经济数学基驰综合练习及参考答案 中央电大顺静相 第三郁线性代数 一、单项选邦题 1.设A为3×2矩阵，B为2×3矩库，则下列运算中()可以进行. A.ABB.ABT C.A+B D.BAT 2。设AB为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是() A (AB)=ABT B.(AB)=BTAT C(AB'=r'(B)户D.(MB)户=r'(BY 3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是() A若超=1，则必有A=I或B=1R(4B)F=A'BT C秩(A+B)=秩(A)+秩(B)(AB)=BAr 4.设A,B均为阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是《)， A.AB=BB.AB=BAC.AA=I D.A-= 5.设是呵逆矩阵，且，则(). A且CD 6.设A=12),B=(-13),1是单位矩阵，则AB-1=（）, T,设下面矩阵A,BC能法行乘法运算，那么()成立 A,AB=C,A≠O.则B=GB,B=AC,A可逆，则B=C C,A可逆，则B=MD.B=0,则有A=0,或B=0 8,设是阶可逆矩库，是不为0的常数，则()， A.B C.D. 「120-3 A=00-13 9.设 24-1-3,则rw=( A.4B.3C.2D.1
1 经济数学基础综合练习及参考答案 中央电大 顾静相 第三部 线性代数 一、单项选择题 1．设 A 为 32 矩阵，B 为 23 矩阵，则下列运算中（）可以进行. A．ABB．ABT C．A+B D．BAT 2．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A. T T T (AB) = A B B. T T T (AB) = B A C. T 1 1 T 1 ( ) ( ) − − − AB = A B D. T 1 1 1 T ( ) ( ) − − − AB = A B 3．设 A , B 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = I B. T T T (AB) = A B C. 秩 (A + B) = 秩 (A) + 秩 (B) D. 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 4．设 A , B 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ ）． A． AB = B B． AB = BA C． AA = I D． A = I −1 5．设是可逆矩阵，且，则（ ）. A. B. C. D. 6．设 A = (1 2)， B = (−1 3) ， I 是单位矩阵，则 A B − I T ＝（ ）． A． − − 2 6 1 3 B． − − 3 6 1 2 C． − − 3 5 2 2 D． − − 2 5 2 3 7．设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（）成立. A．AB = AC，A 0，则 B = CB．AB = AC，A 可逆，则 B = C C．A 可逆，则 AB = BA D．AB = 0，则有 A = 0，或 B = 0 8．设是阶可逆矩阵，是不为 0 的常数，则（ ）． A. B. C. D. 9．设 − − − − = 2 4 1 3 0 0 1 3 1 2 0 3 A ，则 r(A) =（ ）． A．4 B．3C．2 D．1
312 67 0 -131 0 002 -1 10.设找性方程组代=b的增广矩阵通过初等行变换化为0 0000」 则此线性方程组的一般解中白由未知量的个数为()· A.1B.2C.3D.4 名+3=1 11.线性方程组名+五=0解的情况是() A无解B.只有0解C有难一解 几有无穷多解 a=42 12。若线性方程组的增广矩阵为 210.则当2=( )时线性方程组 无解， 1 A.2B.0C.1D.2 13.找性方程组只有零解，则(》 人有唯一解B,可能无解C,有无穷多解D.无解 14.设找性方程组Ab中，若r(A,b)=4,r()=3,则该线性方程组()· A.有唯一解B.无解C.有非零解D.有无穷多解 15.设线性方程组LX=B有壁一解，则相应的齐次方程组LK=O(）, A,无解B.有非零解C,只有零解D.解不能确定 二，填空题 1,两个矩库A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是 2 2.计算矩库乘积 5.若知阵A-【1B.P-3刂，则AB 4.设为库，为矩阵，若B与A都可进行运算，则有关系式， f102 A=a03 .23-可，当 时，是对称矩库。 2
