应用瓶率统计第六套考题 中央电大朱晓鸽 一、填空题（本大题共有10个小题。每小题3分） 1,设A、B、C是3个面机事作，时三个事件中恰有两个事件发生"用A、B,C表示为 2.若事件A、B相互独立，且0=0.5，=025，则P(AUB)= 3设X的藏率分布为-)台k=023,则C=一 4.设随机变量X服从二项分布刷：，P),已知EX)=16,D八X)=128,则参数P一 5,设X,X,,X。是来白N4,a)的样本，则E(X)=一 6.设随机变量X与Y相互鞋立时，则方差D2X-3门=一 7.设(X,)为二排随机向量，X与Y的协方差oMX,Y)定文为 8.X,X,X6是来自总体X~NB,)的一个样本，不-龙x,则 16台 4x-8 0 9.若总体X~N(4,σ2)，且σ2已知，用样本检验假设H。:H=出，时，采用统计量是 10.设总体X~N(4,a2),则耻的最大然估计为一· 二、判断题：若对，打”√”若错，打“×”（本大共有10个小题。每小题2分》 1.两个事件互斥与相互独立是完全等价的： 2.对于任意两个事件A、B,必有A门B=AUB: 玉.X,X,X,是取自总体4.0)的样本，则T=∑X,服从N以o分有：（) 4.设0--0<x<+0},4=女0≤x<2引：B=在≤x<3引，则A丽表示0≤x<1:( 5.以A表示事件“甲种产品畅的，乙种产品带销”，则其对立事作A为“甲种产品带销，乙种产品畅 销”()。 6.设A、B、C表示3个事作，则AC表示“A、B、C都不发生“：
应用概率统计第六套考题 中央电大 朱晓鸽 一、填空题（本大题共有 10 个小题，每小题 3 分） 1．设 A、B、C 是 3 个随机事件，则“三个事件中恰有两个事件发生”用 A、B、C 表示为 ； 2．若事件 A、B 相互独立，且 P(A) = 0.5， P(B) = 0.25 ，则 P(A B) = ； 3．设 X 的概率分布为 1 ( ) + = = k C P X k ， k = 0,1,2,3 ，则 C = ； 4．设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，已知 E(X) =1.6， D(X) =1.28 ，则参数 p = ； 5．设 X X Xn , , , 1 2 是来自 ( , ) 2 N 的样本，则 E(X ) = ； 6．设随机变量 X 与 Y 相互独立时，则方差 D(2X − 3Y) = ； 7．设 (X , Y) 为二维随机向量， X 与 Y 的协方差 cov(X ,Y) 定义为 ； 8 ． 1 2 16 X , X , , X 是 来 自 总 体 ~ (2, ) 2 X N 的 一 个 样 本 ， = = 16 16 1 1 i X Xi ， 则 ~ 4 8 X − ； 9．若总体 ~ ( , ) 2 X N ，且 2 已知，用样本检验假设 H 0 ： = 0 时，采用统计量是 ； 10．设总体 ~ ( , ) 2 X N ，则 的最大似然估计为 。 二、判断题：若对，打“√”；若错，打“×” （本大题共有 10 个小题，每小题 2 分） 1．两个事件互斥与相互独立是完全等价的； （ ） 2．对于任意两个事件 A、B ，必有 A B = A B ； （ ） 3． X X Xn , , , 1 2 是取自总体 ( , ) 2 N 的样本，则 = = n i X i n X 1 1 服从 ( , ) 2 N n n 分布； （ ） 4．设 = x | −＜x＜+ ，A = x | 0 x＜2，B = x |1 x＜3 ，则 AB 表示 x | 0 x＜1 ； （ ） 5．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A 为“甲种产品滞销，乙种产品畅 销”（ ）。 6．设 A、B、C 表示 3 个事件，则 ABC 表示“ A、B、C 都不发生”； （ ）
7,A、B为两个事件，则ABU西=且（全集）： 8,设5~mP):且E5=4,D5=2,则m=8 9设总体X~N以，，名是来自于总体的胖木，则立-名+，+水是n的无 偏估计量： () 10。经过显著性检验而设有被拒柜绝的假设一定是正确的假设， 三、计算题（本大题共有7个小题，每小题5分） 1,若从10件正品2件次品的一批产品中，任取2次，每次取一个，不成目，试求第二次取出的是次 品的概率。 2,设X-N(-23),试求X的概率密度为f(x)。 3,设面机变量：的密度函数为f八x)= Cx,xe0, 0.其他 ,试求常数C。 4.设X的均值、方差都存在，且0X0￥0，令y.X-E ,试求EY)与DY) D(X) 5.设两个相互粒立的随机变量的X和了的方差分别为4和2，试求随机变量3X-2业的方差。 6。设随机变量X厘从参数为2的阿松分布，且已知E(X-1以X一2)=1，求参量2的值。 7,设总体X服从参数为的普阿松分布，它的分布律为 X=)= ，x=0.12… X,X,,X,是取自总体X的样本，试求参数1的最大似然估计量。 四，证明圈（本题15分》 设X服从区间[a,]上的均匀分布，试证明Y■X+C(C为常数)也服从均匀分布
