应用概率统计第四套考愿（已用） 中奥电大教育学院朱晓鹤 一，填空题（本大题共有0个小题，每小题3分》 1.设A、B、C是3个随机事件，则3个事件中恰有一个事件发生”用A、B、C表 示为 2.若事件A、B满足AB=中《空集)，则称A与B 3.设A、B互不相容，A)=P,代=g则P代AB)- 4,甲，乙两门高射炮棱此立地向一果飞机射击，设甲击中的概率为03，乙击中的概 率为0.4，则飞机被击中的概率为一 5,设随机变量X的数学期望是E(X),那么其方差D(X)是的数学期望 4 6.设随机变量X服从誉阿松分布，且P代X=3)=号e2,则E(X)= 3 7.若随机变量X与Y相互独立，E(X)=a,E(Y)=2,则E(XT)=一 8.设0与02是未知参数0的两个估计，且对任意的0满足D(0)<Da): 则称0比0，有效： 9,设X,X:,…,X。是从正态总体N(以，a2)抽得的简单随机样本，已知G3=G, 现检验假设从：“=从。·则当 m(R-4眼从N00 06 10.在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平位(0<口<1)，则犯第一类错误 的概率是一 二、判断题：若对，打“y:若错。打“×”（本大思共有10个小思。每小题2分） 1.XX,X是取自总体N以，O2)的样本，则不.立x,服从N0,分布： 2.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y:其边缘分每函数Fx(利是F气xO)阳
应用概率统计第四套考题（已用） 中央电大教育学院 朱晓鸽 一、填空题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分） 1. 设 A、B、C 是 3 个随机事件，则 “3 个事件中恰有一个事件发生”用 A、B、C 表 示为 ； 2．若事件 A、B 满足 AB = Φ（空集），则称 A 与 B ； 3．设 A、B 互不相容， P(A) = p ， P(B) = q ，则 P(A B) = ； 4．甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机射击，设甲击中的概率为 0.3，乙击中的概 率为 0.4，则飞机被击中的概率为 ； 5．设随机变量 X 的数学期望是 E(X ) ，那么其方差 D(X ) 是 的数学期望； 6．设随机变量 X 服从普阿松分布，且 2 3 4 ( 3) − P X = = e ，则 E(X ) = ； 7．若随机变量 X 与 Y 相互独立， E(X ) = a, E(Y) = 2 ，则 E(XY) = ； 8．设 1 与 2 是未知参数 的两个 估计，且对任意的 满足 ( ) ( ) 1 2 D D ， 则称 1 比 2 有效； 9．设 X X Xn , , , 1 2 是从正态总体 ( , ) 2 N 抽得的简单随机样本，已知 2 0 2 = ， 现检验假设 H： = 0 ，则当 时， 0 0 ( ) n X − 服从 N(0, 1) ； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （ 0 1 ），则犯第一类错误 的概率是 。 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×” （本大题共有 10 个小题，每小题 2 分） 1． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 N(0, 1) 分布； （ ） 2．设随机向量 (X , Y) 的联合分布函数为 F(x, y) ，其边缘分布函数 F (x) X 是 F(x,0) ； （ ）
3.设0=-e<x<+e},A=在0sx<2},B=1sx<3,则B表示0<x☒} 4,若事件A与B互斥，则A与B一定相互独立， () 5.对于任意两个事件A、B,必有A门B=A∩B: 6.设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A一（甲胜乙负}，则A为（甲负或平局： () 7.设A、B、C表示3个事件，。则万豆C表示“A、B、C中恰有一个发生”： () 8.设A、B为两个事件，则ABUAB=AUB: 9.已如随机变量X与Y相互独立，DX)=16.DY)=4,则D(X-Y)=12: () 1 1 10.设X~N(4,》,X,X2,X素自于总体的样本， X:+ =X+ 4 是“ 的无偏估计量，() 三、计算题（本大题共有7个小题，每小题5分） 1,设有10个零件，其中2个是次品，任取2个。试求至少有1个是正品的概率， 2,设随机变量X的概率分布律为： 0 1 3 2 5 求Y=X2的概率分泰律， 3.己如离散性随机变量X服从参数为入的普阿松分布，若P八(X=1)=P气X=2),试 求参数入的值。 D 4.当随机变量X服从区间0,2引上的均匀分布，试求 (EX 的值
