次方程的三个条件:一是方程两边都是 整式;二是只含有一个未知数;三是未知数 21.1一元二次方程 的最高次数是2.上述三个条件必须同时满 足,缺一不可 【类型二】利用一元二次方程的概念确 学司目标 定字母系数 2关于x的方程(k+1)x1+kx+1 1.理解一元二次方程及其相关概念, 0是一元二次方程,则k的值为 能够熟练地把一元二次方程化为一般形式 2.会应用一元二次方程的解的定义解 解析:由题意得 j|k-11=2, 决有关问题 k+1≠0, 3.在分析、揭示实际问题中的数量关 系,并把实际间题转化为数学模型的过程k=3或k=-1, 中,感受方程是刻画现实世界中的数量关系k≠-1 的工具,增强对一元二次方程的感性认识 ∴k=3. 方法总结:由一元二次方程的概念满足 的条件:未知数最高次数为2,构造方程 教学程 解出字母取值,并利用二次项系数不为0排 除使二次项系数为0的字母取值,从而确定 、情境导入 字母取值 探究点二:一元二次方程的一般形式 例3将下列方程化为一元二次方程的 一般形式,并指出它们的二次项系数、一次 项系数及常数项 参加一次集会,如果有x个人,每两人 之间都握一次手,共握了21次手,请你列 出符合上述条件的方程,并判断方程是什么 (2)9x2=16 (3)2x(3x+1)=17 类型? (4)(3x-5)(x+1)=7x-2. 合作探究 解析:先分别将各方程化为一般形式, 探究点一:一元二次方程的概念 再指出它们的各部分的名称 【类型一】一元二次方程的识别 1下列选项中,是关于x的一元 解:(1)方程化为一般形式为3x2-5x 2=0,二次项系数是3,一次项系数是-5, 次方程的是() 常数项是-2. 2=1B.3x=2xy-5y=0 (2)方程化为一般形式为9x2-16=0, 二次项系数是9,一次项系数是0,常数项 C.(x-1)(x-2)=3D.ax2+bx+c 是一16. 0 解析:选项A中的方程分母含有未知数, (3)方程化为一般形式为6x+2x-17 所以它不是一元二次方程;选项B中的方程 0,二次项系数是6,一次项系数是2,常 含有2个未知数,所以它不是一元二次方程 数项是-17. (4)方程化为一般形式为3x2-9x-3= 当a=0时,选项D中的方程不含二次项,0,二次项系数是3,一次项系数是一9,常 所以它不是一元二次方程,排除A、B、D, 数项是-3 故选 方法总结:判断一个方程是不是一元 方法总结:求一元二次方程的各项系数 和常数项,必须先把方程化为一般形式,特 次方程,必须将方程化简后再进行判断
21．1 一元二次方程 1．理解一元二次方程及其相关概念， 能够熟练地把一元二次方程化为一般形式． 2．会应用一元二次方程的解的定义解 决有关问题． 3．在分析、揭示实际问题中的数量关 系，并把实际问题转化为数学模型的过程 中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系 的工具，增强对一元二次方程的感性认识． 一、情境导入 参加一次集会，如果有 x 个人，每两人 之间都握一次手，共握了 21 次手，请你列 出符合上述条件的方程，并判断方程是什么 类型？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】一元二次方程的识别 下列选项中，是关于 x 的一元二 次方程的是( ) A．x 2＋ 1 x 2＝1 B．3x 2－2xy－5y 2＝0 C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax 2＋bx＋c ＝0 解析：选项A中的方程分母含有未知数， 所以它不是一元二次方程；选项 B 中的方程 含有2个未知数，所以它不是一元二次方程； 当 a＝0 时，选项 D 中的方程不含二次项， 所以它不是一元二次方程，排除 A、B、D， 故选 C. 方法总结：判断一个方程是不是一元二 次方程，必须将方程化简后再进行判断．一 元二次方程的三个条件：一是方程两边都是 整式；二是只含有一个未知数；三是未知数 的最高次数是 2.上述三个条件必须同时满 足，缺一不可． 【类型二】利用一元二次方程的概念确 定字母系数 关于x的方程(k＋1)x |k－1|＋kx＋1 ＝0 是一元二次方程，则 k 的值为________． 解析： 由题意得 |k－1|＝2， k＋1≠0， ∴ k＝3或k＝－1， k≠－1. ∴k＝3. 方法总结：由一元二次方程的概念满足 的条件：未知数最高次数为 2，构造方程， 解出字母取值，并利用二次项系数不为 0 排 除使二次项系数为 0 的字母取值，从而确定 字母取值． 探究点二：一元二次方程的一般形式 将下列方程化为一元二次方程的 一般形式，并指出它们的二次项系数、一次 项系数及常数项． (1)3x 2－2＝5x； (2)9x 2＝16； (3)2x(3x＋1)＝17； (4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2. 解析：先分别将各方程化为一般形式， 再指出它们的各部分的名称． 解：(1)方程化为一般形式为 3x 2－5x－ 2＝0，二次项系数是 3，一次项系数是－5， 常数项是－2. (2)方程化为一般形式为 9x 2－16＝0， 二次项系数是 9，一次项系数是 0，常数项 是－16. (3)方程化为一般形式为 6x 2＋2x－17 ＝0，二次项系数是 6，一次项系数是 2，常 数项是－17. (4)方程化为一般形式为 3x 2－9x－3＝ 0，二次项系数是 3，一次项系数是－9，常 数项是－3. 方法总结：求一元二次方程的各项系数 和常数项，必须先把方程化为一般形式，特
