数学与应用数学专业复变佛数镇拟练习愿 中央电大教育学院陈卫宏 一、单项选择题 1.设：=x+y,则x可用：表示为《)， w 三+ 0- 0三+ 2 2 2若：■x+y,则上半平面可表示为()。 ）m:0 0m=≥0 ki:-g 0 (B1 (C)-2xi 0)2xi 4.函数)=e在复平面上可表示为()， 朝 m 5设fe)=sm:,则：=标(k-0.±1，±2)为f)的(）. 认)一级零点 (围二级零点 C)三级零点 D)四级零点 二，填空题 1设x,y为实数，称形如(x,y)的 为复数 2设：=x+iy,则称e= 为指数函数，其中“”为白然对数的底 3若存在某个N(a,8),使得 则称点a为函数f(:)的解析点. 生函数阳)一：在点：=1展成罗明级数，即在 内展成罗阴级数， 5若映射排=八(：)在区域G内是 一，则称此联射为区线G内的保形映射 三、计算题 L.设=x-3y产，试求解析橘数f:）=+ir,使得=x’-3x)2，且满足 fi)=0. 2设)-十2·试将/但)在点：=1展成级数 么计算积分 1 (e-)(e+ d:,ex2+y2-2x+y0
1 数学与应用数学专业复变函数模拟练习题 中央电大教育学院 陈卫宏 一、单项选择题 1.设 z = x + i y ，则 x 可用 z 表示为（ ）． (A) 2 z − z (B) 2 z + z (C) 2i z − z (D) 2i z + z 2.若 z = x + i y，则上半平面可表示为（ ）． (A) Imz 0 (B) Imz 0 (C) Imz 0 (D) Imz 0 3. = − − =2 d 1 z a z z a （ ）． (A) 0 (B) 1 (C) − 2π i (D) 2π i 4.函数 z f (z) = e 在复平面上可表示为（ ）． (A) =2 ! n n n z (B) =0 ! n n n z (C) =1 ! n n n z (D) n=2 n n z 5.设 f (z) = sin z ，则 z = kπ (k = 0, 1, 2, ) 为 f (z) 的（ ）． (A) 一级零点 (B) 二级零点 (C) 三级零点 (D) 四级零点 二、填空题 1.设 x , y 为实数，称形如 (x , y) 的 为复数． 2.设 z = x + i y ，则称 = z e 为指数函数，其中“ e ”为自然对数的底． 3.若存在某个 N(a, ) ，使得 ，则称点 a 为函数 f (z) 的解析点． 4.函数 z f z − = 1 1 ( ) 在点 z = 1 展成罗朗级数，即在 内展成罗朗级数． 5.若映射 w = f (z) 在区域 G 内是 ，则称此映射为区域 G 内的保形映射． 三、计算题 1.设 3 2 u = x − 3xy ，试求解析函数 f (z) = u + iv ，使得 3 2 u = x − 3xy ，且满足 f (i) = 0 ． 2.设 2 1 ( ) + = z f z ，试将 f (z) 在点 z = 1 展成幂级数． 3.计算积分 + = + c − + z c x y x y z z d , : 2( ) ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 ．
四、证明题 h力+ 试证：s功x+sn2x++动m=2 数学与应用数学专业复变函数核拟练习题答案 一、单项选择题 1.B2C3D4.B5.A 二、填空题 1.有序数对2e'(csy+isny)3fe)在N(a,8)内处处可号 40<5-1<+05.单叶且保角的 三、计算题 1.解：由C-条件有，=3x2-3y2=y,所以 v=3xy-y+风xj 又因为，=-，，得0=一(x),所以 (x)=c 所以 v=3x'y-y'+c 由此得 f）=(x3-3y2)+i3x2y-y2+c） 由f(i)=0得c■1，故 fe)=(x3-3y2)+i3x2y-y2+0 经验证 ）=(x3-3xy2)+i3x2y-y23+)成f)=:’+i 即为所求。 2解：八：)在上一<3内可展成幂级数，有 :+2:-1+3 知+号0-号
2 四、证明题 试证： x n x x n x x nx 2 sin 2 sin 2 1 sin sin sin 2 sin + + ++ = 数学与应用数学专业复变函数模拟练习题答案 一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 二、填空题 1. 有序数对 2. e (cos y isin y) x + 3. f (z) 在 N(a, ) 内处处可导 4. 0 z −1 + 5. 单叶且保角的 三、计算题 1.解：由 C－R 条件有 x y u = x − y = v 2 2 3 3 ，所以 3 ( ) 2 3 v = x y − y + x 又因为 y x u = −v ，得 0 = −(x) ，所以 (x) = c 所以 v = x y − y + c 2 3 3 由此得 ( ) ( 3 ) i(3 ) 3 2 2 3 f z = x − xy + x y − y + c 由 f (i) = 0 得 c =1 ，故 ( ) ( 3 ) i(3 1) 3 2 2 3 f z = x − xy + x y − y + 经验证 ( ) ( 3 ) i(3 1) 3 2 2 3 f z = x − xy + x y − y + 或 ( ) i 3 f z = z + 即为所求． 2. 解： f (z) 在 z −1 3 内可展成幂级数，有 1 3 1 2 1 ( ) − + = + = z z f z )] 3 1 3[1 ( 1 ) 3 1 3(1 1 − − − = − + = z z
=2-re” 3 -E 3 -<3 反解：积分路径c即为：-(I+i<√2，而被积函数共有两个奇点】与1位于C内部， 所以 L.e-G+ d日 1 2m i[Res(- -re+n+Res(e-e+n训 面 --2=2+万)= Res( 故 G-G+D) d:=-i 2 四、证明题 证：令 =1+008x+c0s2x+-+c0s B=sinx+sn 2x+..+sin n 于是 A+iB=1+c"+c+...+c" --e 1-e -2e学m 月+1 =(c0sisin) 2 2 故
3 = − = − 0 3 ( 1) ( 1) 3 1 n n n n z = + − = − 0 1 3 ( 1) ( 1) n n n n z ， z −1 3 5. 解：积分路径 c 即为 z − (1+ i ) 2 ，而被积函数共有两个奇点 1 与 i 位于 c 内部， 所以 c − + z z z d ( 1) ( 1) 1 2 2 , i)] ( 1) ( 1) 1 , 1) Res( ( 1) ( 1) 1 2π i [Res( 2 2 2 2 − + + − + = z z z z 而 2 1 , 1) ( 1) ( 1) 1 Res( 2 2 = − z − z + 4 1 , i) ( 1) ( 1) 1 Res( 2 2 = z − z + 故 2 π i d ( 1) ( 1) 1 2 2 = − − + c z z z 四、证明题 证：令 A =1+ cos x + cos2x ++ cosnx B = sin x +sin 2x ++sin nx 于是 x x nx A B i i2 i + i =1+ e + e ++ e x n x i i( 1) 1 e 1 e − − = + 2 2ie sin 2 1 2ie sin 2 i 2 1 i x x n x x n − + − = + 2 isin 2 1 isin ) 2 isin 2 (cos x x n x n x n + = + 故
编分+1 知x+5n2红++5mm=2 一n sn 2
4 x n x x n x x nx 2 sin 2 sin 2 1 sin sin sin 2 sin + + ++ =