《通信原理》第二章随机信号分析习题 第二章随机信号分析习题(40道) 1.设随机过程()可表示成5()=2co2rt+0,P(0-00.5p(0=)0.5,求E() 解：E5(1)=2cos(2n+0月1=1 =0.5*2c0s0+0.5*2c0s/2 2设随机过程5()可表示成8①-2co2x9(9-00s9-受05，求R(Q) 解：R5(0,1)=E[2cos(2t1+0)2c0s(2It2+8月|t1=0,t2=l =E[2cos*2cos(2+0)月 =0.5*4cos20+0.54c0s2m/2 =2 3.设z(t)=x1coso0t-x2sin“0t是一随机过程，若x1和x2是彼此独立且具有均值为0， 方差为o2的正态随机变量，求E[2 解：E[z()j=Ex1 cosot-x2sinu0 =cosot*E[x1].[x2] =0 4.设z(t)=x1coso0t-x2sino0t是一随机过程，若x1和x2是彼此独立且具有均值为0， 方差为。2的正态随机变量，求E22(0) 解：E[z2(t]=E[(x1coso0t-x2sino0t)2] cosotto2+sinwot+o2 =02 5.设z(t)=x1cos00t-x2sin“0t是一随机过程，若x1和x2是彼此独立且具有均值为0， 方差为。2的正态随机变量，求)的一维分布密度函数2 解：D1z(]=Ez2(0-E2[z01=。2 第4项
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第4页 第二章 随机信号分析 习题（４０道） 1. 设随机过程ξ（t）可表示成ξ（t）=2cos(2πt+θ),P(θ=0)=0.5,p(θ= 2 )=0.5，求 Eξ(1) 解： Eξ(1)=[2cos(2πt+θ)]∣ t=1 =0.5*2cos0+0.5*2c o sπ/ 2 =1 2. 设随机过程ξ（t）可表示成ξ（t）=2cos(2πt+θ),P(θ=0)=0.5,p(θ= 2 )=0.5，求 Rξ(0,1). 解： Rξ(0,1)=E[2cos(2πt 1 +θ) *2 co s(2πt2 +θ)] ∣t 1 =0,t 2 =1 =E[2cosθ*2cos(2π+θ)] =0.5*4cos20+0.54co s 2π/ 2 =2 3. 设 z(t)=x1 co sω0 t-x 2 sinω0 t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有均值为 0， 方差为σ2 的正态随机变量，求 E[z(t)] 解：E[z(t)]=E[x1 cosω0 t-x2 sinω0 t] = cosω0 t*E[x1] - sinω0 t*E[x2] =0 4. 设 z(t)= x1 co sω 0 t-x 2 sinω0 t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有均值为 0， 方差为σ2 的正态随机变量，求 E[z2(t)] 解： E[z2 (t)]=E[(x1 cosω0 t-x2 sinω0 t)2] = cosω 0 t*σ2+si nω 0 t*σ2 =σ2 5. 设 z(t)= x1 co sω 0 t-x 2 sinω0 t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有均值为 0， 方差为σ2 的正态随机变量, 求 z(t)的一维分布密度函数 f(z) 解： D[z(t)]=E[z2(t)]-E2[z(t)]=σ2
《通信原理》第二章随机信号分析习题 1 f(z)= 28 6.设z(t)=x1c0sw0t-x2sinu0t是一随机过程，若x1和x2是彼此独立且具有均值为0， 方差为。2的正态随机变量，求R1,2) 解：R(t1,t2)=E[z(t)*z(2川 =E[(X1cos 0t1-x2sint1)(xcos 0t2-x2sin0t2)] E[X]cos ot]cos 0t2+E[x:]sin0t1 sin0t2 =g2cos00(t1-t2) 7.设z(t)=x1cosu0t-x25in“0t是一随机过程，若x1和x2是彼此独立且具有均值为0， 方差为02的正态随机变量，求B1,2 解：因为E2=0 所以B(t1,2)=R(t1,t2)-E[zt1]*E[z(t2】 =R(t1,t2) =o2cos0(t1-t2) 8.