋k＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A.k＜1 B. k≤1 C. k≤－1 D. k≥1 7. 下列方程中，有实数根的是（ ） A. 2x 2＋x＋1＝0 B. x 2＋3x＋21＝0 C. x 2－0.1x－1＝0 D. x 2－2 2 x＋3＝0 8. 关于 x 的一元二次方程 x 2－mx＋(m－2)＝0 的根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 9. 若分成 2 7 8 1 x x x − − + 的值为 0，则 x＝ . 10. 解下列方程. （1）3－（3x－1）2＝0； （2）x(x－5)＋6＝0； （3）9x 2－12x＋4＝0； （4）(x－1)2－4（x＋3）2＝0. 11.已知 a,b，c 是△ABC 的三边长，且方程（a 2＋b 2）x 2－2cx＋1＝0 有两个相等
的实数根,请你判断△ABC的形状 12.某村计划建造如图所示的矩表蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室前 侧内墙保留3m宽的空地,其他三侧内墙各保留1m宽的通道,当矩形温室的 长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积为288m2? 第5页
第 5 页 的实数根，请你判断△ABC 的形状. 12.某村计划建造如图所示的矩表蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室前 侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留 1m 宽的通道，当矩形温室的 长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积为 288m2?
参考答案 lC[提示:用因式分解法解比较简便] 2D[提示:x2-4x=5,x2-4x+4=9,∴(x-2)2=9 3.A 4C[提示:解方程x2-14x+48=0,得x=6,x=8,∴三解形的三边长分别为 10,8,6,∵102=62+82,∴是直角三角形 5B提示:有两种解法,其一是由22-8x+7=0求出田直角三角 形两直角这长分别为4y24√2,由勾股定理求得这个三角形的斜边长:其 2 二是利用一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理求直角三角形的斜边长,设 方程22-8x+7=0的两根为x1,x,由根与系数的关系可知x+x=4,x12=7 则这个直角三解形的斜边长为+x=√x+x)-2x=-2×=31 6B[提示:由题意可知△=(-2)2-4×1×k0,所以k1 7C[提示:根据根的判别式判定] 8B[提示:△=b2-4ac=m2-4(m-2)=m2-4m+8=m2-4m+4+4 (m-2)2+4>0,所以方程有两个不相等的实数根 9.8提示:由题意可知x2-7x-8=0,且x+1≠0,所以x=8 10.(1)解:3-(3x-1)}=0.移项得(3x-1)2=3,开方得3x-1=±3 3x-1=5或3x-1=5,∴原方程的根为x=1+,x=1-5 (2)解:x(x-5)+6=0,原方程化为x2-5x+6=0,因式分解 得(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0,或x-3=0,∴x1=2x2=3 (3)解:9x2-12x+4=0,原方程化为(3x-2)2=0,∴原方程的根为x1=x23 (4)解法1:(x-1)2-4(x+3)2=0,原方程化为[(x-1)+2x+3)[(x-1) 2(x+3)=0,即(3x+5).(-x-7)=0,∴3x+5=0,或-x-7=0, ∴原方程的根为x1=一,x2=-7 第6页
