经济数学基础惊合练习及参考答案 中央电大顾静相 第二部分积分学 一，单项选择愿 1.在切线群率为2红的积分曲线族中，通过点(1,4)的由线为《) A.y=2+3B.y=x2+C,y=2x+2D,y=4瓶 2者2r+6 =2,则k=(》, A.1B.-1C.0D.2 3。下列等式不成立的是()。 A.e'dr=d(e")B.-sinxdx=d(cosx) ↓dk=dW C.2 In xdxr =d() D. ,则).() A.-c B.2 e 5.Jad(e-)- A.xe+c B.xe+e+c C.-xe+e D.re-e-+c 6著/e=-e+c,则r0=() 1 A.x B.-x C.x 7.若F)是国)的一个原橘数，则下列等式成立的是0. A.t-F国B.t-F-F@ c.广Fat=f-a)。rt=F-Fal 8.下列定积分中积分值为0的是()
1 经济数学基础综合练习及参考答案 中央电大 顾静相 第二部分 积分学 一、单项选择题 1．在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若 + 1 0 (2x k)dx = 2，则 k =（ ）． A．1 B．-1 C．0 D． 2 1 3．下列等式不成立的是（ ）． A． e d d(e ) x x x = B． − sinxdx = d(cosx) C． x x x d d 2 1 = D． ) 1 ln d d( x x x = 4．若 f x x c x = − + − 2 ( )d e ，则 f (x) =（ ）. A. 2 e x − − B. 2 e 2 1 x − C. 2 e 4 1 x − D. 2 e 4 1 x − − 5. = − d(e ) x x （ ）． A． x c x + − e B． x c x x + + − − e e C． x c x − + − e D． x c x x − + − − e e 6. 若 f x x c x x = − + 1 1 ( )e d e ，则 f (x) =（ ）． A． x 1 B．- x 1 C． 2 1 x D．- 2 1 x 7. 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则下列等式成立的是()． A． f (x)dx F(x) x a = B． f (x)dx F(x) F(a) x a = − C． F(x)dx f (b) f (a) b a = − D． f (x)dx F(b) F(a) b a = − 8．下列定积分中积分值为 0 的是（ ）． A． x x x d 2 1 e e −1 − − B． x x x d 2 1 e e −1 − +
c.+cost。(r+snt 9。下列无穷积分中收敛的是《)。 h。广ee广。广正 B 10.设R(@》=100-g,若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是()， A.-550B.-350C,350D.以上都不对 11,下列微分方程中，()是线性微分方程。 A.+hy=y B.少+2=e c.广+y-eD.ysmx-e-yhx 12.微分方程0+y03+灯=0的输是《) 人4 B.3 C.2 D.1 二，填空圈 1.dfe-dr 2.函数f(x)=sin2x的原函数是 3.若/x=在+护+c.则f) 4若/t=F+c,则小ee。 .r+临 一d 7,无穷积分 4(红+10 是 ,(判别其效散性) 8.设边际收入函数为R(@}=2+30,且R0@)=0,则平均收入函数为 4.0yT'+e"y=0是 阶微分方程， 10.微分方程广一x的通解是 三，计算题
2 C． (x cos x)dx 3 − + D． (x sin x)dx 2 − + 9．下列无穷积分中收敛的是（）． A． + 1 ln xdx B． + 0 e dx x C． + 1 2 d 1 x x D． + 1 3 d 1 x x 10．设 R (q)=100-4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（ ）． A．-550 B．-350C．350 D．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A． yx + lny = y 2 B． x y y xy e 2 + = C． y y + xy = e D． y x y y x x sin − e = ln 12．微分方程 ( ) ( ) 0 2 3 4 y + y y + xy = 的阶是（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 1． = − x x d e d 2 ． 2．函数 f (x) = sin2x 的原函数是 ． 3．若 f x x = x + + c 2 ( )d ( 1) ，则 f (x) = . 4．若 f x x = F x + c ( )d ( ) ，则 f x x x e (e )d − − = . 5． + = e 1 2 ln( 1)dx d d x x . 6． = + − 1 1 2 2 d ( 1) x x x ． 7．无穷积分 + 0 + 2 d ( 1) 1 x x 是 ．（判别其敛散性） 8．设边际收入函数为 R (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 ． 9. ( ) e 0 3 2 + = − y y x 是 阶微分方程. 10．微分方程 2 y = x 的通解是 ． 三、计算题
