21.1一元二次方程 、内容和内容解析 1.内容: 元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式 2.内容解析:一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广,同时它 是解决诸多实际问题的需要,为勾股定理、相似等知识提供运算工具,是二次函数的基 础.21世纪教育网版权所有针对一系列实际问题,建立方程,引导学生观察这些方程的 共同特点,从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式.在这个过程中,通过归纳具 体方程的共同特点,得出一元二次方程的概念,体现了研究代数学问题的一般方法 般形式ax2+bx+c=0(a≠0)也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项 数”等角度进行归纳的结果:;a≠0的条件是确保满足“二次”的要求,从另一个侧面为 理解一元二次方程的概念提供了契机. 、目标和目标解析 1.教学目标 (1)体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型,初步理解一元二次方程的 概念. (2)了解一元二次方程的一般形式,会将一元二次方程化成一般形式 2.目标解析 (1)通过建立一元方程解决相关的实际问题,让学生体会到未知数相乘导致方程的 次数升高,继而产生一元二次方程.学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景,感 受一元二次方程是重要的数学模型,体会到学习的必要性 (2)将不同形式的一元二次方程统一为一般形式,学生从数学符号的角度,体会概 括出数学模型的简洁和必要,针对“二次”规定a≠0的条件,完善一元二次方程的概念.学 生能够将一元二次方程整理成一般形式,准确的说出方程的各项系数,并能确定简单的 字母系数方程为一元二次方程的条件 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识,首先在七年级学习了一元一次方程, 接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程,完成了二元一次方程组的学习,八年级 分式的教学,使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式,分式方程得以出现,到一元 二次方程第一次实现“次”的提升.学生必然存在着疑问,为什么有些背景列得的方 程是二次的呢?教学中要直面学生的疑问,显化学生的疑问,启发学生自己解释疑问, 才能避免“灌输”,体现知识存在的必要性,增强学好的信念. 培养建模思想,进一步提升数学符号语言的应用能力,让学生自己概括出一元二次 方程的概念,得出一般形式,对初三学生是必须的,也是适可的 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上,不能草草给出方程的概 念就反复辨析练习,在概念的理解上要下功夫 本课的教学难点是一元二次方程的概念. 四、教学过程设计 1.创设情境,引入新知 教师展示教科书本章的章前图,请同学们阅读章前问题,并回答: 问题1.这个方程属于我们学过的某一类方程吗? 师生活动学生整理已经学过的方程类型,复习方程的概念,元与次的概念,观察新 方程,分析此方程的元与次,尝试为新方程命名 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型,体会学习的 必要性,在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识 问题2.这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢?你能再想出一个例子吗?
21.1 一元二次方程 一、内容和内容解析 1．内容： 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式． 2．内容解析：一元二次方程是方程在一元一次方程基础上 “次”的推广，同时它 是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基 础．21 世纪教育网版权所有针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的 共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具 体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一 般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项 数”等角度进行归纳的结果；a≠0 的条件是确保满足 “二次”的要求，从另一个侧面为 理解一元二次方程的概念提供了契机． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的 概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． 2．目标解析 （1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的 次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感 受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性 （2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概 括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定 a≠0 的条件，完善一元二次方程的概念．学 生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的 字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在七年级学习了一元一次方程， 接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，八年级 分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元 二次方程第一次实现 “次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方 程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问， 才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念． 培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次 方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的． 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概 念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题 1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？ 师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新 方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名． 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的 必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识． 问题 2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？