2 10．设线性方程组 AX = b 的增广矩阵通过初等行变换化为 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 3 1 4 1 3 1 2 6 ， 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）． A．1 B．2C．3 D．4 11．线性方程组 + = + = 0 1 1 2 1 2 x x x x 解的情况是（ ）． A. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为 = 2 1 0 1 2 A ，则当 ＝（ ）时线性方程组 无解． A． 1 2 B．0 C．1 D．2 13． 线性方程组只有零解，则（ ）. A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解 14．设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）． A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解 15．设线性方程组 AX = b 有唯一解，则相应的齐次方程组 AX = O （ ）． A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定 二、填空题 1．两个矩阵 A , B 既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 2．计算矩阵乘积 − 1 0 2 0 1 1 3 0 0 1 2 = ． 3．若矩阵 A = −1 2，B = 2 −3 1 ，则 ATB= ． 4．设为矩阵，为矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则有关系式． 5．设 − = 2 3 1 0 3 1 0 2 A a ，当 时，是对称矩阵
「13 A= 6.当a时，矩阵-1a可逆 7,设A,B为两个己知矩阵，且I一B可逆，则方程A+X=X的解X= 8.设A为n阶可逆矩库，则「()= 「2-12 402 9.若知阵A0-33, 则r)= 10.若r(A,b》=4,r(A)=3,则线性方程组A=b 名-x=0 11.若线性方程组西+=0有非零解，元= 12.设齐次线性方程组X网=0，且铁份“r《,则其一般解中的自由未知 量的个数等于 「1-123 A=010-2 13.齐次线性方程组AX=0的系数更阵为 000 了则此方程组的一般 解为： 14.线性方程组的增广矩库化成阶棉形矩阵后为 「120101 A→042-1 0000d+1 则当 时，方程组有无穷多解。 15.若找性方程组有唯一解，则 三，计算题 102 「2 -12 4 B=-13 1.设矩阵 3 11 03,21-A')B 「2121 「-61 「1021B=0 0 C 2 2.设矩 -20. 002.42.计算+C
3 6．当 a 时，矩阵 − = a A 1 1 3 可逆. 7．设 A , B 为两个已知矩阵，且 I − B 可逆，则方程 A + BX = X 的解 X = ． 8．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 r (A)=． 9．若矩阵 A = − − 0 3 3 4 0 2 2 1 2 ，则 r(A) = ． 10．若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组 AX = b ． 11．若线性方程组 + = − = 0 0 1 2 1 2 x x x x 有非零解，则 = ． 12．设齐次线性方程组 AmnXn1 = 0 ，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知 量的个数等于． 13．齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵为 − − = 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 2 3 A 则此方程组的一般 解为 . 14．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为 + → − 1 1 0 0 0 0 0 0 4 2 1 1 2 0 1 d A 则当 时，方程组有无穷多解. 15．若线性方程组有唯一解，则. 三、计算题 1．设矩阵 = − 3 1 1 1 2 4 1 0 2 A ， = − 0 3 1 3 2 1 B ，求 (2I A )B T − ． 2．设矩阵 − = 1 2 0 1 0 2 A ， = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 B ， − − = 4 2 2 2 6 1 C ，计算 BA + C T ．
-13-6-3 -4-2-1 3,设矩阵A=L 2 11」. 求A 0 12 14 4.设艳阵A-2 -10 求逆矩库A T63 -2 12 5. 设矩A= -20.B-4 计算A8)-1, 11 0 -2 2 6.设矩阵A 0.。0-12 2 计算（®U-1. -2 7.解矩阵方程 eB司 9.设战性方程组 +3=2 +2x2-x3=0 21+2-匹3=b 讨论当a,b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解 名+2x,=- -名1+x3-3,=2 10.设线性方程组 2x-x2+5x,=0 ,求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判斯其解 的情况 1山，求下列线性方程组的一般解： +2x1-x1=0 -x1+无2-3红1+2x=0 2x1-32+5x3-3x4=0 12,求下列线性方程组的一般解：