/入十王x 2. .xs1-j+1血dr s.eaeas 76nx。Fea2r -dx fn(s+Is 9. y'+2=x2+1 10.求微分方程 满足初始条件 0=了的特解。 e '+ -=0 11.求微分方程 满足初始条件(-)=5的特解。 2.求微分方程广-=0满足0l的特根 13.求微分方程y加x一hy的通解。 xy-y= 14,求微分方程 hx的通解， 15。求微分方程y=2y+X的通解。 16.求微分方程矿+y=X功的通解。 四，应用圈 1,投产某产品的固定成本为6（万元），且边际成本为C气)=x+40(万元/百台).试 求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最怎 2.已知某产品的边际成本C'(2(元/件)，固定成本为0，边际收益R”(x)-2-0.2: 问产量为多少时利润最大？在最大利洞产量的基础上再生产0件。利润将会发生什么变 化 3.生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元/百台)，边际枚入为R”(x)=100-2x(万元 /百台)。其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台。 利润有什么变化？ 4.已知某产品的边际成本为C气)=4杯一3（历元/百台），x为产量（佰台），假定成本 为18（万元），求最低平均成本
3 ⒈ + x x x x d 3 sin 2． + 2 4 d x x x 3． x sin(1− x)dx 4． (x +1)lnxdx 5． x x x e (1 e ) d ln3 0 2 + 6． x x x d 9 16 1 0 + − 7． x x x d 1 ln 1 2 e 0 + 8． 2 x cos 2xdx 0 9． ln( x 1)dx e 1 0 − + 10．求微分方程 1 2 + = x + x y y 满足初始条件 4 7 y(1) = 的特解． 11．求微分方程 0 e 3 2 + = + y y y x 满足初始条件 y(−1) = 3 的特解． 12．求微分方程 y − ytanx = 0 满足 1 0 = x= y 的特解. 13．求微分方程 y tan x = y ln y 的通解． 14．求微分方程 x x xy y ln − = 的通解. 15．求微分方程 2 y = 2y + x 的通解． 16．求微分方程 xy + y = x sin x 的通解． 四、应用题 1．投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 C(x) =2x + 40(万元/百台). 试 求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本 C (x)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 R (x)=12-0.02x， 问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变 化？ 3．生产某产品的边际成本为 C (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 R (x)=100-2x（万元 /百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台， 利润有什么变化？ 4．已知某产品的边际成本为 C(x) = 4x − 3 (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本 为 18(万元)，求最低平均成本
5.设生产某产品的总成本函数为C)=3+本（万元》，北中x为产量，单位：百吨.的 售x百吨到的边际收入为R'()=15-2(万元/百吨)，求： (》利润最大时的产量： 2》在利洞最大时的产量的基础上再生产】百吃，利润会爱生什么变化？ 试题答案 单项选释思 1.A2,A3.D4.6.版.C7.8.A9.G10.B11.D12,C 二、填空题 1.e"dr2. -2cos2x+ee是任意常数)3.2x+)4.-Fe)+e50 3 y=- -+C 6.07.收敛的8.2+29.210. 3 三，计算题 1.解 2g+4+c .解s1-t.os--小eol-t xcos(1-x)sin(1-x)+c 解jx+h+r-少 (x+2x)hx- 4 -x+c s.weeaeyae) gag- +号
4 5．设生产某产品的总成本函数为 C(x) = 3 + x (万元)，其中 x 为产量，单位：百吨．销 售 x 百吨时的边际收入为 R(x) = 15 − 2x （万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？ 试题答案 单项选择题 1. A2．A3. D4. D5. B6. C7. B8. A9. C10. B11. D12. C 二、填空题 1. x x e d 2 − 2. - 2 1 cos2x + c (c 是任意常数)3. 2(x +1) 4. F c x − + − (e ) 5. 0 6. 07. 收敛的 8. 2 + q 2 3 9. 210. c x y = + 3 3 三、计算题 ⒈ 解 + x x x x d 3 sin = x + x x x d sin d 3 = 3ln x − cos x + c 2．解 + x x x d 4 2 = + + d(4 ) 4 1 2 1 2 2 x x = ln( 4 + x ) + c 2 1 2 3．解 x sin(1− x)dx = xcos(1-x) - cos(1− x)dx = xcos(1-x) + sin(1-x) + c 4．解 (x +1)lnxdx = + + − x x x x x d ( 1) 2 1 ( 1) ln 2 1 2 2 = x c x x + x x − − + 4 ( 2 )ln 2 1 2 2 5．解 x x x e (1 e ) d ln3 0 2 + = + + ln3 0 2 (1 e ) d(1 e ) x x = ln3 0 3 (1 e ) 3 1 x + = 3 56 6．解 x x x d 9 16 1 0 + − = ( x 9 x)dx 9 1 16 0 + + = 16 0 2 3 2 3 ] 3 2 ( 9) 3 2 [ 9 1 x + + x =12
