第2课时用配方法解一元二次方程 ※教学目标※ 【知识与技能】 会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 【过程与方法】 1.理解配方法:知道“配方”是一种常用的数学方法 2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤 【情感态度】 1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增 强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣 2.能根据具体问题的实际意义,验证结果的合理性 【教学重点】 用配方法解一元二次方程 【教学难点】 理解配方法的基本过程 ※教学过程※ 一、问题导入 问题1下列各题中的括号内应填入怎样的数?谈谈你的看法 (1)x28x+(x-)2 (2)9x2+12x+(3x+)2 (3)x2+ 问题2若4x2-mx+9是一个完全平方公式,那么m的值是 问题3要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽分别是 多少? 设场地的宽为m,则长为 ,根据矩形面积为16m2,得到方程 整理得到 探索新知 探究问题 怎样解方程x2+6x-16=0? 对比这个方程与x2+6x+9=2可以发现,方程x2+6x+9=2的左边是含有x的完全平方 形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接 降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗? 解:移项,得x2+6x=16 两边都加上_9,即據,使左边配成x2+2bx+b2的形式,得x2+6x+9=16+9 左边写成平方形式,得(x+3)2=25 开平方,得x+3=?5(降次)
1 拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。 第 2 课时 用配方法解一元二次方程 ※教学目标※ 【知识与技能】 会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 【过程与方法】 1.理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法. 2.了解用配方法解一元二次方程的基本步骤. 【情感态度】 1.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增 强他们的数学应用意识和能力，激发学生的学习兴趣． 2.能根据具体问题的实际意义，验证结果的合理性． 【教学重点】 用配方法解一元二次方程． 【教学难点】 理解配方法的基本过程． ※教学过程※ 一、问题导入 问题 1 下列各题中的括号内应填入怎样的数？谈谈你的看法. （1） 2 x x - + 8 = ( x - ) 2 ； （2） 2 9 12 x x + + = (3x + ) 2 ； （3） 2 x px + + = ( x + ) 2 . 问题 2 若 2 4 9 x mx - + 是一个完全平方公式，那么 m 的值是 . 问题 3 要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积为 16 m 2，场地的长和宽分别是 多少？ 设场地的宽为 xm，则长为 m，根据矩形面积为 16 m 2，得到方程 ， 整理得到 . 二、探索新知 探究问题 怎样解方程 2 x x + - = 6 16 0 ？ 对比这个方程与 2 x x + + = 6 9 2 可以发现，方程 2 x x + + = 6 9 2 的左边是含有 x 的完全平方 形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 2 x x + - = 6 16 0 不具有上述形式，直接 降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？ 解：移项，得 2 x x + = 6 16 . 两边都加上 9 ，即 2 6 2 骣琪琪桫 ，使左边配成 2 2 x bx b + + 2 的形式，得 2 x x + + 6 9=16+9. 左边写成平方形式，得 ( ) 2 x + = 3 25 . 开平方，得 x + =? 3 5 （降次）
即x+3=5或x+3=-5 解一元一次方程,得x 可以验证,2和-8是方程x2+6x-16=0的两根,但是场地的宽不能是负值,所以 场地的宽是2米,长是8米 学生思考 1.以上解法中,为什么在方程x2+6x-16=0两边加9?其他数可以吗? 2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1,还能用配方法解这个一元二次方程吗? 谈谈你的看法,并尝试解方程x2+x-3=0 归纳总结 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.配方是为了降次,把 个一元二次方程转化程两个一元一次方程来解. 掌握新知 例解下列方程:(1)x2-8x+1=0:(2)2x2+1=3x:(3)3x2-6x+4=0 分析:对于(2)、(3)中的方程,可先将未知数的项放在等号左边,常数项移至等号 的右边后,再根据等式性质将二次项系数化为1,从而转化为形如x2+mx=n的方程,利用 配方法可求出方程的解 解:(1)移项,得x2-8x=-1·配方,得x2-8x+42=-1+42,(x:4)2=15.由此可得 x-4=?√15,x=4+√5,x2=4-√15 (2)移项,得2x2-3x=-1.二次项系数化为1,得x2.3x=1.配方,得 2.2-最·善+2-1由此可得x￥,x1 (3)移项,得3x2-6x=-4.二次项系数化为1,得x2-2 配方,得 x2-2x+12-4+P,(x-12=}因为实数的平方根不会是负数,所以x取任何实数时 (x-1)2都是非负数,上式都不成立,即原方程无实数根 归纳总结 般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+m)2=p(Ⅱ)的形式,那么就有 (1)当D0时,方程(Ⅱ)有两个不相等的实数根x=-nV,x2=-n+V (2)当p0时,方程(Ⅱ)有两个相等的实数根x1=x2=-n (3)当K0时,因为对任意实数x,都有(x+n)2?0,所以方程(Ⅱ)无实数根 试一试师生共同完成教材第9页练习 四、巩固练习 1.将二次三项式x2-4x+1配方后得()
