经济数学基础积分部分综合燕习及解答(06春) 中央电大顺静相 三，积分学部分棕合练习及解答 《一)单项选择题 1.下列函数中，()是xC0sx的原函数. A.2 sin x2 B.2 sin x2 C.-2 sin x2 D.-2 sin x2 容案：A 2.下列等式不成立的是( In xdx d 11 r=-dI A.A. X B.x C.cosxdr =dsn x p.x dr=d! 容案：C ffxr-hxtc 3设 ,则/).. hx I-Inx A.hn x C.D.h'x 蓉案：C 4若fk-e+e,则f因( 京。 容案：C 5.下列定积分中积分值为0的是(). c.f+cos地。2+hu D
经济数学基础积分部分综合练习及解答（06 春） 中央电大 顾静相 三、积分学部分综合练习及解答 （一）单项选择题 1．下列函数中，（ ）是 2 x cos x 的原函数． A． 2 1 sin x2 B．2 sin x2 C．-2 sin x2 D．- 2 1 sin x2 答案：A 2．下列等式不成立的是（ ）． A．A． x x x 1 ln d = d B． 2 1 d d 1 x x x = − C． cos xdx = dsin x D． x x x 1 d d 1 2 = 答案：C 3. 设 c x x f x x = + ln ( )d ，则 f (x) =（）． A． ln ln x B． x ln x C． 2 1 ln x − x D． x 2 ln 答案：C 4. 若 f x x c x x = − + 1 1 ( )e d e ，则 f (x) =（ ）． A． x 1 B．- x 1 C． 2 1 x D．- 2 1 x 答案：C 5．下列定积分中积分值为 0 的是（ ）． A． x x x d 2 1 e e −1 − − B． x x x d 2 1 e e −1 − + C． (x cos x)dx 3 − + D． (x sin x)dx 2 − +
容案：A -1 A.eB.2eC.2eD.+∞ 容案：B 《二)填空题 1.若/=+1少+c.则f) 填写：2x+1) 2.若/i=F+e.则小efe灿. 填写：-Fe)+c 3.Lcr'smr-2r 填写，4 4.Lo"dr … 填写：2 5.微分方程少=e”+2的通解是· 填写：y=-e”+2x+c 《三)计算思 小+G g小压ah =-cosln+ 71+c 2.(x+D)xdx
答案：A 6． + 1 - e d 2 x x x =（）． A．e B． 2e 1 C． 2e −1 D． + 答案：B （二）填空题 1．若 f x x = x + + c 2 ( )d ( 1) ，则 f (x) = . 填写： 2(x +1) 2．若 f x x = F x + c ( )d ( ) ，则 f x x x e (e )d − − = . 填写： F c x − + − (e ) 3． − = − 1 1 2 (x sinx 2)dx ． 填写：-4 4． x x e d 0 2 − ．． 填写： 2 1 5. 微分方程 = e + 2 −x y 的通解是 . 填写： y x c x = − + + − e 2 （三）计算题 ⒈ + x x x x x )d sin ln ( 解 + x x x x x )d sin ln ( = + 4 7 7 4 sin ln xd(lnx) x = − x + x + c 4 7 7 4 cosln 2． (x +1)lnxdx
frds-a r2+2r- 2 4 -x+c - 5.求微分方程广+y=x+1满足初始条件0=3的特解。 解因为P)=1.x)=x2+1 用公式=e可e+e+q=ee2+1e+回 .e"(re'-2w'r+e'+c） _e""(x'e"-2xe'+2fe'dx+e"+c) -e(xe-2xe+2e+e+c） x2-2x+3+ce 由0--2+3+e-3,将c=c 所以，特解为y=x产-2x+4
解 (x +1)lnxdx = + + − x x x x x d ( 1) 2 1 ( 1) ln 2 1 2 2 = x c x x + x x − − + 4 ( 2 )ln 2 1 2 2 3． x x x d (1 e ) 1 e 0 2 + 解 x x x d (1 e ) 1 e 0 2 + d(1 e ) (1 e ) 1 1 0 2 x x + + = 1 e 1 2 1 (1 e ) 1 1 0 + = − + = − x 4． x x x d 1 5 0 2 3 + 解 x x x d 1 5 0 2 3 + = x x x x x d 1 5 0 2 3 + + − = x x x x x x x d 1 d 1 ( 1) 5 0 2 5 0 2 2 + − + + = x x x x x d 1 d 5 0 2 5 0 + − = 5 0 2 5 0 2 ln( 1) 2 1 2 1 x − x + = 2 1 (25-ln26) 5．求微分方程 1 2 y + y = x + 满足初始条件 y(1) = 3 的特解． 解 因为 P(x) = 1， ( ) 1 2 Q x = x + 用公式 e [ ( 1)e d ] d 2 d y x x c x x + + = − e [ ( 1)e d ] 2 x x c x x = + + − = e ( e 2 e d e ) 2 x x x c x x x x − + + − = e ( e 2 e 2 e d e ) 2 x x x c x x x x x − + + + − = e ( e 2 e 2e e ) 2 x x c x x x x x − + + + − = x x x c − − 2 + 3 + e 2 由 (1) 1 2 3 e 3 2 1 = − + + = − y c ， 得 c = e 所以，特解为 2 4 2 y = x − x +