3．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0＜x＜1 ； （ ） 4．若事件 A 与 B 互斥，则 A 与 B 一定相互独立； （ ） 5．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 6．设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件 A={甲胜乙负}，则 A 为{甲负或平局}； （ ） 7．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 A B C 表示“ A、B、C 中恰有一个发生”； （ ） 8．设 A、B 为两个事件，则 AB AB = A B ； （ ） 9．已知随机变量 X 与 Y 相互独立， D(X ) = 16, D(Y) = 4 ，则 D(X − Y) = 12 ； （ ） 10．设 X ~ N(, 1)， 1 2 3 X , X , X 来自于总体的样本， 1 2 3 4 1 4 1 4 1 ˆ = X + X + X 是 的无偏估计量。（ ） 三、计算题（本大题共有 7 个小题，每小题 5 分） 1．设有 10 个零件，其中 2 个是次品，任取 2 个，试求至少有 1 个是正品的概率。 2．设随机变量 X 的概率分布律为： X - 2 - 1 0 1 3 pk 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 求 2 Y = X 的概率分布律。 3．已知离散性随机变量 X 服从参数为 的普阿松分布，若 P(X = 1) = P(X = 2) ，试 求参数 的值。 4．当随机变量 X 服从区间[0，2]上的均匀分布，试求 2 (EX) DX 的值
5.设《n)的密度函数为风名)= Cy2,0一1是未知参数。X,X:,,X,是米自总体X的一个容量为n的简单随机样 本，用矩估计法求0的估计量。 四、证明题（本题15分》 若三个事件A、B、C相互鞋立，则AUB与C鞋立
5．设（ , ）的密度函数为 其他 , 0 1, 0 1 0, ( , ) 2 = Cxy x y p x y ，求常数 C ，并 判断 与 是否相互独立？ 6．已知 D(X ) = 25， D(Y) = 36， XY = 0.4 ，试分别计算 cov( X , Y) ，D(X + Y) 和 D(X −Y) 。 7．设总体 X 的概率密度为 + = ， 其它， ， ， ； 0 ( 1) 0 1 ( ) x x f x 式中 >－1 是未知参数， X X Xn , , , 1 2 是来自总体 X 的一个容量为 n 的简单随机样 本，用矩估计法求 的估计量。 四、证明题（本题 15 分） 若三个事件 A、B、C 相互独立，则 A B 与 C 独立
第四套参考答案 一、填空题 1.ABCUABCUABC 2互不相容 3p+g-1 4.0.58 &(X-E(X》 62a: 7.H &无偏： 9.H。成立： 10.a: 二，判断题 1,错 2错 及错 4错 五错 6对 7.错 8错 9.对 10.错 三，计算题 1.解：从有2个次品的10个零件中任意取两个零件的取法总数为：n=C0=45:(2 分) 面取出的2个零件中没有正品（即：所取的两个零件都是次品）的取法数为：
第四套参考答案 一、填空题 1． ABC ABC ABC 2.互不相容 3. p + q −1 4. 0.58 5. 2 (X − E(X )) 6. 2a ； 7. ； 8.无偏； 9. H0 成立； 10. 。 二、判断题 1．错 2. 错 3. 错 4. 错 5. 错 6. 对 7. 错 8. 错 9. 对 10. 错 三、计算题 1．解：从有 2 个次品的 10 个零件中任意取两个零件的取法总数为： 45 2 n = C10 = ；（2 分） 而取出的 2 个零件中没有正品（即：所取的两个零件都是次品）的取法数为：
m=C=1:(3分) 从而利用古具概型的餐率计算公式可得至少有【个是正品的概率为 1-p=1-m=1-1=4 4545 (2分) 2解：由于面机变量X的概率分布律为： X -1 0 P& 15 0 故y=X2的可能取值为10,1,4,9。 (1分) 对应的度率分别为： PY=0)=PX2=0=PX=0)= 1 (1分) V=)=X2=)=X=-)+Px=)=L+=Z (1分) 61530 PY=4=PX2=4=PX=-2)+PX=2)=5+0=3 (1分) PY=9)=PX3=9到=PX=-3)+PNX=3=0+ 111 3030 (1分) 最后列成概半分布表为： 9 5 30 30 (2分) 注：此题若没有求解过程，而直接列出上述概率分布表也不扣分。 3。解：因为随机变量X服从参数为入的普阿松分布，所以X的概半分布为： P(X=)= e ，k-012.… 又有题议条件P代X=1)=P(X=2),因此 He-ea 02 由上述方程解得参数入的值为2