求)=x)的自相关函数。已知x)与y)是统计独立的平稳随机过程，且他们的自 相关函数分别为R(t),Ry(t). 解：因为x(t),y(t)统计独立，所以 Rz(t.t+)=Ex(t)y(t)*x(t+t)y(t+)] =E[x(t)x(t+t)]E[y(t)y(t+)] =Rx()Ry() 9.若随机过程z(t)=m(t)cos(o0t+0),其中m(t)是广义平稳随机过程，且自相关函数 1+,-l<t<0 Rm(r)=1-t,0≤t<1 ,0服从均匀分布的随机变量，它与m()彼此统计独立。 0,其他 证明z()是广义平稳的。 解：E[z(t)]=E[m()cos(0t+)] =E[m(t)]E[cos(ot+0)] 第5项
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第5页 f(z)= 2 1 exp(- 2 2 2 z ) 6. 设 z(t)= x1 co sω 0 t-x 2 sinω0 t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有均值为 0， 方差为σ2 的正态随机变量, 求 R(t1 ,t2 ) 解：R(t1 ,t2 )=E[z(t1 )*z(t2 )] =E[(x1 cosω0 t1 -x2 sinω0 t1 )( x1 cosω0 t2 -x2 si nω 0 t2 )] =E[ x 2 1 ]*cosω0 t1 cosω0 t2 +E[ x 2 2 ]*sinω0 t1 sinω0 t2 =σ2cosω0(t1 -t2 ) 7. 设 z(t)= x1 co sω 0 t-x 2 sinω0 t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有均值为 0， 方差为σ2 的正态随机变量, 求 B(t1 ,t2 ) 解： 因为 E[z(t)]=0 所以 B(t1 ,t2 )= R(t1 ,t2 )-E[z(t1 )]*E[z(t2 )] = R(t1 ,t2 ) =σ2cosω0(t1 -t2 ) 8. 求 z(t)=x(t)y(t)的自相关函数。已知 x(t)与 y(t)是统计独立的平稳随机过程，且他们的自 相关函数分别为 Rx (τ),Ry (τ). 解： 因为 x(t),y(t)统 计 独立 ， 所以 Rz(t,t+τ)=Ex(t)y(t)*x(t+τ) y(t+τ)] =E[x(t) x(t+τ) ]E[y(t)y(t+τ)] = Rx (τ)Ry (τ) 9. 若随机过程 z(t)=m(t)cos(ω0t+θ),，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且自相关函数 Rm(τ)＝ − + − 0,其他 1 ,0 1 1 , 1 0 ，θ服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此统计独立。 证明 z(t)是广义平稳的。 解： E[z(t)]=E[m(t)cos(ω0 t +θ )] =E[m(t)]E[cos(ω 0 t+θ) ]
《通信原理》第二章随机信号分析习题 =E[m(t)]cos(t+0)/2d0 =0 Rz(t,t+)=E[m(t)cos(ot+0)m(t+)cos(ot+0+0) =Rm()E[0.5cos(20t+0+2 0)+0.5cos 0t =Rm()*0.5cos0 可见，z()的数学期望与时间无关，其相关函数仅与ī有关，因此是冠以平稳的。 10.若随机过程z()=m(t)cos(ut+0),其中m()是广义平稳随机过程，且自相关函数 1+x,-1<x<0 Rm()=1-t0≤t<1 ,服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 0,其他 求功率谱密度Pz(u） 解：Pz(o)=(r)erdr 2t0)sw201 2 2 1L.若随机过程z(t)=m(t)cos(ot+0),其中m(t)是广义平稳随机过程，且自相关函数 1+t,-1<x<0 Rm()= 1-x,0sπ<1 ，0服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 0,其他 求功率S. 解：S=Rz(0)=cos0t/2(1-t)1t=01/2 12.己知噪声n()的自相关函数Rn（x)=a/2*e-a|T|,a为常数。 求Pn(o) 解：Pn(u)=Rn(t)e-jwtdr =al2 altlo-jdt =a/2[1/a-ju+1/a+ju] =a2/a2+u2 第6页
