经济数学基陷战性代数部分線合练习及参考答案(06秋) 中央电大教育学院陈卫宏 第三部线性代数 一、单项选择题 1.设A为3×2矩阵，B为2×3矩库，测下列运算中()可以进行. A.ABB.ABT C.A+B D.BAT 2.设AB为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是() A (AB)=BT 且(AB=BTA C.(4B)-(B)D.(4B)-(B) 3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是〔) A若超·I,则必有A·【或B=1R(4B)=ABT C秩(A+B)=秩()+铁(B)(MB=BΓ 4,设A,B均为阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩降的是()， A.AB-BB.AB-BAC.AAI D.A= 5.设是可逆矩阵，且，则〔)， A.B.C.D. 6.设A=02),B=(-13),1是单位知阵，则4B-1=（) 7.设下面矩阵A,民C能进行乘法运算，那么()成立 A,AB=C,A≠O,则B=GB.AB=AC,A可逆，则B=C C,A可逆，则AB=MD.AB=0,则有A=0,成B=0 8。设是阶可逆库，是不为0的常数，则()， A.B C.D. 「120-3 A=00-13 9设 24-1-3.则rw=() A.4B.3C.2D.1
1 经济数学基础线性代数部分综合练习及参考答案（06 秋） 中央电大教育学院 陈卫宏 第三部 线性代数 一、单项选择题 1．设 A 为 32 矩阵，B 为 23 矩阵，则下列运算中（）可以进行. A．ABB．ABT C．A+B D．BAT 2．设 A, B 为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A. T T T (AB) = A B B. T T T (AB) = B A C. T 1 1 T 1 ( ) ( ) − − − AB = A B D. T 1 1 1 T ( ) ( ) − − − AB = A B 3．设 A , B 为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A. 若 AB = I，则必有 A = I 或 B = I B. T T T (AB) = A B C. 秩 (A + B) = 秩 (A) + 秩 (B) D. 1 1 1 ( ) − − − AB = B A 4．设 A , B 均为 n 阶方阵，在下列情况下能推出 A 是单位矩阵的是（ ）． A． AB = B B． AB = BA C． AA = I D． A = I −1 5．设是可逆矩阵，且，则（ ）. A. B. C. D. 6．设 A = (1 2)， B = (−1 3) ， I 是单位矩阵，则 A B − I T ＝（ ）． A． − − 2 6 1 3 B． − − 3 6 1 2 C． − − 3 5 2 2 D． − − 2 5 2 3 7．设下面矩阵 A, B, C 能进行乘法运算，那么（）成立. A．AB = AC，A 0，则 B = CB．AB = AC，A 可逆，则 B = C C．A 可逆，则 AB = BA D．AB = 0，则有 A = 0，或 B = 0 8．设是阶可逆矩阵，是不为 0 的常数，则（ ）． A. B. C. D. 9．设 − − − − = 2 4 1 3 0 0 1 3 1 2 0 3 A ，则 r(A) =（ ）． A．4 B．3C．2 D．1
「131261 0 -131 4 0002-1 10.设线性方程组1X=B的增广阵通过初等行变换化为0000 0」 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为()， A.1B.2.3D.4 名+3=1 1山.线性方程组名+名=0解的情况是(). A无解B.只有0解C有隆一解 D.有无穷多解 1A2 7- 12。若线性方程组的增广矩阵为 210可.则当2一()时线性方程组 无解. 1 A.2B.0c.1D.2 13。线性方程组只有零解，则(). A有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解 14.设线性方程组b中，若r(A,b)"4,r(A)”3,则该线性方程组(). A。有唯一解B,无解C。有丰零解D。有无穷多解 15.设战性方程组X=b有难一解，则相应的齐次方程组X=O〔）. A.无解B,有非零解C,只有零解D,解不能确定 二，填空题 1。两个知库A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是 2.计算矩库乘积 3.若矩阵A-卜12习.B.P-3刂，则AB 4,设为矩库，为矩阵，若旧与A都可进行运算，则有关系式， 「102 A=a03 5.设 23- 当 时，是对称矩库， 「 3] 6.当a时，矩阵 2