2 即 x + =3 5 或 x + = - 3 5 . 解一元一次方程，得 1 x = 2 ， 2 x = -8 . 可以验证，2 和-8 是方程 2 x x + - = 6 16 0 的两根，但是场地的宽不能是负值，所以 场地的宽是 2 米，长是 8 米. 学生思考 1.以上解法中，为什么在方程 2 x x + - = 6 16 0 两边加 9？其他数可以吗？ 2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是 1，还能用配方法解这个一元二次方程吗？ 谈谈你的看法，并尝试解方程 1 2 3 0 2 x x + - = . 归纳总结 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.配方是为了降次，把一 个一元二次方程转化程两个一元一次方程来解. 三、掌握新知 例 解下列方程：（1） 2 x x - + = 8 1 0 ；（2） 2 2 1 3 x x + = ；（3） 2 3 6 4 0 x x - + = . 分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号 的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为 1，从而转化为形如 2 x mx n + = 的方程，利用 配方法可求出方程的解. 解：（1）移项，得 2 x x - = - 8 1 ．配方，得 2 2 2 x x - + = - + 8 4 1 4 ，( ) 2 x - = 4 15 .由此可得 x - = ? 4 15 ， 1 2 x x = + = - 4 15, 4 15 . （2）移项，得 2 2 3 1 x x - = - .二次项系数化为 1，得 2 3 1 2 2 x x - = - ．配方，得 2 2 2 3 3 1 3 2 4 2 4 x x 骣 骣 - + = - + 琪 琪 琪 琪 桫 桫 ， 2 3 1 4 16 x 骣琪琪 - = 桫 .由此可得 3 1 4 4 x - = ? ， 1 2 1 1, 2 x x = = . （3）移项，得 2 3 6 4 x x - = - .二次项系数化为 1，得 2 4 2 3 x x - = - .配方，得 2 2 2 4 2 1 1 3 x x - + = - + ，( ) 2 1 1 3 x - = - .因为实数的平方根不会是负数，所以 x 取任何实数时， ( ) 2 x - 1 都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根. 归纳总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ( ) 2 x n p + = （Ⅱ）的形式，那么就有： （1）当 p>0 时，方程（Ⅱ）有两个不相等的实数根 1 x n p = - - ， 2 x n p = - + ； （2）当 p=0 时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根 1 2 x x n = = - ； （3）当 p<0 时，因为对任意实数 x，都有 ( ) 2 x n+ ? 0 ，所以方程（Ⅱ）无实数根. 试一试 师生共同完成教材第 9 页练习. 四、巩固练习 1.将二次三项式 2 x x - + 4 1 配方后得（ ）
A.(x-2)+3 B. 2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是() A.x2-8x+(-4)2=31B.x2-8x+-42=1 C.x2+8x+42=1 D. 4x+4=-11 3.如果m2+232m)x+3m:2=0(m?0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等 A.1 C.1或9 D.-1或9 4.方程x2+4x-5=0的解是 5.代数式(x-2)(x+1)的值为0,则x的值为 要使一块长方形木板的长比宽多3dm,其面积为28dm2,试求这块长方形木板的长与宽 各是多少 答案:1.B2.B3.C4.略5.2 6.设长方形木板的宽为xdm,则长为(x+3)dm.根据题意,得x(x+3)=28 故长方形木板的长为7dm,宽为4dm 五、归纳小结 1.通过本节课的学习,你能用配方法解一元二次方程吗?有哪些需要注意的地方? 2.用配方法解一元二次方程涉及那些数学思想方法? ※布置作业※ 从教材习题21.2中选取 ※教学反思※ 1.本节课重在学生的自主参与,进而获得成功的体验,在数学方法上,仍突出数学研究 中转化的思想,激发学生产生合理的认识冲突,激发兴趣,建立自信 2.在练习内容上,有所改进,加强了核心知识的理解与巩固,提高自己解决问题的能力 感受教学创造的乐趣,提高教学效果 3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法,后面的求根公式是在配 方法的基础上推出的,配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切,用配方法解一 元二次方程既是对原来知识的巩固,又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求 解中也同样使用的是配方法,因此配方法是一种基本的数学解题方法
3 A. ( ) 2 x - + 2 3 B.( ) 2 x - - 2 3 C.( ) 2 x + + 2 3 D.( ) 2 x + - 2 3 2.已知 2 x x - + = 8 15 0 ，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ） A. ( ) 2 2 x x - + - = 8 4 31 B. ( ) 2 2 x x - + - = 8 4 1 C. 2 2 x x + + = 8 4 1? D. 2 x x - + = - 4 4 11 3.如果 ( ) ( ) 2 mx m x m m + - + - = ? 2 3 2 3 2 0 0 的左边是一个关于 x 的完全平方式，则 m 等 于（ ） A.1 B.-1 C.1 或 9 D.-1 或 9 4.方程 2 x x + - = 4 5 0 的解是 ． 5.代数式（x-2）（x+1）的值为 0，则 x 的值为 ． 6.要使一块长方形木板的长比宽多 3dm,其面积为 28dm2，试求这块长方形木板的长与宽 各是多少． 答案:1.B 2.B 3.C 4.略 5.2 6.设长方形木板的宽为 xdm，则长为(x+3)dm.根据题意，得 x(x+3)=28 故长方形木板的长为 7dm，宽为 4dm． 五、归纳小结 1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？ 2.用配方法解一元二次方程涉及那些数学思想方法？ ※布置作业※ 从教材习题 21.2 中选取． ※教学反思※ 1.本节课重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究 中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信． 2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力， 感受教学创造的乐趣，提高教学效果． 3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配 方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一 元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫．在二次函数顶点坐标的求 解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法．