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第6页 =E[m(t)] 2 0 cos(ω0 t+θ)/2πdθ =0 Rz(t,t+τ)=E[m(t ) cos(ω0 t+θ) m(t+τ) cos(ω0 t+ω0τ+θ) =Rm(τ)E[0.5cos(2ω0 t+ω0τ+2θ )+0 .5c osω0τ] =Rm(τ)*0.5cosω0τ 可见，z(t)的数学期望与时间无关，其相关函数仅与τ有关，因此是冠以平稳的。 10. 若随机过程 z(t)=m(t)cos(ω0t+θ),其中 m(t)是广义平稳随机过程，且自相关函数 Rm(τ)＝ − + − 0,其他 1 ,0 1 1 , 1 0 ，θ服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此统计独立。 求功率谱密度 Pz (ω) 解： Pz (ω)= ( ) + − Rz e − j dτ = 4 1 [Sa2( 2 + 0 )+Sa2( 2 − 0 )] 11. 若随机过程 z(t)=m(t)cos(ω0t+θ),，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且自相关函数 Rm(τ)＝ − + − 0,其他 1 ,0 1 1 , 1 0 ，θ服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此统计独立。 求功率 S. 解： S=Rz (0)=cosω0τ/2(1-τ)∣τ=0=1/2 12. 已知噪声 n(t)的自相关函数 Rn (τ)=a/2*ea∣τ∣，a 为常数。 求 Pn (ω) 解： Pn (ω)= + − R n (τ)e-jωτdτ = + − a / 2 e- a∣τ∣e -jωτdτ =a/2[1/a-jω+1/a+jω] =a2/a2+ω2
《通信原理》第二章随机信号分析习题 13.已知噪声n()的自相关函数Rn（t)=a/2*e-a|T|,a为常数。求S 解：S=Rn(O)=a/2 14.已知噪声n(t)的自相关函数Rn(r)=a/2*e-a|T1,a为常数。画出Rn(r)和Pn(o) 的图形。 /2 Fa(W) 0.5 0 15.将一个均值为0，功率谱密度为0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为“c,带宽为 B的理想带通滤波器上。求滤波器输出噪声的自相关函数。 解：滤波器输出噪声的功率谱密度 Po()=Pi()IH()12 no/2[rect(0-0c/2xB)+rect(+0 c/2B)] 第7项
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第7页 13. 已知噪声 n(t)的自相关函数 Rn (τ)=a/2*ea∣τ∣，a 为常数。求 S 解： S= Rn (0)=a/2 14. 已知噪声 n(t)的自相关函数 Rn (τ)=a/2*ea∣τ∣，a 为常数。画出 Rn (τ)和 Pn (ω) 的图形。 15. 将一个均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc，带宽为 B 的理想带通滤波器上。求滤波器输出噪声的自相关函数。 解： 滤波器输出噪声的功率谱密度 P0 (ω)=Pi (ω)∣H (ω )∣ 2 = n0 /2[rect(ω-ωc/ 2π B )+ rect(ω+ωc/2πB )]
《通信原理》第二章随机信号分析习题 Ro() 2iPo(o)eioran 1 =noBsa(I BT cost 16.将一个均值为0，功率谱密度为0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为c,带宽为 B的理想带通逃波器上。求输出噪声的一维概率密度函数。 解：高斯过程通过线性系统后还是高斯过程。 E[ξ0(t)]=E[5i(t)]H(0)=0 D[50(t)]=R(0)-R(∞)=noB 所以，输出噪声的一维概率密度函数为： f(x)= x) 2B no 17.设有C体通滤波器，当输入均值为0，功率谱密度为0/2的白噪声是，求输出过程的 功率谱密度。 1 1 j Po(a)=P:(a)1H(a)12 21+(aRC}2] 18.设有C体通滤波器，当输入均值为0，功率谱密度为0/2的白噪声是，求输出过程的 自相关函数。 解，o(r)小2元Po(o)ojo rdu 第8页