1 2 m = C2 = ； （3 分） 从而利用古典概型的概率 计算公式可得至少有 1 个是正品的概率为 45 44 45 1 1− = 1− = 1− = n m p 。 （2 分） 2. 解：由于随机变量 X 的概率分布律为： X -2 -1 0 1 3 pk 5 1 6 1 5 1 15 1 30 11 故 2 Y = X 的可能取值为：0，1，4，9。 （1 分） 对应的概率分别为： 5 1 ( 0) ( 0) ( 0) 2 P Y = = P X = = P X = = ； （1 分） 30 7 15 1 6 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = ； （1 分） 5 1 0 5 1 ( 4) ( 4) ( 2) ( 2) 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = ； （1 分） 30 11 30 11 ( 9) ( 9) ( 3) ( 3) 0 2 P Y = = P X = = P X = − + P X = = + = 。 （1 分） 最后列成概率分布表为： Y 0 1 4 9 pk 5 1 30 7 5 1 30 11 （2 分） 注：此题若没有求解过程，而直接列出上述概率分布表也不扣分。 3. 解：因为随机变量 X 服从参数为 的普阿松分布，所以 X 的概率分布为： , 0,1,2, ! ( = ) = = − k k e P X k k …； 又有题设条件 P(X = 1) = P(X = 2) ，因此 1! 2! 1 2 − − = e e ， 由上述方程解得参数 的值为 2
4,解：因为随机变量X服从区间[0,2上的均匀分布，所以 EX0=0生2=1，D0=2-0- (6分) 2 12=3 因而 DX I EX)3 (1分) C 五解：因为1-∫Cyr杰-气。所以C=6: (3分) 6 取g(x)=6x,(0<x<D:My)=y2,(0<y<)则有风x)=g(x)小y以风x,) 可分离变量，故号与刀相互鞋立。 (4分) 注：在验证：与？是否相互独立时，也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求积分 得到两个边蜂密度函数。 6.解1由题设DX)=25,DNY)=36,Pw=04,所以 co(X,Y)=PVDX)ND=0.4×5×6=l2: (3分) DX+Y)=DX)+DY)+2CofX.)-25+36+2×12-85: (2分) DX-Y)=D(X)+D)-2coMX,Y)=25+36-2×12=37.(2分) 解c0-x-jor女 0+1 (3分) 8+2 由矩估计法知。令 叶1=x (3分) +2 得参数0的矩估计量 0=20 -x (1分) 四、证明愿 证明：因为A、B、C相互独立，所以 P(AC)=P(A)P(C): (2分) P(BC)=P(B)P(C): (2分) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) (2分》 从而，我们可得
4. 解：因为随机变量 X 服从区间[0，2]上的均匀分布，所以 1 2 0 2 ( ) = + E X = ， 3 1 12 (2 0) ( ) 2 = − D X = ； （6 分） 因而 3 1 ( ) 2 = EX DX 。 （1 分） 5. 解：因为 6 1 1 0 1 0 2 C = Cxy dxdy = ，所以 C = 6 ； （3 分） 取 g(x) = 6x, (0 x 1) ； ( ) , (0 1) 2 h y = y y ，则有 p(x, y) = g(x) h( y), p(x, y) 可分离变量，故 与 相互独立。 （4 分） 注：在验证 与 是否相互独立时，也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求积分 得到两个边缘密度函数。 6. 解：由题设 D(X ) = 25， D(Y) = 36， XY = 0.4 ，所以 cov(X, Y) = XY D(X) D(Y) = 0.456 =12 ； （3 分） D(X + Y) = D(X ) + D(Y) + 2cov(X,Y) = 25 + 36 + 212 = 85 ； （2 分） D(X −Y) = D(X ) + D(Y) − 2cov(X,Y) = 25 + 36 − 212 = 37 。 （2 分） 7. 解： 2 1 ( ) ( ; ) ( 1) 1 0 1 + + = + = − + = + E X xf x dx x dx ， （3 分） 由矩估计法知，令 ＝X ＋ ＋ 2 1 （3 分） 得参数 的矩估计量 ˆ ˆ 1 2 1 = X X － － ＝ 。 （1 分） 四、证明题 证明：因为 A、B、C 相互独立，所以 P(AC) = P(A)P(C) ； （2 分） P(BC) = P(B)P(C) ； （2 分） P(ABC) = P(A)P(B)P(C) ； （2 分） 从而，我们可得
P((AUBYC)=P(ACUBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) P(CXP(A)+P(B)-P(A)P(B)] =P(C)P(AUB) 由独立性的定义可知：AUB与C鞋立， (9分)
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) P C P A B P C P A P B P A P B P A P C P B P C P A P B P C P A B C P AC BC P AC P BC P ABC = = + − = + − = = + − 由独立性的定义可知： A B 与 C 独立。 （9 分）