2 10．设线性方程组 AX = b 的增广矩阵通过初等行变换化为 − − 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 3 1 4 1 3 1 2 6 ， 则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）． A．1 B．2C．3 D．4 11．线性方程组 + = + = 0 1 1 2 1 2 x x x x 解的情况是（ ）． A. 无解 B. 只有 0 解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为 = 2 1 0 1 2 A ，则当 ＝（ ）时线性方程组 无解． A． 1 2 B．0 C．1 D．2 13． 线性方程组只有零解，则（ ）. A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解 14．设线性方程组 AX=b 中，若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（ ）． A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解 15．设线性方程组 AX = b 有唯一解，则相应的齐次方程组 AX = O （ ）． A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定 二、填空题 1．两个矩阵 A , B 既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 2．计算矩阵乘积 − 1 0 2 0 1 1 3 0 0 1 2 = ． 3．若矩阵 A = −1 2，B = 2 −3 1 ，则 ATB= ． 4．设为矩阵，为矩阵，若 AB 与 BA 都可进行运算，则有关系式． 5．设 − = 2 3 1 0 3 1 0 2 A a ，当 时，是对称矩阵. 6．当 a 时，矩阵 − = a A 1 1 3 可逆
7.设A,B为两个已知矩阵，且I-B可逆，则方程A+x一X的解X一 8.设A为阶可逆矩库，则F()= [2-121 402 9.若矩阵A0-3, 则r) 10.若r(A,b)·4,rA)■3，则线性方程组成“b 本-无=0 1山.若线性方程组西+码0有非零解，则2= 12。设齐次线性方程组mX1=0,且铁)=r《,则其一般解中的白由未知 量的个数等于 「1-12 3 A=01 0-2 13.齐次线性方程组AX■0的系数矩阵为 10000 了则此方程组的一般 解为· 14。线性方程组的增广使库化成阶棉形矩库后为 f1201 0 A→042-1 L0000d+1 则当 时，方程组有无穷多解。 15.若线性方程组有唯一解，则 三，计算圈 102 「21 -12 4 B=-13 1.设矩阵 311 0.21-A)B 121 「-61 B■ 0 C■ 2 2.设矩殊 0J. 002.-42 计算BA'+C 「-13 -6 -3 -4-2 =1 3,设矩阵A=L 211J 求A
3 7．设 A , B 为两个已知矩阵，且 I − B 可逆，则方程 A + BX = X 的解 X = ． 8．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则 r (A)=． 9．若矩阵 A = − − 0 3 3 4 0 2 2 1 2 ，则 r(A) = ． 10．若 r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组 AX = b ． 11．若线性方程组 + = − = 0 0 1 2 1 2 x x x x 有非零解，则 = ． 12．设齐次线性方程组 AmnXn1 = 0 ，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知 量的个数等于． 13．齐次线性方程组 AX = 0 的系数矩阵为 − − = 0 0 0 0 0 1 0 2 1 1 2 3 A 则此方程组的一般 解为 . 14．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为 + → − 1 1 0 0 0 0 0 0 4 2 1 1 2 0 1 d A 则当 时，方程组有无穷多解. 15．若线性方程组有唯一解，则. 三、计算题 1．设矩阵 = − 3 1 1 1 2 4 1 0 2 A ， = − 0 3 1 3 2 1 B ，求 (2I A )B T − ． 2．设矩阵 − = 1 2 0 1 0 2 A ， = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 B ， − − = 4 2 2 2 6 1 C ，计算 BA + C T ． 3．设矩阵 A = − − − − − − 2 1 1 4 2 1 13 6 3 ，求 −1 A ．
「012 14 4.设矩阵A=2-10小 求逗矩库A 63 2 5.设矩如阵A 41 1-20.B 计算A)-1. 0 6.设矩阵A 2 计算()-1. 7.解蜘阵方程L 周 e非司 8. 9。设线性方程组 +3=2 +2x2-x3=0 21+2-ar3=b 讨论当a,b为何值时，方程组无解，有难一解，有无穷多解. +2x,=-1 -高1+x2-3红1=2 10.设线性方程组 2工，一本+5江=0，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解 的情况 11.求下列线性方程组的一般解： [31+2x,-x,=0 -x1+无2-3x1+2x■0 2%-x3+5x,-3x,=0 12.求下列线性方程组的一枚解： 2x1-52+2x,=-3 本+2-x=3 -2x+14x3-6x3=12 13.设齐次线性方程组