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第8页 R0 (τ)= 2 1 + − P 0 (ω)ejωτdω =n0 Bsa(πBτ)cosωcτ 16. 将一个均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc，带宽为 B 的理想带通滤波器上。求输出噪声的一维概率密度函数。 解： 高斯过程通过线性系统后还是高斯过程。 E[ξ0(t)]=E[ξi(t )]H (0) =0 D[ξ0(t)]=R(0)-R( )=noB 所以，输出噪声的一维概率密度函数为： f(x)= B n0 2 1 exp(- n x B 0 2 2 ) 17. 设有 RC 体通滤波器，当输入均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的白噪声是，求输出过程的 功率谱密度。 解： H(ω)= j c R j c 1 1 + = 1 + jRC 1 P0 (ω)=Pi (ω)∣H(ω)∣2 = 2[1 ( } ] 1 2 + RC 18. 设有 RC 体通滤波器，当输入均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的白噪声是，求输出过程的 自相关函数。 解； R0 (τ)= 2 1 + − P 0 (ω)ejωτdω
《通信原理》第二章随机信号分析习题 上1+cToo 1 振e以 19.设有C体通滤波器，当输入均值为0，功率谱密度为o/2的白噪声是，求输出过程的 方差。 第aRo-R四 20.将均值为0，功率谱密度为0/2的高斯白喉声加到LR低通滤波器输入断，求输出噪声 的功率谱密度。 解：(a)FR+jl R Po(u)=P:(u)|H(a)12 noR 2(R2+可2L 21.将均值为0，功率谱密度为0/2的高斯白噪声加到LR低通滤波器输入断，求输出噪声 的自相关函数。 解（广P(oe 41 ne剑 4L 22.将均值为0，功率谱密度为o/2的高斯白噪声加到LR低通滤波器输入断，求输出噪声 的方差。 第9页
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第9页 = + − + 2 0 1 ( ) 1 4 RC n e jωτdω = RC e RC n − 4 0 19. 设有 RC 体通滤波器，当输入均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的白噪声是，求输出过程的 方差。 解： = 2 n (0) ( ) 0 0 R − R = RC n 4 0 20. 将均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的高斯白噪声加到 LR 低通滤波器输入断，求输出噪声 的功率谱密度。 解： H(ω)= R j L R + P0 (ω)=Pi (ω)∣H(ω)∣2 = 2( ) 2 2 2 2 0 R L n R + 21. 将均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的高斯白噪声加到 LR 低通滤波器输入断，求输出噪声 的自相关函数。 解： R0(τ)= 2 1 + − P 0 (ω)ejωτdω = e d L R L R j n + − + 2 2 2 0 ( ) 1 4 ( ) = L R e L R n − 4 0 22. 将均值为 0，功率谱密度为 n0 /2 的高斯白噪声加到 LR 低通滤波器输入断，求输出噪声 的方差