7． A、B 为两个事件，则 AB AB = （全集）； （ ） 8．设 ~ B(n, p) ，且 E = 4 ， D = 2 ，则 n =8； （ ） 9．设总体 X ~ N(, 1)， X1 , X 2 , X3 是来自于总体的样本，则 1 2 3 4 1 4 1 4 1 ˆ = X + X + X 是 的无 偏估计量； （ ） 10．经过显著性检验而没有被拒绝的假设一定是正确的假设。 （ ） 三、计算题（本大题共有 7 个小题，每小题 5 分） 1．若从 10 件正品 2 件次品的一批产品中，任取 2 次，每次取一个，不放回，试求第二次取出的是次 品的概率。 2．设 ~ ( 2, 3 ) 2 X N − ，试求 X 的概率密度为 f (x) 。 3．设随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 , [0,1] ( ) 4 Cx x f x ，试求常数 C 。 4．设 X 的均值、方差都存在，且 D(X) 0 ，令 ( ) ( ) D X X E X Y − = ，试求 E(Y) 与 D(Y ) 。 5．设两个相互独立的随机变量的 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，试求随机变量 3X − 2Y 的方差。 6．设随机变量 X 服从参数为 的普阿松分布，且已知 E(X −1)(X − 2) = 1 ，求参数 的值。 7．设总体 X 服从参数为 的普阿松分布，它的分布律为 ! ( ) x e P X x x − = = ， x = 0,1,2 X X Xn , , , 1 2 是取自总体 X 的样本，试求参数λ的最大似然估计量。 四、证明题（本题 15 分） 设 X 服从区间 [a, b] 上的均匀分布，试证明 Y = X + c （ c 为常数）也服从均匀分布
第六在参考答案 一、填空题 1.ABCUABCUABC 2.0.625 号 4.02 5.u &4DX)+9DY) 7.N01): 8.N(0.1) 县.-丛 10.i=X. 二、判断图 1.错 2对 3,错 4.对 乐错 6对 7.错 8对 只错 10.错 三，计算题 1,解：令A合“第次取出的是次品”。=1.2。由古奥概重的概率计算公式易知
第六套参考答案 一、填空题 1． ABC ABC ABC 2. 0.625 3. 25 12 4. 0.2 5. 6. 4D(X ) + 9D(Y) 7. N(0, 1) ； 8. N(0,1) 9. X − 0 10. ＝ X 。 二、判断题 1．错 2. 对 3．错 4. 对 5. 错 6. 对 7. 错 8. 对 9. 错 10. 错 三、计算题 1．解：令 = ˆ Ai “第 i 次取出的是次品”， i = 1, 2 。由古典概型的概率计算公式易知
P4)= (1分) c61 (2分) 因此利用全概率公式可得所求的概率为 4=44140+41-=g片f-后 (4分) 2.解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： 1 .- f(x)=- e 1o (-0<x<+0)1 (4分) √2ra 进周，将以=一2，口=3代入上述表达式可得所求的密度函数为： f(x)=- e i xE(-00,+00). (3分) 2 3.解：由题设可知随机变量：的密度函数为(x)= Cx'.xE[o.l], 其中C为常数。 0.其他 利用密度函数性质广p(x达-1， (2分) 可得：Cxh=1,解得C=5. (5分) 4.解：E()= 「X-EX) EX-E(0=0: (3分) D(X) D(X) m-} D(X) =1 (4分) (D(X 5解：由题授知X与Y相立独立，利用方差的性质可得D3X-2)=9D()+4DY):(5分) 又因为DX)=4,DY)=2,代入上式可得D3X-2Y)=44.(2分) &解：由题设知EX=无，DX=A,得EX2=A+2, (3分) 再由假设1=(X-1X-2)=EX2-3EX+2=2-22+2: (3分) 即有(2-02=0，所以2-1. (1分) 7.解：似然函数为
