经济数学基随就性代数部分镰合练习及解答(6春) 中央电大顺静相 前面已轻介绍了微分部分和积分部分的棕合练习题，这里主要给出线性代数部分的嫁合 练习题。当然，5秋综合练习的贷料对大家的复习是十分有用的，请大家在复习时一定要 充分利用。 四、找性代数部分综合练习及解答 (一)单项选择题 1.设人、B均为”阶矩阵(”>》，则下列命题正确的是(). A.若超·0，则0或0B.秩(A+)=秩()+铁(B) C.(A-B)-42-248+B D.(B)Y=B'AY 容案：D 2.设A为3×2矩阵，B为2×4矩阵，C为4×2矩阵，则下列运算中()可以进行. A.ACTB B.ACTBT C.ACBY D.ACB 容案1B 3。设是可递矩阵，且，则(). A.B.C.D. 容案，C 4.设A=(-12),B=(仔)，1是单位矩阵，则AB-1=（) 6&.习.49 容案：A 「120-3 4=00-13 5.设 24-1-3, 则r()·(). A.4B.3C.2D.1 容案：C
1 经济数学基础线性代数部分综合练习及解答（06 春） 中央电大 顾静相 前面已经介绍了微分部分和积分部分的综合练习题。这里主要给出线性代数部分的综合 练习题，当然，05 秋综合练习的资料对大家的复习是十分有用的，请大家在复习时一定要 充分利用。 四、线性代数部分综合练习及解答 （一）单项选择题 1．设 A、B 均为 n 阶矩阵（ n 1) ，则下列命题正确的是 ( )． A．若 AB = O，则 A=O 或 B= O B．秩 (A + B) = 秩 (A) + 秩 (B) C． 2 2 2 (A− B) = A − 2AB + B D． T T T (AB) = B A 答案：D 2．设 A 为 32 矩阵，B 为 2 4 矩阵，C 为 4 2 矩阵，则下列运算中（ ）可以进行． A． AC B T B． T T AC B C． T ACB D． ACB 答案：B 3．设是可逆矩阵，且，则（ ）. A. B. C. D. 答案：C 4．设 A = (−1 2) ， B = (3 1)， I 是单位矩阵，则 A B − I T ＝（ ）． A． − − 6 1 4 1 B． − − 6 2 3 1 C． − − 1 2 3 6 D． − − 1 1 4 6 答案：A 5．设 − − − − = 2 4 1 3 0 0 1 3 1 2 0 3 A ，则 r(A) =（ ）． A．4 B．3C．2 D．1 答案：C
2 3 -20 0 0 2 0 3 -1 6.投线性方程组A仪=b的增广矩阵为0 2 0 =4 -8 则此线性方程 组的一般解中白由未知量的个数为(). A.1B.2C,3D.4 答案：A 7.线性方程组满足结论〔). L可能无解B贝有0解C有非0解D.一定有解 答案：D 8.设找性方程组AX■b有难一解，则相应的齐次方程组AX■O《), A.无解B.有非0解C.只有0解D.解不陵确定 容案：C x+2x2+3x1=2 无-无3■6 9.线性方程组《 -3x2+3=4（. A.有唯一解B.无解C.具有0解D.有无穷多解. 答案：B 二，填空圈 3 1,设 1-2A= 填写： 2.若界阶矩阵A满足，期A为对称矩库。 填写：Ar=A《或g=) 3.设A,B为两个已知矩阵，且/-B可逆，则方程A+x一术的解X。, 填写：(1-)A
2 6．设线性方程组 AX = b 的增广矩阵为 − − − − − 0 2 0 4 8 0 0 3 2 1 0 1 0 2 4 1 3 2 0 5 ，则此线性方程 组的一般解中自由未知量的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 7．线性方程组满足结论（ ）． A. 可能无解 B. 只有 0 解 C. 有非 0 解 D. 一定有解 答案: D 8．设线性方程组 AX = b 有唯一解，则相应的齐次方程组 AX = O （ ）． A．无解 B．有非 0 解 C．只有 0 解 D．解不能确定 答案：C 9. 线性方程组 − + = − = + + = 3 3 4 6 2 3 2 2 3 2 3 1 2 3 x x x x x x x （ ）． A．有唯一解 B．无解 C．只有 0 解 D．有无穷多解. 答案：B 二、填空题 1．设 − − = 1 2 1 3 A ，则 I − 2A = ． 填写： − − 2 5 1 6 2．若 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为对称矩阵. 填写：AT = A （或 aij = a ji ） 3．设 A , B 为两个已知矩阵，且 I − B 可逆，则方程 A + BX = X 的解 X = . 填写： I B A 1 ( ) − −
「2-121 02 4.矩阵0-33 的株为 填写：2 5。已知元线性方程组有解，且八<”，则该方程组的一般解中白由未知量的个数为。 填写：n-) x+x=1 6.当2= 时，方程组一玉一江：=一有无穷多解， 填写1 7。设齐次线性方程组AX=O。且该方程组有非0解，则 填写：≤m, 8.线性方程组AX=O的系数矩库A化成阶梯形矩库后为 「121 A→04-1 00d+1 则当时，方程组AX=O有非0解 填写：-1 三，计算题 「212 「-6 1 「1021 B=010 C= 2 4= 1.设矩阵 -20 L002 -42. 计算B财'+C -6 2 解：B4'+C0 22 0 -42 601 0 2