《通信原理》第二章随机信号分析习题 解g亡RO-R四0 23.有一个单输入，双输出的线性过滤器，若输入过程n(t)是平稳的，求51()和52() 的互功率谱密度的表示式。 0☐ H20 解pm2(o):inFF m H. =P,(o)H(o)H,() 24.若5()是平稳随机过程，自相关函数为Rξ（τ），求通过此系统后的功率谱密度。 解：Rξ(t)一PE(o) H(w)=1+e-jwT P0(u）=1H(u)12Pξ(u)=2Pξ(u)(1+coswT) 25。若5()是平稳随机过程，自相关函数为Rξ（τ），求通过此系统后的自相关函数。 相加 延时T 尚(e:2Paoo0ae 2P()(lscosuTeju tdo 第10页
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第10页 解： = 2 n (0) ( ) 0 0 R − R = L R n 4 0 23. 有一个单输入，双输出的线性过滤器，若输入过程η(t)是平稳的，求ξ1 (t)和ξ2 (t) 的互功率谱密度的表示式。 解： P12(ω)= T E F F T [ ( ) ( )] 2 * 1 lim → = ( ) ( ) [ ( ) 2 * 1 2 lim T H H E F T • • → = ( ) ( ) ( ) 2 * 1 P •H •H 24. 若ξ(t)是平稳随机过程，自相关函数为 Rξ(τ)，求通过此系统后的功率谱密度。 解： Rξ(τ) Pξ(ω) H(ω)=1+e-jωT P0(ω)=∣H(ω)∣2 Pξ(ω)= 2Pξ(ω)(1+cosωT) 25. 若ξ(t)是平稳随机过程，自相关函数为 Rξ(τ)，求通过此系统后的自相关函数。 解： R0 (τ)= 2 1 + − P 0 (ω)ejωτdω =2 2 1 + − P ξ(ω)(1+cosωT)ejωτdω h1 (t) H2 (t) 相加 延时 T
《通信原理》第二章随机信号分析习题 =2RE(τ)+Rξ(t-T)+RE(T+T) 26。若通过一LR低通滤波器的随机过程是一均值为0，功率谱密度0/2为的高斯白噪声 求输出过程的均值和方差。 解： E[5o(t)]=E[i(t)H(O)]=0 D[50(t)]=R0(O)-Ro()=n0/4RC=g2 27.若通过一LR低通滤波器的随机过程是一均值为0，功率谱密度0/2为的高斯白噪声， 求输出过程的一维概率密度函数。 解：因为高斯过程通过线性系统后还是高斯过程，所以： f(x)= 20 e2c工 V2πno no 28.一噪声的功率谱密度如图所示，求其自相关函数。 个Pa) 解：Bno)ec0,0,+ea0+0 B()Po(uei do 会ug2oas0,r 第11项
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第11页 =2Rξ(τ)+Rξ(τ-T)+Rξ(τ+T) 26. 若通过一 LR 低通滤波器的随机过程是一均值为 0，功率谱密度 n0 /2 为的高斯白噪声， 求输出过程的均值和方差。 解： E[ξ0 (t)]=E[ξi (t) H(0)]=0 D[ξ0 (t)]=R0 (0)-R0 (∞)=n0 /4RC=σ2 27. 若通过一 LR 低通滤波器的随机过程是一均值为 0，功率谱密度 n0 /2 为的高斯白噪声， 求输出过程的一维概率密度函数。 解： 因为高斯过程通过线性系统后还是高斯过程，所以： f(x)= ) 2 exp( 2 1 2 2 x − = ) 2 exp( 2 4 0 2 0 n x n RC RC • − 28. 一噪声的功率谱密度如图所示，求其自相关函数。 解： Pn (ω)= [ ( ) ( )] 0 0 + + − k rect rect Rn (τ)= 2 1 + − P 0 (ω)ejωτdω = 0 )2 cos 2 ( 2 • Sa k
《通信原理》第二章随机信号分析习题 2.已知一声的自相关函数为k号)cs0,T,面出它的功率密度 解：R(r)=Sa号)os0,r, B,o)-ea0。o+eaoo 个) 30.()是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2s的周期函数。在区间(-1,1)上 该自相关函数R(t)=1-|t|,求功率谱密度。 解：R() f1-t-1<r<1 0,其他 P,(@)=R(redr =,-emdr=S号 P.()=[R(t)e-dr =2x2F.·o-nm) 第12页