别要注意确认各项系数和常数项一定要包(m-1)+1+1=0,解得m=-1,此时m-1 括前面的符号 =-2≠0,∴m=-1.故选B. 探究点三:列一元二次方程 方法总结:方程的根是能使方程左右两 边相等的未知数的值,在涉及方程根的题目 中,我们一般是把这个根代入方程左右两边 转化为求待定系数的方程来解决问题 三、板书设计 例4(2015·渫圳一模)在一张矩形的 床单四周绣上宽度相等的花边,剩下部分面 建一元二次方程模型 积为1.6m2.已知床单的长是2m,宽是1.4m, 求花边的宽度.请根据题意列出方程 相关概念 元二次方程 解析:设花边的宽度为Ⅻm,则由图可知 剩下部分的长为(2-2x)m,剩下部分的宽为 (1.4-2x)m∵剩下部分面积为1.6m,可 解的機念」 列方程(2-2x)(1.4-2x)=1.6. 方法总结:列方程最重要的是审题,只 数学反思 有理解题意,才能恰当的设出未知数,准确教学过程中,强调学生自主探索和合作交 地找出已知量和未知量之间的等量关系,正流,经历将实际问题转化为数学问题,体会 确的列出方程 数学建模的思想方法 探究点四:一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解 例5方程x2-2x=0的解为() A.X=1,题=2B.五=0,石=1 2D.x=,=2 解析:把各选项中未知数的值分别代入 方程的左右两边,只有选项C中的x=0 2=2都能使方程x2-2x=0的左右两边相 等,所以选C 方法总结:判断一个未知数的值是否是 一元二次方程的解,可以把未知数的值代入 方程左右两边,能使方程左右两边相等的未 知数的值就是一元二次方程的解 【类型二】利用一元二次方程的解的意 义求字母或代数式的值 例6己知1是关于x的一元二次方程 (m-1)x+x+1=0的一个根,则m的值是 C.0D.无法确定 解析:根据方程的根的概念,直接代入 方程,左右两边相等,但考虑到是一元二次 方程,所以二次项系数不能等于0.由此得
别要注意确认各项系数和常数项一定要包 括前面的符号． 探究点三：列一元二次方程 (2015·深圳一模)在一张矩形的 床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面 积为 1.6m 2 .已知床单的长是 2m，宽是 1.4m， 求花边的宽度．请根据题意列出方程． 解析：设花边的宽度为 xm，则由图可知 剩下部分的长为(2－2x)m，剩下部分的宽为 (1.4－2x)m.∵剩下部分面积为 1.6m 2，∴可 列方程(2－2x)(1.4－2x)＝1.6. 方法总结：列方程最重要的是审题，只 有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确 地找出已知量和未知量之间的等量关系，正 确的列出方程． 探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解 方程 x 2－2x＝0 的解为( ) A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝ 1 2 ，x2＝2 解析：把各选项中未知数的值分别代入 方程的左右两边，只有选项 C 中的 x1＝0， x2＝2 都能使方程 x 2－2x＝0 的左右两边相 等，所以选 C. 方法总结：判断一个未知数的值是否是 一元二次方程的解，可以把未知数的值代入 方程左右两边，能使方程左右两边相等的未 知数的值就是一元二次方程的解． 【类型二】利用一元二次方程的解的意 义求字母或代数式的值 已知 1 是关于 x 的一元二次方程 (m－1)x 2＋x＋1＝0 的一个根，则 m 的值是 ( ) A．1 B．－1 C．0 D．无法确定 解析：根据方程的根的概念，直接代入 方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次 方程，所以二次项系数不能等于 0.由此得， (m－1)＋1＋1＝0，解得 m＝－1，此时 m－1 ＝－2≠0，∴m＝－1.故选 B. 方法总结：方程的根是能使方程左右两 边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目 中，我们一般是把这个根代入方程左右两边 转化为求待定系数的方程来解决问题． 三、板书设计 教学过程中，强调学生自主探索和合作交 流，经历将实际问题转化为数学问题，体会 数学建模的思想方法