4 3．设矩阵 A = − − − − − − 2 1 1 4 2 1 13 6 3 ，求 −1 A ． 4．设矩阵 A = 2 −1 0 1 1 4 0 1 2 ，求逆矩阵 −1 A ． 5．设矩阵 A = − − 1 2 0 1 0 2 ，B = 4 1 1 2 6 3 ，计算(AB)-1． 6．设矩阵 A = − 2 0 0 2 1 1 ，B = − − 0 1 2 1 2 3 ，计算(BA)-1． 7．解矩阵方程 − = − − 2 1 3 4 2 3 X ． 8．解矩阵方程 − = 2 0 1 1 3 5 1 2 X . 9．设线性方程组 + − = + − = + = x x ax b x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 0 2 讨论当 a，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 10．设线性方程组 − + = − + − = + = − 2 5 0 3 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 3 x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解 的情况. 11．求下列线性方程组的一般解： − + − = − + − + = + − = 2 5 3 0 3 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：
2x1-5%2+2x,=-3 黑+2x3-x,=3 -2x1+14x:-6x=12 13.设齐次线性方程组 x-3x3+2x1=0 2%-5x1+3x1=0 3x1-8x1+2x3=0 日入取何值时方程组有非零解，并求一般解 +x2+3=1 2无+无2-4x3■月 14.当2取何值时。线性方程组一 +5x,=1 有解？并求一般解 15.已如线性方程组A仪=b的增广矩阵经初等行变换化为 「1-16-311 A→…→ 0 01-33 0000-3 月入取何值时，方程组A化=6有解？当方程组有解时，求方程组AK=b的一般解 四、证明题 1,试证！设A,B,B均为阶对称矩库，则BA 2.试证：设是n阶矩阵，若A。0,则W-)=1+A+户 4=(B+D) 3.已如矩库 2 ,且4=A,试证B是可逆阵，并求B一 4设阶矩库满足，AH=I,证明是对称矩阵 5,设A。B均为n阶对称矩阵。AB十B以也是对移矩军， 试题答案 单项选择题 1.A2.3.D4.D5.06D7.B8.C9.D10.A11.A12.A13.B14.B15.C 二，填空题 「-23-1门 1.A与B是同阶矩阵2.[]3. 4-62J4.5.06.*-37.0-4
5 − + − = + − = − + = − 2 14 6 12 2 3 2 5 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组 − + = − + = − + = 3 8 0 2 5 3 0 3 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 问取何值时方程组有非零解，并求一般解. 14．当 取何值时，线性方程组 − + = + − = + + = 5 1 2 4 1 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x 有解？并求一般解. 15．已知线性方程组 AX = b 的增广矩阵经初等行变换化为 − − − − → → 0 0 0 0 3 0 1 3 3 0 1 1 6 3 1 A 问 取何值时，方程组 AX = b 有解？当方程组有解时，求方程组 AX = b 的一般解. 四、证明题 1．试证：设 A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA． 2．试证：设是 n 阶矩阵，若 3 A = 0，则 1 2 (I − A) = I + A+ A − ． 3．已知矩阵 ( ) 2 1 A = B + I ，且 A = A 2 ，试证 B 是可逆矩阵，并求 −1 B . 4. 设阶矩阵满足， T AA I = ，证明是对称矩阵. 5．设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB＋BA 也是对称矩阵． 试题答案 单项选择题 1. A2. B3. D4. D5. C6. D7. B8. C9.D10. A11. A12. A13. B14. B15. C 二、填空题 1． A 与 B 是同阶矩阵 2．[4]3． − − − 4 6 2 2 3 1 4．5．0 6． −3 7． I B A 1 ( ) − −
x1=-2x3-g 8.月9.210.无解11.-112.n-r3. x2=2x4 (其中，4是自由未知量) 14.-115.只有0解 三、计算题 「100102 20 1.解因为21-A。 001311 :非 2 所以 (21-A)B. 那司 21 2.解：B+C 601「-611 00-42 -2 02 -13-6-3100]114107 -4 -2-1 010→001012 3.解因为a1)-【2 001211001 「11 4 1 0 77 101-4-1 0 0 2 0-1-7 -2 0-13 10 -10-2 71 [1 0 3 0 01 +0-10 1+0 -1 0010 12 001 0 12 「-13 01 2 -1 所以1【012
