经济最学基油积分学部分综合练习及参考答素(06秋) 中央电大教有学院陈卫宏 第二部分积分学 一、单项选择愿 1.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点(1,4)的由线为《)。 A.y=2+3B.y=x2+C,y=2x+2D,y=4瓶 2者2r+6 =2,则k=(》, 1 A.1B.-1C.0D.2 3。下列等式不成立的是() A.e'dr=d(e") B.-sinxdr d(cosr) 1 dor d C.2 In xdx=d() D. A.-e B.2 e A.xe+e B.xe+e+c C.-xe+e D.xe-e+c 6oaee,ra 。 A.x B.-xC.x 7.若F)是国)的一个原橘数，则下列等式成立的是0. A.t-F国B.t-F-Fa c.广Fat=f-a)。rt=F-Fal 8。下列定积分中积分值为0的是()
1 经济数学基础积分学部分综合练习及参考答案（06 秋） 中央电大教育学院 陈卫宏 第二部分 积分学 一、单项选择题 1．在切线斜率为 2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4C．y = 2x + 2 D．y = 4x 2. 若 + 1 0 (2x k)dx = 2，则 k =（ ）． A．1 B．-1 C．0 D． 2 1 3．下列等式不成立的是（ ）． A． e d d(e ) x x x = B． − sinxdx = d(cosx) C． x x x d d 2 1 = D． ) 1 ln d d( x x x = 4．若 f x x c x = − + − 2 ( )d e ，则 f (x) =（ ）. A. 2 e x − − B. 2 e 2 1 x − C. 2 e 4 1 x − D. 2 e 4 1 x − − 5. = − d(e ) x x （ ）． A． x c x + − e B． x c x x + + − − e e C． x c x − + − e D． x c x x − + − − e e 6. 若 f x x c x x = − + 1 1 ( )e d e ，则 f (x) =（ ）． A． x 1 B．- x 1 C． 2 1 x D．- 2 1 x 7. 若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则下列等式成立的是()． A． f (x)dx F(x) x a = B． f (x)dx F(x) F(a) x a = − C． F(x)dx f (b) f (a) b a = − D． f (x)dx F(b) F(a) b a = − 8．下列定积分中积分值为 0 的是（ ）． A． x x x d 2 1 e e −1 − − B． x x x d 2 1 e e −1 − +
c.+cost。(r+snt 9。下列无穷积分中收敛的是《)。 w。广eae广。广 B C. 10.设R(@》=100-g,若销售量由10单位减少到5单位，则收入R的改变量是()， A.-550B.-350C,30D.以上都不对 11,下列微分方程中，()是线性微分方程， A.+hy=y B.yy+xy=e c.广+y-e.ysmx-e-yhx 12.微分方程0+y03+灯=0的阶是《) A4 B.3 C.2 n.1 二、填空题 1.dfe-dr= 2.函数八)-功2x的原函数是 a.若/八=++c.则f)= 4若d=F+c,则小efe .r+ *w1 dx 7,无穷积分 。(x+是 ,(判别其敛散性) 8.设边际收入函数为R(@》■2·3q,且R0)■0，则平均收入两数为 .0yy+ey=0悬 阶微分方程， 10.微分方程了=不的通解是 三、计算题
2 C． (x cos x)dx 3 − + D． (x sin x)dx 2 − + 9．下列无穷积分中收敛的是（）． A． + 1 ln xdx B． + 0 e dx x C． + 1 2 d 1 x x D． + 1 3 d 1 x x 10．设 R (q)=100-4q ，若销售量由 10 单位减少到 5 单位，则收入 R 的改变量是（ ）． A．-550 B．-350C．350 D．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A． yx + lny = y 2 B． x y y xy e 2 + = C． y y + xy = e D． y x y y x x sin − e = ln 12．微分方程 ( ) ( ) 0 2 3 4 y + y y + xy = 的阶是（ ）. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题 1． = − x x d e d 2 ． 2．函数 f (x) = sin 2x 的原函数是 ． 3．若 f x x = x + + c 2 ( )d ( 1) ，则 f (x) = . 4．若 f x x = F x + c ( )d ( ) ，则 f x x x e (e )d − − = . 5． + = e 1 2 ln( 1)dx d d x x . 6． = + − 1 1 2 2 d ( 1) x x x ． 7．无穷积分 + 0 + 2 d ( 1) 1 x x 是 ．（判别其敛散性） 8．设边际收入函数为 R (q) = 2 + 3q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为 ． 9. ( ) e 0 3 2 + = − y y x 是 阶微分方程. 10．微分方程 2 y = x 的通解是 ． 三、计算题