fbt广+m3ea5-动 x+=+-e-- e-1-[x-ix+=he-1 解法二令■X+1,则 +地=咖=h水-e-啡e-e11 P(r)= 10.解因为 .Qx)=x2+1 用大=e可e++=e可+e+同 由 0=4+2i”4,得c=l 31 y=- 所以，特解为 42x dy -=cot xdr 11.解将解方程分离变量 两瑞积分得Imlny=Inc sinx 通解为y=ec sinx 业=tanrdr=sdx=-dosx 2。解：移项，分离变量，得 COSx COSx 两边求积分，得 hy=-hcosx+he=h-e OSX 通解为： COSX
5 7．解 x x x d 1 ln 1 2 e 1 + = d(1 ln ) 1 ln 1 2 e 1 x x + + = 2 e 1 2 1+ ln x = 2( 3 −1) 8．解 2 x cos 2xdx 0 = 2 0 sin 2 2 1 x x - sin 2xdx 2 1 2 0 = 2 0 cos 2 4 1 x = 2 1 − 9．解法一 x x x x x x x d 1 ln( 1)d ln( 1) e 1 0 e 1 0 e 1 0 − − − + + = + − = x x )d 1 1 e 1 (1 e 1 0 − + − − − = e 1 0 e 1 [ ln( 1)] − − − x − x + ＝ln e =1 解法二令 u = x +1 ，则 u u x x u u u u u d 1 ln( 1)d ln d ln e 1 e 1 e 1 e 1 0 + = = − − = e e e 1 1 e − u 1 = − + = 10．解 因为 x P x 1 ( ) = ， ( ) 1 2 Q x = x + 用公式 e [ ( 1)e d ] d 1 2 d 1 y x x c x x x x + + = − e [ ( 1)e d ] ln 2 ln x x c x x = + + − x x x c c x x x = + + = + + 4 2 ] 4 2 [ 1 4 2 3 由 4 7 2 1 1 4 1 (1) 3 = + + = c y ， 得 c = 1 所以，特解为 x x x y 1 4 2 3 = + + 11．解 将原方程分离变量 x x y y y cot d ln d = 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 12．解：移项，分离变量，得 x x x x x x x y y cos d cos d cos sin tan d d = = = − 两边求积分，得 = − x x y y cos d d cos x c y x c cos ln = −ln cos + ln = ln 通解为： x c y cos =
由0=1 =1 得c0s0 ，c"1 所以，端足初始条件的特解为： 3.解将方程分离变量：e了少=心“d山 等式两端积分得 3 将初始条件川-)=5代入，得2e=、1 1 ei+c e-1 =6 所以，特解为：3e少=2e”+e 14解将原方程化为1 广-宁n玉，它是一阶找性数方 P)1() 用t-e可aea+q=e户e+同 =e可+d=可hs+d x(n hnx+c) I5.解在微分方程广=2y+x中，代)=-2,0x)=x 道折公式=可re+g=e可re+e ee+e+d e(- e-e+e+d e"(- e+c) 4 4 P(x)=- 16。解：因为 术。Q)=snx,由通解公式得
6 由 1 0 = x= y ，得 1 cos 0 = c ，c = 1 所以，满足初始条件的特解为： x y cos 1 = 13．解 将方程分离变量： y y x y x e d e d 3 2 = − − 等式两端积分得 c y x − = − + − 3 e 3 1 e 2 1 2 将初始条件 y(−1) = 3 代入，得 − = − + c −3 −3 e 3 1 e 2 1 ，c = 3 e 6 1 − − 所以，特解为： 3 3 3e 2e e 2 − − = + y x 14. 解 将原方程化为： x y x y ln 1 1 − = ，它是一阶线性微分方程， x P x 1 ( ) = − ， x Q x ln 1 ( ) = 用公式 ( )d ( )d e [ ( )e d ] P x x P x x y Q x x c − = + e d ] ln 1 e [ d 1 d 1 x c x x x x x + = − e d ] ln 1 e [ ln ln x c x x x = + − d ] ln 1 [ x c x x = x + = x(ln ln x + c) 15．解 在微分方程 2 y = 2y + x 中， 2 P(x) = −2,Q(x) = x 由通解公式 e ( e d ) e ( e d ) 2 2 2 2d 2 2d y x x c x x c x x x x + = + = − − = e e d ) 2 1 e ( 2 2 2 2 x x x c x x x − + + − − = e d ) 2 1 e 2 1 e 2 1 e ( 2 2 2 2 2 x x x c x x x x − − + + − − − = e ) 4 1 e 2 1 e 2 1 e ( 2 2 2 2 2 x x c x x x x − − − + − − − = 4 1 2 1 2 1 e 2 2 c − x − x − x 16．解：因为 x P x 1 ( ) = ， Q(x) = sin x ，由通解公式得