3 4．矩阵 − − 0 3 3 4 0 2 2 1 2 的秩为 ． 填写：2 5．已知元线性方程组有解，且 r(A) n ，则该方程组的一般解中自由未知量的个数为． 填写： n − r(A) 6．当 = 时，方程组 − − = − + = 1 1 1 2 1 2 x x x x 有无穷多解． 填写：1 7．设齐次线性方程组 Amn Xn1 = O ，且该方程组有非 0 解，则 r(A) ． 填写： min{ m, n} 8．线性方程组 AX = O 的系数矩阵 A 化成阶梯形矩阵后为 + → − 0 0 1 0 4 1 1 2 1 d A 则当时，方程组 AX = O 有非 0 解. 填写： −1 三、计算题 1．设矩阵 − = 1 2 0 1 0 2 A ， = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 B ， − − = 4 2 2 2 6 1 C ，计算 BA + C T ． 解： BA + C T = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 − 2 0 0 2 1 1 − − + 4 2 2 2 6 1 = − 4 0 0 2 6 0 − − + 4 2 2 2 6 1
4 2 2 H:MB4+C)=? -11 21 0 4 2.设矩阵A,【2 -1 -1 I为单位矩阵，求通矩阵(1+) 「012 1+A=1 4 解因为 2-0,且 「0121 00] 「114010 11 401 0 →0 2 1 00 1+M1)=l2 -10001 0-3-80-21 「102 -1 01100 2-11 →01 0+ 10 -21 00-2 3 -2 0 0-23-21 [100 2 -1 1 +010 4 =2 1 001-321-V2 「2-1 17 4 -2 1 所以1=【-32 1-V2 解矩阵方程AX一X+B :由AX=X+B,得(M-)X=B,且 -到 -6周
4 = 0 2 2 0 0 1 问： ( ) ? T r BA + C = 2．设矩阵 A = − − − 2 1 1 1 0 4 1 1 2 ，I 为单位矩阵，求逆矩阵 1 ( ) − I + A ． 解 因为 − + = 2 1 0 1 1 4 0 1 2 I A ，且 (I+A I ) = − − − → − 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 3 8 0 1 2 1 1 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 1 2 − − − − → − − − → 3 2 1 4 2 1 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 3 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 2 1 0 2 − − − − → 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 所以 A-1= − − − − 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 3．设 − = − − = 2 1 , 3 5 1 3 A B ，解矩阵方程 AX = X + B ． 解：由 AX = X + B ，得 (A − I)X = B ，且 − − − = 3 4 2 3 A I − − 3 4 0 1 2 3 1 0 → 3 4 0 1 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 0 4 3
-r-[ .a-r- 1-10] [200 A= 2 1,B=050 4.设矩阵 [223005 求AB 解：利用初等行变换得 「1-1010 0 「1-10100 -1 2101 → 1 10 2 23001 10 43 -201 「1-101 00] 「1-10 10 0 →01 1 0+010-5-31 0 0 -1 -6-4 10 01 6 4-1 「100-4-311 →01 0 -5 -3 1 L001 6 4 -1 -4-311 =-5 -3 1 即 L 6 4 -1 由矩阵乘法得 -4 -3 1T20 07 「-8 -15 B= -5 -3 人 -10 -15 6 4-100 5 12 5.求线性方程组 +工：+ =0 2x-3+8x,+3x,■0 2+3x-x1=0 的一粮解。 解：因为系数矩阵
5 即 − − − = − 3 2 4 3 ( ) 1 A I 所以，X = − − − − = − 2 1 3 2 4 3 ( ) 1 A I B = −1 2 4．设矩阵 = − − = 0 0 5 0 5 0 2 0 0 , 2 2 3 1 2 1 1 1 0 A B ，求 A B −1 ． 解：利用初等行变换得 − − → − − 0 4 3 2 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 2 3 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 − − − − → − − − − → 0 0 1 6 4 1 0 1 0 5 3 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 6 4 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 − − − − − → 0 0 1 6 4 1 0 1 0 5 3 1 1 0 0 4 3 1 即 − − − − − = − 6 4 1 5 3 1 4 3 1 1 A 由矩阵乘法得 − − − − − = − − − − − = − 12 20 5 10 15 5 8 15 5 0 0 5 0 5 0 2 0 0 6 4 1 5 3 1 4 3 1 1 A B 5．求线性方程组 + − = − + + = + + = 2 3 0 2 8 3 0 0 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 x x x x x x x x x x 的一般解． 解： 因为系数矩阵