第 6 页 参考答案 1.C [提示：用因式分解法解比较简便.] 2.D [提示：x 2－4x＝5，x 2－4x＋4＝9，∴（x－2）2＝9.] 3.A 4.C [提示：解方程 x 2－14x＋48＝0，得 x1＝6，x2＝8，∴三解形的三边长分别为 10，8，6，∵102＝6 2＋8 2 ,∴是直角三角形.] 5.B [提示：有两种解法，其一是由 2x 2－8x＋7＝0 求出 x＝ 4 2 2 ，即直角三角 形两直角这长分别为 4 2 4 2 , 2 2 + − ，由勾股定理求得这个三角形的斜边长；其 二是利用一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理求直角三角形的斜边长，设 方程 2x 2－8x＋7＝0 的两根为 x1，x2，由根与系数的关系可知 x1＋x2＝4，x1x2＝ 7 2 ， 则这个直角三解形的斜边长为 2 2 1 2 x x + ＝ 2 2 1 2 1 2 7 ( ) 2 4 2 3. 2 x x x x + − = − = ] 6.B [提示：由题意可知 Δ＝（－2）2－4×1×k≥0，所以 k≤1.] 7.C [提示：根据根的判别式判定.] 8.B [提示：Δ＝b 2－4ac＝m2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝m2－4m＋4＋4＝ （m－2）2＋4＞0，所以方程有两个不相等的实数根.] 9.8 [提示：由题意可知 x 2－7x－8＝0，且 x＋1≠0，所以 x＝8.] 10.（1）解：3－(3x－1)2＝0,移项得（3x－1）2＝3,开方得 3x－1＝± 3 ， ∴3x－1＝ 3 ,或 3x－1＝ 3 ，∴原方程的根为 x1＝ 1 3 3 + ，x2＝ 1 3 3 − . （2）解：x(x－5)＋6＝0，原方程化为 x 2－5x＋6＝0，因式分解， 得（x－2）(x－3)＝0，∴x－2＝0，或 x－3＝0，∴x1＝2,x2＝3. （3）解：9x 2－12x＋4＝0,原方程化为（3x－2）2＝0, ∴原方程的根为 x1＝x2＝ 2 3 . （4）解法 1：（x－1）2－4(x＋3)2＝0,原方程化为[（x－1）＋2(x＋3)][（x－1） －2(x＋3)]＝0，即（3x＋5）·（－x－7）＝0，∴3x＋5＝0，或－x－7＝0， ∴原方程的根为 x1＝－ 5 3 , x2＝－7
解法2:由(x-1)2-4(x+3)2=0,得(x-1)2=4(x+3)2,直接开平方, 得x-1=±2(x+3),∴x-1=2(x+3),或x-1=-2(x+3), ∴原方程的根为x1=-7x2= 解法3:原方程化为3x2+26x+35=0,a=3b=26c=35 b2-4ac=262-4×3×25=256>0,∴x≈-26±√256_-26±16 ∴原方程的根为x= 1l.解:△ABC是以c为斜边的直角三角形,理由如下:∵方程(a2+b22-2cx+1=0 有两个相等的实数根,∴A=(-2c)2-4(a2+b2)=0,∴c2=a2+b2,由勾股定理的 逆定理可知△ABC是以c为斜边的直角三角形 12.解:设矩形温室的宽为m,则长为2m,根据题意,得(x-2)(2x-4)=288, 解得x=14x2=-10(不合题意,舍去),所以x=14,2x=28答:当矩形温室的 长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积为288m2 第7页
第 7 页 解法 2：由（x－1）2－4（x＋3）2＝0，得（x－1）2＝4（x＋3）2 , 直接开平方， 得 x－1＝±2（x＋3），∴x－1＝2(x＋3), 或 x－1＝－2(x＋3)， ∴原方程的根为 x1＝－7,x2＝－ 5 3 . 解法 3：原方程化为 3x 2＋26x＋35＝0,∵a=3 b=26 c=35 ∴b 2－4ac＝262－4×3×25＝256＞0，∴x＝ 26 256 2 3 − ＝ 26 16 6 − , ∴原方程的根为 x1＝－ 5 3 , x1＝－7. 11. 解：△ABC 是以 c 为斜边的直角三角形，理由如下: ∵方程(a 2＋b 2 )x 2－2cx＋1＝0 有两个相等的实数根，∴Δ＝（－2c）2－4(a 2＋b 2 )＝0，∴c 2＝a 2＋b 2 ,由勾股定理的 逆定理可知△ABC 是以 c 为斜边的直角三角形. 12. 解：设矩形温室的宽为 xm,则长为 2xm，根据题意，得(x－2)（2x－4）＝288， 解得 x1＝14,x2＝－10(不合题意，舍去)，所以 x＝14，2x＝28.答：当矩形温室的 长为 28m，宽为 14m 时，蔬菜种植区域的面积为 288m2