sn- d。J 2. 3.∫rmt4.jx+lhd 广e0+e。广 fnx+Dds 9. y+2=x2+1 7 10.求微分方程x 足初始条件 4的特解。 y't- -=0 1山.求微分方程 满是初始条件川-)=5的特解。 y'-Z-hx 12.求微分方程 满是月=引的特解。 13.求微分方程广nx=yhy的通解 x 14.求微分方程 血x的通解。 15.求微分方程y=2-y的通解。 16.求微分方程可矿+y一Xs如x的通解. 四，应用圈 1,投产某产品的周定成本为粥（历元），且边际成本为C气)-x+40(万元/百台).试 求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低， 2,己知某产品的边际成本C(=2(元/件)，固定成本为0，边际收登R(x)=12-0,02. 问产量为多少时利润最大？在最大利洞产量的基础上再生产0件。利润将会发生什么变 化： 3.生产某产品的边际成本为C(x)=8(万元/百台)，边际牧入为R”(x)=100-2红（万元 /百台)。其中x为产量，问产量为多少时。利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台： 利润有什么变化： 4.已知某产品的边际成本为C气)=4红一3（万元/百台），x为产量（百台），假定成本 为18（万元），求最低平均成本
3 ⒈ x x x d 1 sin 2 2． x x x 2 d 3． x sin xdx 4． (x +1)lnxdx 5． x x x e (1 e ) d ln3 0 2 + 6． x x x d e ln 1 7． 2 e 1 1 d 1 ln x x x + 8． x cos 2xdx 2 π 0 9． ln( x 1)dx e 1 0 − + 10．求微分方程 1 2 + = x + x y y 满足初始条件 4 7 y(1) = 的特解． 11．求微分方程 0 e 3 2 + = + y y y x 满足初始条件 y(−1) = 3 的特解． 12．求微分方程 x x y y − = ln 满足 1 1 = x= y 的特解. 13．求微分方程 y tan x = y ln y 的通解． 14．求微分方程 x x xy y ln − = 的通解. 15．求微分方程 y = 2x − y 的通解． 16．求微分方程 xy + y = x sin x 的通解． 四、应用题 1．投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为 C(x) =2x + 40(万元/百台). 试 求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本 C (x)=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 R (x)=12-0.02x， 问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 50 件，利润将会发生什么变 化？ 3．生产某产品的边际成本为 C (x)=8x(万元/百台)，边际收入为 R (x)=100-2x（万元 /百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产 2 百台， 利润有什么变化？ 4．已知某产品的边际成本为 C(x) = 4x − 3 (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本 为 18(万元)，求最低平均成本
5.设生产某产品的总成本函数为C)=3+(万元》，北中x为产量，单位：百吨.的 售x百吨到的边际收入为R'()=15-2(万元/百吨)，求： (》利润最大时的产量： 2》在利洞最大时的产量的基础上再生产】百吃，利润会爱生什么变化？ 试思答案 单项选释思 1.A2.A3.DM.D5.B6.C7.8.A9.C10.B11.D12.C 二、填空题 1.edr2.-2cosx+ec是任意常数)3.2x+1)4-F(e)+c5.0 3 &0帆.收锁的82+59象210y=方+C 三、计算题 sn 2.解 3.解Jxx-c0sx+∫cost-c+s功x+G +h+ +2r. -x+c 4 s.wneoaeyae)j 6g广a-广he=aa-rwn =26-26-4 =26-2=426
4 5．设生产某产品的总成本函数为 C(x) = 3 + x (万元)，其中 x 为产量，单位：百吨．销 售 x 百吨时的边际收入为 R(x) = 15 − 2x （万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量； (2) 在利润最大时的产量的基础上再生产 1 百吨，利润会发生什么变化？ 试题答案 单项选择题 1. A2．A3. D4. D5. B6. C7. B8. A9. C10. B11. D12. C 二、填空题 1. x x e d 2 − 2. - 2 1 cos2x + c (c 是任意常数)3. 2(x +1) 4. F c x − + − (e ) 5. 0 6. 07. 收敛的 8. 2 + q 2 3 9. 210. c x y = + 3 3 三、计算题 ⒈ 解 c x x x x x x = − = + 1 ) cos 1 d( 1 d sin 1 sin 2 2．解 x c x x x x x = = + 2 ln 2 2 2 2 d( ) 2 d 3．解 x x x = −x x + x x = −x x + x + c sin d cos cos d cos sin 4．解 (x +1)lnxdx = + + − x x x x x d ( 1) 2 1 ( 1) ln 2 1 2 2 = x c x x + x x − − + 4 ( 2 )ln 2 1 2 2 5．解 x x x e (1 e ) d ln3 0 2 + = + + ln3 0 2 (1 e ) d(1 e ) x x = ln3 0 3 (1 e ) 3 1 x + = 3 56 6．解 d ln d(2 ) 2 ln 2 d(ln ) ln e 1 e 1 e 1 e 1 x x x x x x x x x = = − e 1 e 1 d 2 e 4 2 2 e x x x = − = − d 4 2 e 2 2 e e 1 = − = − x x 7．解 x x x d 1 ln 1 2 e 1 + = d(1 ln ) 1 ln 1 2 e 1 x x + + = 2 e 1 2 1+ ln x = 2( 3 −1)