4 4．设矩阵 A = 2 −1 0 1 1 4 0 1 2 ，求逆矩阵 −1 A ． 5．设矩阵 A = − − 1 2 0 1 0 2 ，B = 4 1 1 2 6 3 ，计算(AB)-1． 6．设矩阵 A = − 2 0 0 2 1 1 ，B = − − 0 1 2 1 2 3 ，计算(BA)-1． 7．解矩阵方程 − = − − 2 1 3 4 2 3 X ． 8．解矩阵方程 − = 2 0 1 1 3 5 1 2 X . 9．设线性方程组 + − = + − = + = x x ax b x x x x x 1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 0 2 讨论当 a，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. 10．设线性方程组 − + = − + − = + = − 2 5 0 3 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 3 x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解 的情况. 11．求下列线性方程组的一般解： − + − = − + − + = + − = 2 5 3 0 3 2 0 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解： − + − = + − = − + = − 2 14 6 12 2 3 2 5 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组
1-3x2+2x1=0 2x1-5x:+3x=0 3第1-8x3+x=0 月取何值时方程组有非零解，并求一般解。 高+离3+离3=1 2x+2-4x1=2 14。当入取何做时，线性方程组【一无 +5x1=1 有解？并求一般解 15.己知线性方程组AX=b的增广矩阵经初等行变换化为 「1-16-311 →…→01-330 00001-3 日之取何值时，方程组AX=B有解？当方程组有解时，求方程组A=b的一般解。 四、证明圈 1,试证：设A,B,AB均为阶对称矩阵，则B=A, 2.试证设是n阶矩阵，若A3=0,则(-)=1+A+A2 A=-(B+I) 3.已知矩库 2 ,且A=A,试证B是可逆矩阵，并求B 4。设阶矩阵满是。AM一I,证明是对称矩阵。 5.设A,B均为n阶对称矩阵，则AB十队也是对称矩库 试题答案 单项选释题 1.A2.B3DM.5.06D7.B8.C9.D10.A11.A2.Al3B14.B15.C 二，填空题 「-23-1] 1.A与B是同阶矩库2.[4)3. L4-62J4.5.06.≠-37.0-B4 1=-2x3-8 8.R9.210.无解11.-112.n-r13. 32=2x (就中，成是自由未知量) 14.-115.只有0解 三，计算题 [1001「102 .解因为21-4：00可31，八 20
5 − + = − + = − + = 3 8 0 2 5 3 0 3 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 问取何值时方程组有非零解，并求一般解. 14．当 取何值时，线性方程组 − + = + − = + + = 5 1 2 4 1 1 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x 有解？并求一般解. 15．已知线性方程组 AX = b 的增广矩阵经初等行变换化为 − − − − → → 0 0 0 0 3 0 1 3 3 0 1 1 6 3 1 A 问 取何值时，方程组 AX = b 有解？当方程组有解时，求方程组 AX = b 的一般解. 四、证明题 1．试证：设 A，B，AB 均为 n 阶对称矩阵，则 AB =BA． 2．试证：设是 n 阶矩阵，若 3 A = 0，则 1 2 (I − A) = I + A+ A − ． 3．已知矩阵 ( ) 2 1 A = B + I ，且 A = A 2 ，试证 B 是可逆矩阵，并求 −1 B . 4. 设阶矩阵满足， T AA I = ，证明是对称矩阵. 5．设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则 AB＋BA 也是对称矩阵． 试题答案 单项选择题 1. A2. B3. D4. D5. C6. D7. B8. C9.D10. A11. A12. A13. B14. B15. C 二、填空题 1． A 与 B 是同阶矩阵 2．[4]3． − − − 4 6 2 2 3 1 4．5．0 6． −3 7． I B A 1 ( ) − − 8． n 9．210．无解 11．-1 12．n – r13． = = − − 2 4 1 3 4 2 2 x x x x x (其中 3 4 x , x 是自由未知量) 14． −1 15．只有 0 解 三、计算题 1．解 因为 T 2I − A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 T 3 1 1 1 2 4 1 0 2 − −
200「1-13] 020 0022 0-1 1-2 所以 212]「11-61 2.解：B4T+C0 T6011 -6 「01 。 -13-6-3100 「114107 -4-2-1010 →001012 3.解因为a1)-【2 1 001211001 「11 4 1 7 01-4-1 →00 1 0 0 0-1-7-20-13 10 -10-2 71 「100-1 301「100-1 3 0 +0-10 -2 0 2 0010 12 001012 -1 3 07 2 所以10 12 「012100]「11401 0] 4 010→ 0 1 2 10 0 4.解因为a1)2-10001 0-3-80-21 [102-11 9> 「1002-11 →012100→01 0 4-21 00-23-2100-23-21 6