6.求微分方程少+y=x动满足儿：=引的特解 P(x)=- 解：因为 r. Qx)=snx,由通解公式得 r+o).en可snr+e xmt+0←xesx+x+e) 川x)■二(-示c0s开+sn对+C)=I 由 界 ，得c=0 y■-C05X+-snx 所以，特解为 7.求微分方程ynx=yhy的通解。 dy -cot xdr 解 将单方程分离变量yhy 两瑞积分得mlny=1(sinx 通解为y三eCs1n暖 8.求微分方程广-30'y-e'少=0的通解 解首先将方程等号左边的第2,3项移到等号右边，并进行变量分离 -=e'd y21+) 3 h1+2)=e'+c 两边积分得 通解为 ny-hy+3)=3e*+c (四》应用题 1,设生产某产品的总成本函数为C)-3+x(万元》，其中x为产量，单位：百跑.肺 售x百吨时的边际收入为R()=15-2红（万元/百吨）。求
6．求微分方程 xy + y = x sin x 满足 =1 x= y 的特解. 解：因为 x P x 1 ( ) = ，Q(x) = sin x ，由通解公式得 e ( sin e d ) d 1 d 1 y x x c x x x x + = − = e ( sin e d ) ln ln x x c x x + − = ( sin d ) 1 x x x c x + = ( cos sin ) 1 x x x c x − + + 由 ( cos sin ) 1 1 y( ) = − + + c = ， 得 c = 0 所以，特解为 x x y x sin 1 = −cos + 7．求微分方程 y tan x = y ln y 的通解． 解 将原方程分离变量 x x y y y cot d ln d = 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 8．求微分方程 3e e 0 2 y − y − y = x x 的通解. 解 首先将方程等号左边的第 2，3 项移到等号右边，并进行变量分离 x y y y x e d ) 3 (1 d 2 = + 两边积分得 1 ) e 3 ln(1 3 1 c y x − + = + 通解为 y y c x ln − ln( + 3) = 3e + （四）应用题 1．设生产某产品的总成本函数为 C(x) = 3 + x (万元)，其中 x 为产量，单位：百吨．销 售 x 百吨时的边际收入为 R(x) = 15 − 2x （万元/百吨），求：
()利润最大时的产量： 2)在利洞最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？（较难）（熟 练掌挥) 解()因为边际成本为C()=1 边际利润x)=R(x)-C(x)=14-2x 令L)=0,得x=7 由该题实际意义可知，x=T为利润函数L(的极大值点，也是最大值点。因此，当产 量为7百吨时利洞最大 2)当产量由了面吨增加至8百吨时，利澜改变量为 AL=(14-2x)dx=(14x =112-8刷·98+9=-1（万元） 即利润将减少】万元 2.设某种产品的圆定成本为60元。边际成本为C气9)=4+36，其中为产量.求使 平均成木最低的产量。 解：因为，成本函数 C(q=J(g+36)d山=0.5g2+36x+c C0)=0.5×0+36×0+c=980,得c=9800 Cq)=0.5g°+36g+9800 Cq20.59+36+ 9800 又平均成本为=9= 令0，即-0，得-140，■-140（舍去》 =0是在其定义域内的唯一驻点，且该月恩确实有使平均成本函数最低的点， 所以-10是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低的产量为10个单位
(1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？ （较难）（熟 练掌握） 解 (1) 因为边际成本为 C(x) = 1 边际利润 L(x) = R(x) − C(x) = 14 – 2x 令 L(x) = 0 ，得 x = 7 由该题实际意义可知，x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产 量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为 8 7 2 8 7 L = (14 − 2x)dx = (14x − x ) =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少 1 万元. 2．设某种产品的固定成本为 9800 元，边际成本为 C(q) = q + 36 ，其中为产量．求使 平均成本最低的产量． 解：因为，成本函数 C q = q + q = q + x + c ( ) ( 36)d 0.5 36 2 由 (0) 0.5 0 36 0 9800 2 C = + + c = ，得 c = 9800 即 ( ) 0.5 36 9800 2 C q = q + q + 又平均成本为 = C q q ( ) = 0 5 36 9800 . q q + + == 令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）， =140 是在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实有使平均成本函数最低的点． 所以=140 是平均成本函数的最小值点，即为使平均成本最低的产量为 140 个单位