6 8． n 9．210．无解 11．-1 12．n – r13． = = − − 2 4 1 3 4 2 2 x x x x x (其中 3 4 x , x 是自由未知量) 14． −1 15．只有 0 解 三、计算题 1．解 因为 T 2I − A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 T 3 1 1 1 2 4 1 0 2 − − = 0 0 2 0 2 0 2 0 0 − − 2 4 1 0 2 1 1 1 3 = − − − − 2 4 1 0 0 1 1 1 3 所以 (2I A )B T − = − − − − 2 4 1 0 0 1 1 1 3 − 0 3 1 3 2 1 = − − − 0 11 0 3 1 5 2．解： BA + C T = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 − 2 0 0 2 1 1 − − + 4 2 2 2 6 1 = − 4 0 0 2 6 0 − − + 4 2 2 2 6 1 = 0 2 2 0 0 1 3．解 因为 (A I )= − − − − − − 2 1 1 0 0 1 4 2 1 0 1 0 13 6 3 1 0 0 → 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 4 1 0 7 − − − − → 0 1 7 2 0 13 0 0 1 0 1 2 1 1 4 1 0 7 − − − − → 0 1 0 2 7 1 0 0 1 0 1 2 1 1 0 1 4 1 − − − → 0 0 1 0 1 2 0 1 0 2 7 1 1 0 0 1 3 0 − − − → 0 0 1 0 1 2 0 1 0 2 7 1 1 0 0 1 3 0 所以 A-1 = − − − 0 1 2 2 7 1 1 3 0
「012100]「11 4010 114010→01210 0 4.解因为a1)=2-0001 0-3-80-21 「102-11 0]「1002-111 →012 0 0 →0 0 4 -21 00-23-21 00-23-21 「100 2 -11 →010 4 -21 001-321-12 「2-1 4-2 所以A1--321 -12 5,解因为B G40-B1 「-211 :-6割 所以(8)-1= 6.解因为B 非： u:6周 -5-31 -64刻 所以(BAU-1= 割
7 4．解 因为(A I ) = − − − → − 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 3 8 0 1 2 1 1 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 1 2 − − − − → − − − → 3 2 1 4 2 1 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 3 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 2 1 0 2 − − − − → 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 所以 A-1= − − − − 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 5．解 因为 AB = − − 1 2 0 1 0 2 4 1 1 2 6 3 = − − 4 1 2 1 (AB I ) = − → − − 0 1 2 1 2 1 1 0 4 1 0 1 2 1 1 0 → − − − → 0 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 1 所以 (AB)-1= 2 1 2 1 2 1 6．解 因为 BA= − − 0 1 2 1 2 3 − 2 0 0 2 1 1 = − − 4 2 5 3 (BA I )= − − → − − 4 2 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 5 3 1 0 − − − → 0 2 4 5 1 1 1 1 − − → 2 5 0 1 2 2 3 1 0 1 所以(BA)-1= − − 2 5 2 2 3 1
-6周 b464 -3 所以，。 [周 66 rox 所以， 「1012]1012 12 -10→02 -2 -2 9.解因为 21-ab01-a-2b-4 101 21 →01 - -1 00-a-1b-3 所以当口=一1且b≠3时，方程组无解： 当a一1时，方程组有唯一解： 当口=-1且b=3时，方程组有无穷多解. 10.解因为 「102 -11 102-1 4--1 2 1 2-15 0]0-112 「102-11 +01-1 0003 所以r0·2,r(A)·3
8 7．解 因为 − − 3 4 0 1 2 3 1 0 → 3 4 0 1 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 0 4 3 即 − − = − − − 3 2 4 3 3 4 2 3 1 所以，X = − − − 2 1 3 2 4 3 = −1 2 8．解：因为 3 5 0 1 1 2 1 0 − − → 0 1 3 1 1 2 1 0 − − → 0 1 3 1 1 0 5 2 即 − − = − 3 1 5 2 3 5 1 2 1 所以，X = 1 3 5 1 2 2 0 1 1 − − = − − − 3 1 5 2 2 0 1 1 = − − 10 4 8 3 9．解 因为 − − − → − − − − 0 1 2 4 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2 a b a b − − − → − − 0 0 1 3 0 1 1 1 1 0 1 2 a b 所以当 a = −1 且 b 3 时，方程组无解； 当 a −1 时，方程组有唯一解； 当 a = −1 且 b = 3 时，方程组有无穷多解. 10．解 因为 − − − → − − − − = 0 1 1 2 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 5 0 1 1 3 2 1 0 2 1 A − − → 0 0 0 3 0 1 1 1 1 0 2 1 所以 r(A) = 2，r( A ) = 3