师生活动学生思考二次项产生的原因,从熟悉的实际背景中,很有可能从矩形的面 积出发,设计情境 【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来,走向对一元二次方程产生 的根源的探求,在编制情境的过程中,他们将加深对一元二次方程概念的理解.部分学 生能够独立解决问题,自己编制情境并列岀方程,部分学生可以根据同学给出的情境去 列方程,或者阅读课本上的实际问题 2.拓宽情境,概括概念 给出课本问题1、问题2的两个实际问题,设未知数,建立方程. 问题1如图21.1-1,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm.在它的四个角各切 去一个同样的正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制 作的无盖方盒的底面积是3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 问题2要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时 间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,你说组织者应邀请多少个队参赛? 教师引导学生思考并回答以下几个问题: 全部比赛共有 场 若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他个队各赛一场,全部比赛共有 场 由此,我们可以列出方程 化简得 问题3.这些方程是几元几次方程? 师生活动学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言,体会运算关系,寻找等 量关系,学习建模.将列得的方程化简整理,判断出方程的次数.【版权所有:21教育】 【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力,而且对二次项产生的 根源将更加明晰,加深对一元二次方程的理解.让学生回答方程的元与次,一是让他们 体会统一成一般形式的必要性,为概念的形成做铺垫,分解教学的难点;二是让他们明 确教学的主线,从被动学习走向主动学习 问题4.这些方程是什么方程? 师生活动观察本课得出的一些方程,思考它们的共性,同学们尝试给出一元二次方 程的定义,并且概括出一元二次方程的一般形式 (1)一元二次方程的概念: 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2(二次)的方 程叫做一元二次方程 2)一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0.其中ax2是二次项,a是二次项系 数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对 比,概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解,是对数学符号语言的应用能力 的提升 3.辨析应用,加深理解 问题5.请你说出一个一元二次方程,和一个不是一元二次方程的方程 师生活动:可以由学生举手回答,也可以随机选择学生回答,调动学生广泛地参与追 问学生所举的反例为什么不是一元二次方程?是什么方程?
师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面 积出发，设计情境． 【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生 的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解．部分学 生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去 列方程，或者阅读课本上的实际问题． 2．拓宽情境，概括概念 给出课本问题 1、问题 2 的两个实际问题，设未知数，建立方程． 问题 1 如图 21．1-1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm．在它的四个角各切 去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制 作的无盖方盒的底面积是 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题 2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时 间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？ 教师引导学生思考并回答以下几个问题： 全部比赛共有______场． 若设应邀请 x 个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有 ___ 场． 由此，我们可以列出方程______________，化简得________________． 问题 3． 这些方程是几元几次方程？ 师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等 量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．【版权所有：21 教育】 【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的 根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们 体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明 确教学的主线，从被动学习走向主动学习． 问题 4． 这些方程是什么方程？ 师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方 程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式． （1）一元二次方程的概念： 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方 程叫做一元二次方程． （2）一元二次方程的一般形式是 ax 2＋bx＋c=0．其中 ax 2是二次项，a 是二次项系 数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对 比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力 的提升． 3．辨析应用，加深理解 问题 5． 请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程． 师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛地参与．追 问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？