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第12页 = 0 ) cos 2 ( kSa 29. 已知一噪声的自相关函数为 0 ) cos 2 ( kSa ，画出它的功率谱密度。 解： Rn (τ)= 0 ) cos 2 ( kSa , ) ( ) 2 ( 2 W rect Wt Sa W Pn (ω)= [ ( ) ( )] 0 0 + + − k rect rect 30. ξ(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2s 的周期函数。在区间(-1,1)上， 该自相关函数 R(τ)=1-∣τ∣，求功率谱密度。 解： − − = 0,其他 1 , 1 1 ( ) R T ， + − − = e d j PT RT ( ) ( ) = ) 2 (1 ) ( 2 1 1 Sa j − e d = − − R e d j P + − − ( ) = ( ) = − 2 F • ( − n ) n
《通信原理》第二章随机信号分析习题 -2S.(")6(o-nz) 31,求乘积t)=x()y()的自相关函数。已知)与y)是统计独立的平稳随机过程，且他 们的自相关函数分别微R(r),R(r)。 解：Rt1,2)=E[z(t1)z(12】 =E[x(t)y(t)x(t2)y(t2)] =E[x(t1)x(t2)】·E[y(t1)y(t2] =Rx(r)Ry(r) 32.设)=x1cos00t-x2sin“0t是一随机过程，若x]和x2是彼此独立且具有均值为0，方 差为σ2的正态随机变量，求： (1)Ez)l,E[Z2()1 (2)Z)的一维分布密度函数2). 解：(1)E[z()]=E[x1cosu0t-x2sin“0t=cos“0 t E[x1]-sinot E[x20 E[z2(t)]=E[xjcos0t-x2sin] =cos20t E[x12]+sin2 ot E[x22]-2cos ot sin t E[x1]E[x2] =(cos2ω0t+sin2o0t0·o2.0 (2)因为x1和x2正态分布，则)也是正态分布 又Ez)]0,Dz)]=E[z2()-E2[zt)=o2 所以0)的一维分布密度函数22)y0.5expz222] 33.已知噪声n0的自相关函数Rm(t)0.5 ae-al ol,为常数 (I)求Pn(u)和S (2)画出Rn(t)和Pn(t)的图形。 解：(1)Pn(o)=∫Rn(t)e-jwrdt=0.5a·2a/a2+u2=a2/a2+u2 S=Rn(0)=0.5a 第13项
《通信原理》第二章 随机信号分析 习题 第13页 = − ) ( − ) 2 ( 2 n n Sa 31. 求乘积 z(t)=x(t)y(t) 的自相关函数。已知 x(t)与 y(t)是统计独立的平稳随机过程，且他 们的自相关函数分别微 Rx (г),Ry (г)。 解： R(t1,t2) =E[z(t1 )z(t2 )] =E[x(t1 )y(t1 )x(t2 )y(t2 )] =E[x(t1 )x(t2 )]·E[y(t1 )y(t2 )] =Rx (г)Ry (г) 32. 设 z(t)=x1 cosω0 t-x2 sinω0 t 是一随机过程，若 x1 和 x2 是彼此独立且具有均值为 0，方 差为σ2 的正态随机变量，求： （1） E[z(t)], E[Z2(t)]; （2） Z(t)的一维分布密度函数 f(z). 解：（1） E[z(t)]=E[x1 cosω0 t-x2 sinω0 t]=co sω0 t E[x1 ]-sinω0 t E[x2 ]=0 E[z2(t)]=E[x1 cosω0 t-x2 sinω0 t] =cos2ω0 t E[x1 2]+sin2ω0 t E[x2 2]-2cosω0 t sinω0 t E[x1 ] E[x2 ] =(cos2ω0 t+sin2ω0 t)·σ2-0 =0 (2) 因为 x1 和 x2 正态分布，则 z(t)也是正态分布 又 E[z(t)]=0, D[z(t)]=E[z2(t)]-E2[z(t)]=σ2 所以 z(t)的一维分布密度函数 f(z)=(2πσ) -0.5 exp[-z 2/2σ2] 33. 已知噪声 n(t)的自相关函数 Rn (τ)=0.5a e -a∣σ∣，为常数 (1) 求 Pn (ω)和 S (2) 画出 Rn (τ)和 Pn (τ)的图形。 解：(1) Pn (ω)=∫Rn (τ)ejωτdτ=0.5a·2a/a2+ω2=a2/a2+ω2 S=Rn (0)=0.5a