又因为r()华r(A),所以方程组无解. 11,解因为系数矩时 「102 -1 102 「102-1 A=-11-32 0 -11 2 -15-3 0 -11 -1 0000 1=-253+x4 所以一般解为书=名一名 (其中，x4是自由未知量) 12.解因为增广矩腾 「2-52 -37 2-1 37 「10-V/91 A 12 -1 0 -9 4 -9 01-4/91 -214-612 18 -8 18 000 1 =g+1 4 所以一般解为 g+川 (其中是自由未知量) 13.解因为系数矩阵 「1-32 1 -3 2 10-1 2-53 0 -1 01-1 A 3-8 01-6 00A-5 所以当入=5时，方程组有非零解.且一般解为 书= 2= 《其中是自由未知量) 14.解因为增广矩阵 5 0162 「10-5-1 +016 L000 所以当人=0时，线性方程组有无穷多解。且一般解为： 高■5x-1 3=6x,+2 (x是白由未知量)
9 又因为 r(A) r( A )，所以方程组无解. 11．解 因为系数矩阵 − − − − → − − − − − = 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 5 3 1 1 3 2 1 0 2 1 A − − → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 所以一般解为 = − = − + 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x （其中 3 x ， 4 x 是自由未知量） 12．解 因为增广矩阵 − − − − → − − − − − = 0 18 8 18 0 9 4 9 1 2 1 3 2 14 6 12 1 2 1 3 2 5 2 3 A − − → 0 0 0 0 0 1 4 9 1 1 0 1 9 1 所以一般解为 = + = + 1 9 4 1 9 1 2 3 1 3 x x x x （其中 3 x 是自由未知量） 13．解 因为系数矩阵 A = − − − → − − − 0 1 6 0 1 1 1 3 2 3 8 2 5 3 1 3 2 − − − → 0 0 5 0 1 1 1 0 1 所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为 = = 2 3 1 3 x x x x （其中 3 x 是自由未知量） 14．解 因为增广矩阵 → − − − − = − 0 1 6 2 0 1 6 2 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 4 1 1 1 1 A − − → 0 0 0 0 1 6 2 1 0 5 1 所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： = − + = − 6 2 5 1 2 3 1 3 x x x x ( x3 是自由未知量〕
15.解：当2=8时，川)=(=2，方程组有解。 「1-16-311「10301 A→01-330→01-330 当入=3时， 00000 00000 属■1-3x 一般解为名=3一3，其中5，本为自由未知能 四，证明题 1.证因为AT·A,盯·B,(AB)T·A品 所以·(B)T=BTAT=A 2.正因为(U-A1+A+) =1+A+A2-A-2--1-A.1 所以U-A)=1+A+A2 为-a+-28+n 3旺因为 ,且=A,即 8+28+0=B+D 得B=I,所以B是可通矩阵，且B=B, 4,正因为 A=AI-AAA=AT=A刀 所以是对称矩阵 5,证因为A-AB-B,且 (AB+BA)=(AB)+(B4)=BTAT+ATBT BA+AB=AB+8A 所以AB+BA是对称矩阵， 10
10 15．解：当 =3 时， r(A) = r(A) = 2 ，方程组有解. 当 =3 时， → − − − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 1 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 1 1 6 3 1 A 一般解为 = − = − 2 3 4 1 3 3 3 1 3 x x x x x ， 其中 3 x , 4 x 为自由未知量. 四、证明题 1．证 因为 AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2．证 因为 ( )( ) 2 I − A I + A+ A = 2 2 3 I + A+ A − A− A − A = 3 I − A = I 所以 1 2 (I − A) = I + A+ A − 3. 证 因为 ( 2 ) 4 1 ( ) 4 2 1 2 2 A = B + I = B + B + I ，且 A = A 2 ，即 ( ) 2 1 ( 2 ) 4 1 2 B + B + I = B + I ， 得 B = I 2 ，所以 B 是可逆矩阵，且 B = B −1 . 4. 证 因为 A = AI = T T AAA = IA = T A 所以是对称矩阵. 5．证 因为 A = A B = B T ， T ，且 T T T (AB + BA) = (AB) + (BA) T T T T = B A + A B = BA + AB = AB + BA 所以 AB＋BA 是对称矩阵．