.+西-+-4.e-0-点 .c-1-[-lx+he-1 解法二令=x+1,则 x+=jh=h水-e-i=e-e+1 P(x)- 10.解因为 x.Qx)=x2+1 用t=ee+e+d-eje++d ++ x42 +c= 4 x 11c7 由 0-4+互i”4,得c= P= x 4 所以，特解为 42x 11.解将方程分离变量：e少=心”女 等式两端积分得 物初的条件川-)=5代入，智2e、 所以，特解为，3e少=2er+e 1 12.解：方程两端乘以x,得 Xxx 即 白=h
5 8．解 2 x cos 2xdx 0 = 2 0 sin 2 2 1 x x - sin 2xdx 2 1 2 0 = 2 0 cos 2 4 1 x = 2 1 − 9．解法一 x x x x x x x d 1 ln( 1)d ln( 1) e 1 0 e 1 0 e 1 0 − − − + + = + − = x x )d 1 1 e 1 (1 e 1 0 − + − − − = e 1 0 e 1 [ ln( 1)] − − − x − x + ＝ln e =1 解法二令 u = x +1 ，则 u u x x u u u u u d 1 ln( 1)d ln d ln e 1 e 1 e 1 e 1 0 + = = − − = e e e 1 1 e − u 1 = − + = 10．解 因为 x P x 1 ( ) = ， ( ) 1 2 Q x = x + 用公式 e [ ( 1)e d ] d 1 2 d 1 y x x c x x x x + + = − e [ ( 1)e d ] ln 2 ln x x c x x = + + − x x x c c x x x = + + = + + 4 2 ] 4 2 [ 1 4 2 3 由 4 7 2 1 1 4 1 (1) 3 = + + = c y ， 得 c = 1 所以，特解为 x x x y 1 4 2 3 = + + 11．解 将方程分离变量： y y x y x e d e d 3 2 = − − 等式两端积分得 c y x − = − + − 3 e 3 1 e 2 1 2 将初始条件 y(−1) = 3 代入，得 − = − + c −3 −3 e 3 1 e 2 1 ，c = 3 e 6 1 − − 所以，特解为： 3 3 3e 2e e 2 − − = + y x 12．解：方程两端乘以 x 1 ，得 x x x y x y ln 2 − = 即 x x x y ln ( ) =
两边求积分，得 兰-=小ha+e y= xh'x+a 通解为： 2 由=1，得c=l 所以，满足初始条件的特解为： 2 dy -cot xdx 13,解将原方程分离变量y山 两端积分得1mlny=1 C sinx 通解为y=eC sinx y'-二y= 14.解将原方程化为： 山x,它是一阶找性微分方程， Px)=-！Qx)= 1 用t=e可eo+d-ee+dl =e可ed+d=可h血+d =x(n hx+c) 15.解在微分方程y=2x-'中，x)=1,0x)=2x 由适解公式=e(2+o=e2rdr+ e(2e'-2e'dr+c）-e(2e'-2e+c） =(2x-2+ce“) P(r)=I 16。解：因为 ，x)=s自术，由通解公式得 yesm+ 。小sme+gsnt+d
6 两边求积分，得 c x x x x x x x y = = = + 2 ln d ln d(ln ) ln 2 通解为： cx x x y = + 2 ln 2 由 1 1 = x= y ，得 c =1 所以，满足初始条件的特解为： x x x y = + 2 ln 2 13．解 将原方程分离变量 x x y y y cot d ln d = 两端积分得 lnlny = lnC sinx 通解为 y = eC sinx 14. 解 将原方程化为： x y x y ln 1 1 − = ，它是一阶线性微分方程， x P x 1 ( ) = − ， x Q x ln 1 ( ) = 用公式 ( )d ( )d e [ ( )e d ] P x x P x x y Q x x c − = + e d ] ln 1 e [ d 1 d 1 x c x x x x x + = − e d ] ln 1 e [ ln ln x c x x x = + − d ] ln 1 [ x c x x = x + = x(ln ln x + c) 15．解 在微分方程 y = 2x − y 中， P(x) = 1,Q(x) = 2x 由通解公式 e ( 2 e d ) e ( 2 e d ) d d y x x c x x c x x x x + = + = − − e (2xe 2 e dx c) e (2xe 2e c) x x x x x x = − + = − + − − (2 2 e ) x x c − = − + 16．解：因为 x P x 1 ( ) = ， Q(x) = sin x ，由通解公式得 e ( sin e d ) d 1 d 1 y x x c x x x x + = − = e ( sin e d ) ln ln x x c x x + − = ( sin d ) 1 x x x c x +