c可sm花+0xsnt+e -(-XCOSX+smx+c） 四、应用题 1,解当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 AC-j2x+40d.(2+40x4.10（万元 ['C'(x)dx+co C)= x2+40x+36 x+40+ 36 又 可=1-9=0 ·解得x=6 x=6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值.所以产量为6百 台时可使平均成本达到最小 2.解因为边际利润 L'x)=R(x)-C"x)12-0.02x-2·10-0.02 令1(x).0,得x-500 x=500是惟一驻点，而该问愿确实存在最大值.所以。当产量为500件时，利润最大， 当产量由500件增加至550件时，利洞改变量为 -0-02t=0r-0tr.0-s.-56元 即利润将减少25元 3解L'(x)=R()-C(闭=100-2)-8=100-10u 令L'(x)=0,得x=10(百台) 又x=10是L(x)的装一驻点，该问题确实存在最大值，故x=10是L)的最大值点， 即当产量为10（首台）时。利润最大 又 =2xt=a0-10r4=00r-5x6-20 即从利润最大时的产量再生产2百台，利洞将减少0万元。 4.解：因为总成本函数为
7 e ( sin e d ) d 1 d 1 y x x c x x x x + = − = e ( sin e d ) ln ln x x c x x + − = ( sin d ) 1 x x x c x + = ( cos sin ) 1 x x x c x − + + 四、应用题 1．解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 = + 6 4 C (2x 40)dx = 6 4 2 (x + 40x) = 100（万元） 又 x C x x c C x x + = 0 d 0 ( ) ( ) = x x 40x 36 2 + + = x x 36 + 40 + 令 0 36 ( ) 1 2 = − = x C x ， 解得 x = 6. x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百 台时可使平均成本达到最小. 2．解 因为边际利润 L(x) = R(x) − C(x) =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令 L(x) = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500 件时，利润最大. 当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为 550 500 2 550 500 L = (10 − 0.02x)dx = (10x − 0.01x ) =500 - 525 = - 25 （元） 即利润将减少 25 元. 3. 解 L (x) = R (x) -C (x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令 L (x)=0, 得 x = 10（百台） 又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点， 即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 L L (x)dx (100 10x)dx 12 10 12 10 = = − (100 5 ) 20 12 10 2 = x − x = − 即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 4．解：因为总成本函数为
C(x)=[(4x-3)dr2x:-3x+c 当x=0时，C(0)=18.得e=18 即C(x)-2x2-3x+18 4x=Ca=2x-3+18 又平均成本函数为 4)-2-18 0 ，解得x“3(百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量。所以当x=3时，平均成本最气.最底平均成木 为 43)=2×3-3+18=9 3 万元/百台) 5,解：)因为边际成本为C气团=1，边际利润L气团=()-C)=14-2x 令L(x-0,得x=7 由该愿实际意义可知，x=了为利润函数L()的极大植点，也是最大值点。因此，当产 量为了百吨时利淘最大 2)当产量由7百吨增加至8百跑时，利洞改变量为 L=04-2x4=04x-r12.48,9.-1万 即利润将减少1万元
8 C(x) = (4x − 3)dx = 2x − 3x + c 2 当 x = 0 时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 2 3 18 2 x − x + 又平均成本函数为 x x x C x A x 18 2 3 ( ) ( ) = = − + 令 0 18 ( ) 2 2 = − = x A x ， 解得 x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本 为 9 3 18 A(3) = 23 − 3 + = (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 C(x) = 1 ，边际利润 L(x) = R(x) − C(x) = 14 – 2x 令 L(x) = 0 ，得 x = 7 由该题实际意义可知，x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产 量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为 8 7 2 8 7 L = (14 − 2x)dx = (14x − x ) =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少 1 万元