6 1 ( ) 1 12 1 2 1 = = C C P A ； （1 分） 又因为第一次取出后不放回，所以 11 1 ( | ) 1 11 1 1 2 1 = = C C P A A ， 11 2 ( | ) 1 11 1 2 2 1 = = C C P A A ； （2 分） 因此利用全概率公式可得所求的概率为 6 1 11 2 6 1 1 11 1 6 1 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 2 1 2 1 1 2 1 = P A = P A P A A + P A P A A = + − 。 （4 分） 2. 解：因为随机变量 X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： ( ) 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) = − + − − f x e x x ； （4 分） 进而，将 = −2, = 3 代入上述表达式可得所求的密度函数为： ( , ) 3 2 1 ( ) 18 ( 3) 2 = − + + − f x e x x ， 。 （3 分） 3. 解：由题设可知随机变量 的密度函数为 = 0, 其他 , [0,1] ( ) 4 Cx x f x ，其中 C 为常数。 利用密度函数性质 + − p(x)dx =1， （2 分） 可得： = 1 0 4 Cx dx 1 ，解得 C = 5。 （5 分） 4. 解： 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − = D X E X E X D X X E X E Y E ； （3 分） 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = = − = D X D X D X X E X D Y D 。 （4 分） 5. 解：由题设知 X 与 Y 相互独立，利用方差的性质可得 D(3X − 2Y) = 9D(X ) + 4D(Y) 。 （5 分） 又因为 D(X ) = 4, D(Y) = 2 ，代入上式可得 D(3X − 2Y) = 44 。 （2 分） 6. 解：由题设知 EX = ， DX = ，得 2 2 EX = + ； （3 分） 再由假设 1 [( 1)( 2)] 3 2 2 2 2 2 = E X − X − = EX − EX + = − + ； （3 分） 即有 ( 1) 0 2 − = ，所以 =1。 （1 分） 7. 解：似然函数为
(3分) x! Π 似然方程为 da.-+2,=0, (2分) d 解得 因为g()的二阶导数总是负值，可见，以然函数在处达到最大值。所以，广=又是入的最大 似然估计。 (2分) 四、正明题 证明： 由题设可知X服从区间[α，b]上的均匀分布，所以X的密度话数为 (x asxsb. b-a (1分) 0. 其他。 先求Y=X+C《C为常数)的分布函数： 0. y-cba 再对y求导数可得Y的密度函数为 )= a+esysb+e, b-a (5分) 其他。 故Y服从[a+C,b+c]上的均匀分布. (1分)
! ! ( ) 1 1 1 i n i x n i n x i x e x e L n i i i = = − − ＝ ＝ ＝ ， （3 分） 似然方程为 0 log ( ) 1 1 = − + = n i i n x d d L ＝ ， （2 分） 解得 = n i i x n 1 * 1 ＝ . 因为 log L() 的二阶导数总是负值，可见，似然函数在 * 处达到最大值。所以， = X * 是λ的最大 似然估计。 （2 分） 四、证明题 证明： 由题设可知 X 服从区间 [a, b] 上的均匀分布，所以 X 的密度函数为 = − 0, 其他。 , , 1 ( ) a x b f X x b a （1 分） 先求 Y = X + c （ c 为常数）的分布函数： − − − − − − = + = − = = − − y c b。 a y c b b a y c a y c a P Y y P X c y P X y c f x dx y c X 1, , , 0, , ( ) ( ) ( ) ( ) （8 分） 再对 y 求导数可得 Y 的密度函数为 + + = − 0, 其他。 , , 1 ( ) a c y b c f Y y b a （5 分） 故 Y 服从 [a + c, b + c] 上的均匀分布。 （1 分）