上(-osx+smx+e = 四、应用题 1,解当产量由4百台增至6百台时。总成本的增量为 4C=2x+40d.2+40%.10m万元 C()= 'C'(xd+c x2+40x+36 x+40+36 又 C=1-36 0 ,解得x=6 x=6是惟一的驻点，面该同题确实存在使平均成本达到最小的值所以产量为6百 台时可使平均成本达到最小 2.解因为边际利润 L'(x)=R(x)-C(x)-12-0.02x-2=10-0.02 ◆L=0,得x=500 x=500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，。当产量为500件时，利润最大， 当产量由500件增加至55动件到，利洞政变量为 =0-02t=0x-0r-0-5-5(元 即利润将减少25元 3.解L'(x)-R(x)-C()-(100-2)-8r-100-10m 令L'(x)=0,得黑=10（百台） 又x=10是L(x)的座一驻点，该间思确实存在最大值，故x=10是L(的最大值点， 即当产量为10（百台）时，利润最大 又L=2eat=可0-10h=00r-5r-20 即从利渊最大时的产量再生产2百台，利洞将减少0万元 4.解：因为总成本函数为 C(x)=j4x-3恤-2x2-3x+c 当x=0时，C(0)=18。得e=18 即C()=2x2-3x+18
7 = ( cos sin ) 1 x x x c x − + + 四、应用题 1．解 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为 = + 6 4 C (2x 40)dx = 6 4 2 (x + 40x) = 100（万元） 又 x C x x c C x x + = 0 d 0 ( ) ( ) = x x 40x 36 2 + + = x x 36 + 40 + 令 0 36 ( ) 1 2 = − = x C x ， 解得 x = 6. x = 6 是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为 6 百 台时可使平均成本达到最小. 2．解 因为边际利润 L(x) = R(x) − C(x) =12-0.02x –2 = 10-0.02x 令 L(x) = 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为 500 件时，利润最大. 当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为 550 500 2 550 500 L = (10 − 0.02x)dx = (10x − 0.01x ) =500 - 525 = - 25 （元） 即利润将减少 25 元. 3. 解 L (x) = R (x) -C (x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x 令 L (x)=0, 得 x = 10（百台） 又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故 x = 10 是 L(x)的最大值点， 即当产量为 10（百台）时，利润最大. 又 L L (x)dx (100 10x)dx 12 10 12 10 = = − (100 5 ) 20 12 10 2 = x − x = − 即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将减少 20 万元. 4．解：因为总成本函数为 C(x) = (4x − 3)dx = 2x − 3x + c 2 当 x = 0 时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)= 2 3 18 2 x − x +
4=C国-2x-3+18 又平均成本函数为 令 4)=2-18 =0 ，解将x·3《百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量。所以当x=3时，平均成本最低。最底平均成本 为 18 A3)■2×3-3 9 3 (万元/百台) 5.解：《)因为边际成本为C气)=1，边际利润()=()-C()=14-2x 令L)=0,得x=7 由该题实际意义可知，黑=了为利润函数L()的极大植点。也是最大值点，因此，当产 量为了百吨时利湖最大 2)当产量由7百吨增加至8百吨时，利洞政变量为 -04-2点=04-f2·64·8+81(万元 即利润将减少】万元
8 又平均成本函数为 x x x C x A x 18 2 3 ( ) ( ) = = − + 令 0 18 ( ) 2 2 = − = x A x ， 解得 x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低. 最底平均成本 为 9 3 18 A(3) = 23 − 3 + = (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 C(x) = 1 ，边际利润 L(x) = R(x) − C(x) = 14 – 2x 令 L(x) = 0 ，得 x = 7 由该题实际意义可知，x = 7 为利润函数 L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产 量为 7 百吨时利润最大. (2) 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润改变量为 8 7 2 8 7 L = (14 − 2x)dx = (14x − x ) =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少 1 万元