6 = 0 0 2 0 2 0 2 0 0 − − 2 4 1 0 2 1 1 1 3 = − − − − 2 4 1 0 0 1 1 1 3 所以 (2I A )B T − = − − − − 2 4 1 0 0 1 1 1 3 − 0 3 1 3 2 1 = − − − 0 11 0 3 1 5 2．解： BA + C T = 0 0 2 0 1 0 2 1 2 − 2 0 0 2 1 1 − − + 4 2 2 2 6 1 = − 4 0 0 2 6 0 − − + 4 2 2 2 6 1 = 0 2 2 0 0 1 3．解 因为 (A I )= − − − − − − 2 1 1 0 0 1 4 2 1 0 1 0 13 6 3 1 0 0 → 2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 2 1 1 4 1 0 7 − − − − → 0 1 7 2 0 13 0 0 1 0 1 2 1 1 4 1 0 7 − − − − → 0 1 0 2 7 1 0 0 1 0 1 2 1 1 0 1 4 1 − − − → 0 0 1 0 1 2 0 1 0 2 7 1 1 0 0 1 3 0 − − − → 0 0 1 0 1 2 0 1 0 2 7 1 1 0 0 1 3 0 所以 A-1 = − − − 0 1 2 2 7 1 1 3 0 4．解 因为(A I ) = − − − → − 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 3 8 0 1 2 1 1 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 0 1 1 4 0 1 2 − − − − → − − − → 3 2 1 4 2 1 2 1 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 3 2 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 2 1 0 2
1002 -111 →010 4-21 001-321-2 2-1 4 -2 所以A-1=-32 1-2 5.解因为B : 6 所以(8)-1= e 6.解因为B- 66刻 所以（®）-1=L 刻 7.解因为3 A 646 「111 >
7 − − − − → 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 所以 A-1= − − − − 3 2 1 1 2 4 2 1 2 1 1 5．解 因为 AB = − − 1 2 0 1 0 2 4 1 1 2 6 3 = − − 4 1 2 1 (AB I ) = − → − − 0 1 2 1 2 1 1 0 4 1 0 1 2 1 1 0 → − − − → 0 1 2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 2 1 2 0 1 1 所以 (AB)-1= 2 1 2 1 2 1 6．解 因为 BA= − − 0 1 2 1 2 3 − 2 0 0 2 1 1 = − − 4 2 5 3 (BA I )= − − → − − 4 2 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 5 3 1 0 − − − → 0 2 4 5 1 1 1 1 − − → 2 5 0 1 2 2 3 1 0 1 所以(BA)-1= − − 2 5 2 2 3 1 7．解 因为 − − 3 4 0 1 2 3 1 0 → 3 4 0 1 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 1 1 1 − − → 0 1 3 2 1 0 4 3
al 0. .CICa a及那B.6 1012]101 2 12-10→02-2-2 9.解因为21-a601-a-2b-4 [10121 →01-1 -1 00-a-1b-3 所以当a=-l且b≠3时，方程组无解1 当日幸一时，方程组有难一解： 当4=-l且b=3时，方程组有无穷多解， 10.解因为 「10 2 -1 「102-1 A=-1 1 -3 2 -1 2 -15 00-112 「102-1 →01-11 0003 所以r)=2,r(A)=3 又因为r()≠r(A),所以方程组无解， 1山.解因为系数电阵
8 即 − − = − − − 3 2 4 3 3 4 2 3 1 所以，X = − − − 2 1 3 2 4 3 = −1 2 8．解：因为 3 5 0 1 1 2 1 0 − − → 0 1 3 1 1 2 1 0 − − → 0 1 3 1 1 0 5 2 即 − − = − 3 1 5 2 3 5 1 2 1 所以，X = 1 3 5 1 2 2 0 1 1 − − = − − − 3 1 5 2 2 0 1 1 = − − 10 4 8 3 9．解 因为 − − − → − − − − 0 1 2 4 0 2 2 2 1 0 1 2 2 1 1 2 1 0 1 0 1 2 a b a b − − − → − − 0 0 1 3 0 1 1 1 1 0 1 2 a b 所以当 a = −1 且 b 3 时，方程组无解； 当 a −1 时，方程组有唯一解； 当 a = −1 且 b = 3 时，方程组有无穷多解. 10．解 因为 − − − → − − − − = 0 1 1 2 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 5 0 1 1 3 2 1 0 2 1 A − − → 0 0 0 3 0 1 1 1 1 0 2 1 所以 r(A) = 2，r( A ) = 3. 又因为 r(A) r( A )，所以方程组无解. 11．解 因为系数矩阵