【设计意图】学生自己举例,应用概念,从正反两个方向强化了对概念的理解,在 追问的过程中,帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系 开发学生认识的资源,激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念,让不同的 学生在此过程中获得不同的收获,实现分层教学分层指导的效果 问题6.下列方程哪些是一元二次方程? 例1.下列方程哪些是一元二次方程? (1)3x2+2=5y2-3:(2)x2=4;(3)1=x;(4)x2+1=x2+x (5)(x-1)2=1 (6)x 答案(2)(5)(6) 师生活动:用概念指导辨析,方程(3)与(4)同学们可能会产生争议,(3)帮助学 生明确一元二次方程是整式方程,(4)体会化为一般形式的必要性,对a≠0条件加深认 【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏,追问:有二次项的一元方程就是一元二 次方程吗?帮助学生进一步巩固概念,深化对一元、二次的认识 问题7.指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数 例2.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数 (1)3x(x-1)=5(x+2);(2)2(x+1)2=(x-1)2+1 师生活动:(1)将方程3x(x-1)=5(x+2)去括号得:3x2-3x=5x+10, 移项,合并同类项得:3x2-8x-10=0,其中二次项是3x2,二次项系数是3;一次 项是一8x,一次项系数是-8,常数项是一10.教师应及时分析可能出现的问题(比如 系数的符号问题) (2)一元二次方程的一般形式是x2+6X=0,过程略 例3.关于ⅹ的方程2ax-2bx+a=4x-2x,在什么条件下此方程为一元二次方 程?在什么条件下此方程为一元一次方程? 答案:4≠2时此方程为一元二次方程;a=2,b≠1时此方程为一元一次方程 【设计意图】在形式比较复杂的方程面前,通过辨析方程的元、次、项看清方程的 本质,深化理解,淡化对一元二次方程概念的记忆 4.巩固概念,学以致用 教科书第4页:练习 【设计意图】巩固性练习,同时检验一元二次方程概念的掌握情况. 5.归纳小结,反思提高 请学生总结今天这节课所学内容,通过对比之前所学其他方程,谈对一元二次方程 概念的认识,反思学习过程中的典型错误 6.布置作业:教科书习题21.1 复习巩固:第1,2,3题, 五、目标检测设计 1.下列方程哪些是关于x的一元二次方程 (1)kx+x=1;(2)x (3)x+1-x (4)(x+1)2-x2=0
【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在 追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系. 开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的 学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果． 问题 6．下列方程哪些是一元二次方程? 例 1．下列方程哪些是一元二次方程? （1） 3 2 5 3 2 2 x + = y − ；（2） 4 2 x = ；（3） 1 x x = ；（4） x + = x + x 2 2 1 ； （5） ( 1) 1 2 x − = ；（6） 1 0 2 x + = . 答案（2）（5）（6）． 师生活动:用概念指导辨析，方程（3）与（4）同学们可能会产生争议，（3）帮助学 生明确一元二次方程是整式方程，（4）体会化为一般形式的必要性，对 a≠0 条件加深认 识． 【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二 次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识． 问题 7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数． 例 2． 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它 们的系数： （1）3x（x－1）=5（x＋2）；（2）2（x＋1）2 =（x－1）2 ＋1． 师生活动: （1）将方程 3x（x－1）=5（x＋2）去括号得：3x2－3x=5x＋10， 移项，合并同类项得：3x2 －8x－10=0，其中二次项是 3x2，二次项系数是 3；一次 项是－8x，一次项系数是－8，常数项是－10．教师应及时分析可能出现的问题（比如 系数的符号问题）． （2）一元二次方程的一般形式是 6 0 2 x + x = ，过程略． 例 3．关于 x 的方程 2ax 2bx a 4x 2x 2 2 − + = − ,在什么条件下此方程为一元二次方 程？在什么条件下此方程为一元一次方程？ 答案： a 2 时此方程为一元二次方程； a = 2 ,b 1 时此方程为一元一次方程． 【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的 本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆． 4．巩固概念，学以致用 教科书第 4 页： 练习 【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况． 5．归纳小结，反思提高 请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其他方程，谈对一元二次方程 概念的认识，反思学习过程中的典型错误． 6．布置作业：教科书习题 21．1 复习巩固：第 1，2，3 题． 五、目标检测设计 1．下列方程哪些是关于 x 的一元二次方程 （1） 1 2 kx + x = ；（2） 2 x = x ；（3） x x = +1 1 ；（4） ( 1) 0 2 2 x + − x = ．
【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解. 2.关于x的方程ax2-3x+2=0是一元二次方程,则() A. a B ≥0 【设计意图】考查a≠0的条件 3.将关于x的一元二次方程(x+)x-3)=2(x-1)化为一般形式,并指出二次项系数 【设计意图】考査化简方程的能力,及对一元二次方程一般式的掌握情况
【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解． 2．关于 x 的方程 3 2 0 2 ax − x + = 是一元二次方程，则（ ）． A． a 0 B． a 0 C． a =1 D． a ≥0 【设计意图】考查 的条件． 3．将关于 x 的一元二次方程 2 (x +1)(x − 3) = 2(x −1) 化为一般形式，并指出二次项系数． 【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式的掌握情况．