11101「11101「1031 A=2-183→0-3 6 3→01-2-1 230-01-2-10000 高1■-3郑-x4 所以一舰解为妇 1x=2+x4, 其中。是自由未知量 6.求线性方程组 [x1+2x3-x4=2 -%+x1-3,+2x4=-3 2x1-2+5红1-3x=5 的一般解 解因为系数矩库 「102 -121 「102-12 M=-1 1-3 -3 -1 2-15-35 0-11-11 [102 -127 →01-11-1 00000 无=2-2x3+x 所以一般解为西-1+无一x4 《其中，4是自由未知量) 7.当入取何值时，线性方程组 馬1+2x2+x3■0 2x+3x3+x1=0 3%1+2+x=0 有非0解？并求一般解。 「1211「1211「10-1 A=231→0-1 -1 011 解因为增广矩库 31A0-5-3 100+2 所以当入=-2时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： 名■高 书=一()是自由未知量)
6 → − − − − → − − = − 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 3 1 0 1 2 1 0 3 6 3 1 1 1 0 2 3 0 1 2 1 8 3 1 1 1 0 A 所以一般解为： = + = − − 2 3 4 1 3 4 2 3 x x x x x x ， 其中 3 x ， 4 x 是自由未知量． 6．求线性方程组 − + − = − + − + = − + − = 2 5 3 5 3 2 3 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 x x x x x x x x x x x 的一般解 解 因为系数矩阵 − − − − − → − − − − − − = 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 1 5 3 5 1 1 3 2 3 1 0 2 1 2 A − − − → 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 2 1 2 所以一般解为 = − + − = − + 2 3 4 1 3 4 1 2 2 x x x x x x （其中 3 x ， 4 x 是自由未知量） 7．当 取何值时，线性方程组 + + = + + = + + = 3 0 2 3 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有非 0 解？并求一般解． 解 因为增广矩阵 − − → − − = 0 5 3 0 1 1 1 2 1 3 1 2 3 1 1 2 1 A + − → 0 0 2 0 1 1 1 0 1 所以当 = -2 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： = − = 2 3 1 3 x x x x ( x3 是自由未知量)
2 +2%3+x3=1 2x1+3g2+无=2 8.当2取何做时，线性方程组【3班+名一2，一A 有解？并求一根解。 1211N 12 11 A=231 2 +0-1-10 解因为增广矩库 31-2 0-5-51-3 10-1 →0110 (0001-3 ,当入=3时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： x=33+1 高■-x (是自由未知量) 四，证明圈 1.设n阶方阵A满足A一I,AA一1，试证A为对称矩阵。 证因为A=I,A=I且 A=I=AA=AAA)=AI=A 所以A为对称距阵 2.设A是刀阶可逆对际矩阵，试证A-1为对称矩阵 证因为A”■A,太1存在，且 (A=(A)=A 所以A为对称矩阵。 3.试证：设是n阶矩阵，若=O,则-A)=1+A+ 证因为W-A联1+A+) -1+A+A2-A-A2-A31-A。1 所以(-A)-1+A+A2 4.设n阶矩阵A满足(A-X4+)=0,则A为可逆矩阵。 证因为(A-NA+)=A-I-0,即=1
7 8．当 取何值时，线性方程组 + − = + + = + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 2 3 2 2 1 x x x x x x x x x 有解？并求一般解． 解 因为增广矩阵 − = 3 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 A − − − → − − 0 5 5 3 0 1 1 0 1 2 1 1 − − → 0 0 0 3 0 1 1 0 1 0 1 1 当 =3 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： = − = + 2 3 1 3 1 x x x x ( x3 是自由未知量) 四、证明题 1．设 n 阶方阵 A 满足 A = I 2 ， AA = I T ，试证 A 为对称矩阵． 证 因为 A = I 2 ， AA = I T 且 A = IA = A A = A(AA ) = AI = A T T 2 T T 所以 A 为对称矩阵． 2．设 A 是 n 阶可逆对称矩阵，试证 A-1 为对称矩阵． 证 因为 A = A T ，A-1 存在，且 1 T T 1 1 ( ) ( ) − − − A = A = A 所以 A 为对称矩阵． 3．试证：设是 n 阶矩阵，若 A = O 3 ，则 1 2 (I − A) = I + A+ A − ． 证 因为 ( )( ) 2 I − A I + A+ A = 2 2 3 I + A+ A − A− A − A = 3 I − A = I 所以 1 2 (I − A) = I + A+ A − 4．设 n 阶矩阵 A 满足 (A − I)(A + I) = 0 ，则 A 为可逆矩阵． 证 因为 ( )( ) 0 2 A− I A+ I = A − I = ，即 A = I 2
所以A为可逆矩阵. 上而我们给出了本课程的综合练习，这些题都是重点，希望大家在自己复习过程中，重 视并要掌挥这些例愿
8 所以 A 为可逆矩阵． 上面我们给出了本课程的综合练习，这些题都是重点，希望大家在自己复习过程中，重 视并要掌握这些例题．