「102-11「102-1 「102-1 A=-11-3 2 0 -1 01-11 2-15 -30-11-1 0000 出=-2x3+x 所以一般解为书，=名一 (其中，是白由未知量) 12.解因为增广矩阵 「2-52 -37 「12 -1 31 「10-/91] A=12 -1 3 -9 4 -9 01-4/91 -214-612」 10 18-818 000 1 =。,+1 9 4 所以一般解为 (其中是自由未知量) 13.解因为系数矩阵 1-32 1-3 21 f10-1 2-53 01 -1 01-1 A3-8 0 1-6 00A-5 所以当1·5时，方程组有非零解.且一般解为 ∫馬 8=X 《其中是自由来知量) 14.解因为增广矩降 「11111「11 11 A=2 A-2 -10510 62 「10-5-1 +016 000 所以当之=0时，线性方程组有无穷多解。且一般解为： 高1=5x-1 x3■-6x3+2 (工5是自由未知量) 15.解：当无=8时，0=八)=2，方程组有解 9
9 − − − − → − − − − − = 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 1 2 1 5 3 1 1 3 2 1 0 2 1 A − − → 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 所以一般解为 = − = − + 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x （其中 3 x ， 4 x 是自由未知量） 12．解 因为增广矩阵 − − − − → − − − − − = 0 18 8 18 0 9 4 9 1 2 1 3 2 14 6 12 1 2 1 3 2 5 2 3 A − − → 0 0 0 0 0 1 4 9 1 1 0 1 9 1 所以一般解为 = + = + 1 9 4 1 9 1 2 3 1 3 x x x x （其中 3 x 是自由未知量） 13．解 因为系数矩阵 A = − − − → − − − 0 1 6 0 1 1 1 3 2 3 8 2 5 3 1 3 2 − − − → 0 0 5 0 1 1 1 0 1 所以当 = 5 时，方程组有非零解. 且一般解为 = = 2 3 1 3 x x x x （其中 3 x 是自由未知量） 14．解 因为增广矩阵 → − − − − = − 0 1 6 2 0 1 6 2 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 4 1 1 1 1 A − − → 0 0 0 0 1 6 2 1 0 5 1 所以当 =0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： = − + = − 6 2 5 1 2 3 1 3 x x x x ( x3 是自由未知量〕 15．解：当 =3 时， r(A) = r(A) = 2 ，方程组有解
「1-16-311 「10301 A→01 -33 1-330 当入=3时， 00 0 0 0 00000 x=1-3x 一般解为名=3-3，其中马，无为白由未知量 四、证明题 1.证因为AT·A,酊·B,(B)T·AB 所以AB=《AB)T=TAT=A 2证因为(U-A1+A+A) =1+A+2-A-2-=1-A=1 所以-A)=1+A+A2 E周为-+-28+) ,且=A,即 8+2B+-B+n 得B=1,所以B是可逆矩阵，且B=B. 4旺因为 A=AI=AAA =IA=A 所以是对称矩阵 5,旺因为A一ABr-B,且 (AB+8)=(AB)+(B4)=BTAT+ABT BA+AB=AB+8A 所以B+A是对称肥库. 10
10 当 =3 时， → − − − − → 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 1 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 1 1 6 3 1 A 一般解为 = − = − 2 3 4 1 3 3 3 1 3 x x x x x ， 其中 3 x , 4 x 为自由未知量. 四、证明题 1．证 因为 AT = A，BT = B，(AB)T = AB 所以 AB = (AB)T = BT AT = BA 2．证 因为 ( )( ) 2 I − A I + A+ A = 2 2 3 I + A+ A − A− A − A = 3 I − A = I 所以 1 2 (I − A) = I + A+ A − 3. 证 因为 ( 2 ) 4 1 ( ) 4 2 1 2 2 A = B + I = B + B + I ，且 A = A 2 ，即 ( ) 2 1 ( 2 ) 4 1 2 B + B + I = B + I ， 得 B = I 2 ，所以 B 是可逆矩阵，且 B = B −1 . 4. 证 因为 A = AI = T T AAA = IA = T A 所以是对称矩阵. 5．证 因为 A = A B = B T ， T ，且 T T T (AB + BA) = (AB) + (BA) T T T T = B A + A B = BA + AB = AB + BA 所以 AB＋BA 是对称矩阵．