第3章射影平面 一、填空选择题 1。平行射影保持如下哪种关系和量不变《). A.垂直关系B。平行关系 C.长度D.角度 2,射影对应把平行四边形变成(》， 3。在中心射影下，如下娜种量不变()。 A角度B. 交比 C.面积D.长度 4,射影对应把矩形变成()， 5。点列之间的射影对应是由() A.三对对应点唯一确定B.两对对应点难一确定 C,四对对应点难一确定D。无限对对应点唯一确定 6。射影对应把梯形变成(). 7。在射影平而上，下而哪些图形可以区别开来()。 A.三角形与圆B.圆与韩圆 C.四边形与正方形D.等限三角形与直角三角形 8。射影对应把三角形中位线变成() 9,射影对应把三角形中线变成(). 二、计算证明题 1.欧氏平面上直线的方程为匹+y+c=0,求出该直线在齐次坐标下 的方程， 2,证明：相交于影酒线上的二直线。象为二平行找 3,设OX,OY,OZ为三条定直线，A,B为二定点，其连线过O,点R为OZ上 的动点，且直线R4,RB分别交QX,OY于点P,Q,求证：PQ通过AB上一定点 4,写出下列角盟的对偶年题 设A,B,C三点在一直线上，A',B,C三点在另一直线上，则BC与BC的交 点、。C与CA的交点、AB'与AB的交点共线
1 第 3 章 射影平面 一、填空选择题 １．平行射影保持如下哪种关系和量不变（）。 A．垂直关系 B． 平行关系 C．长度 D． 角度 ２．射影对应把平行四边形变成（ ）． ３．在中心射影下，如下哪种量不变（ ）。 A． 角度 B． 交比 C． 面积 D． 长度 ４．射影对应把矩形变成（ ）． ５．点列之间的射影对应是由（）． A．三对对应点唯一确定 B． 两对对应点唯一确定 C．四对对应点唯一确定 D． 无限对对应点唯一确定 ６．射影对应把梯形变成（ ）． ７．在 射 影 平 面 上 ， 下 面 哪 些 图 形 可 以 区 别 开 来 （ ） . A .三 角 形 与 圆 B.圆与椭圆 C .四 边 形 与 正 方 形 D .等 腰 三 角 形 与 直 角 三 角 形 ８．射影对应把三角形中位线变成（ ）． ９．射影对应把三角形中线变成（ ）． 二、计算证明题 １．欧 氏 平 面 上 直 线 的 方 程 为 ax + by + c = 0 ， 求 出 该 直 线 在 齐 次 坐 标 下 的方程 . ２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行线． ３．设 OX ，OY ，OZ 为三条定直线， A ，B 为二定点，其连线过 O ，点 R 为 OZ 上 的动点，且直线 RA ， RB 分别交 OX ，OY 于点 P ，Q ，求证： PQ 通过 AB 上一定点． ４．写出下列命题的对偶命题 设 A ， B ，C 三点在一直线上, A ， B ，C 三点在另一直线上，则 BC 与 BC 的交 点、 CA 与 CA 的交点、 AB 与 AB 的交点共线．
5。证明如果两个三角形对应边的文点共线，则对应顶点的连线共点， 6,在欧氏平面上，△A仪C的高线为AD,距，CF,另外，仪C与EF交于X,CA与 FD交于Y,AB与DE交于Z,求证：三点X,Y,Z共找 7.设P,卫，R,S为完全四点形的顶点，PS×OR=A(PS与QR的交点为A), PR×QS=B,PQ×S=C,BC×QR=A,CA×RP=B,AB×PO=C,试i证： A,B,C共线 8。求下列各点的线坐标方程， (1)x轴上无穷运点： (2》y轴上无穷运点： (3)以斜率一三为方向的无穷运点： 3 (4)(5.2.-10 9。若存在，求下列各点的非齐次坐标 A2.4.-1)10.4.3)1CL.80). 10.求3斯1+名：-高=0和名1-书：+高=0的交点与2x一工：-无=0上无穷远点 的连线坐标 11.求直线玉+2x2=0上无穷远点的齐次坐标， 12.求下列各线坐标所表示的直线方程 ,0,:[l,L-1:[22,-2:0,0,:0,1月. 13.试求出下面各点的齐次坐标. 1)o0.0.@.29. （2)以为方向的无穷运点。 (3)3x+y+1=0上的无穷远点. 14.求两点34+43-1l4=0与54-32+=0的连线的坐标. 15.求过两直线儿，1，刂，[2，L3)的交点与点2出+3仙+“1=0的违线的坐标. 16.求直线x,+2x:=0上无穷远点的齐次坐标
2 ５．证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点． ６．在欧氏平面上,△ ABC 的高线为 AD , BE ,CF ,另外, BC 与 EF 交于 X ,CA 与 FD 交于 Y , AB 与 DE 交于 Z .求证: 三点 X ,Y , Z 共线． ７．设 P ，Q ，R ，S 为完全四点形的顶点， PS QR = A （ PS 与 QR 的交点为 A ）， PRQS = B，PQ RS = C ， BC QR = A1，CARP = B1， ABPQ = C1 ，试证： A1， B1，C1 共线． ８．求下列各点的线坐标方程． （１） x 轴上无穷远点； （２） y 轴上无穷远点； （３）以斜率 3 2 − 为方向的无穷远点； （４） (5, 2, −1) ． ９．若存在，求下列各点的非齐次坐标． A(2, 4, −1) ； B(0, 4, 3) ； C(1, 8, 0) ． 10．求 3x1 + x2 − x3 = 0 和 x1 − x2 + x3 = 0 的交点与 2x1 − x2 − x3 = 0 上无穷远点 的连线坐标． 11．求直线 x1 + 2x2 = 0 上无穷远点的齐次坐标． 12．求下列各线坐标所表示的直线方程． [1, 0, 1] ； [1, 1, −1] ； [2, 2, − 2] ； [0, 0, 1] ； [0, 1, 1] ． 13．试求出下面各点的齐次坐标． （１） (0,0) ， (1,0) ，(0,1) ， ) 3 5 (2, ． （２）以 4 3 为方向的无穷远点． （３） 3x + y +1 = 0 上的无穷远点． 14．求两点 3u1 + 4u2 −11u3 = 0 与 5u1 − 3u2 + u3 = 0 的连线的坐标． 15．求过两直线 [1, 1, 1] ，[2, 1, 3] 的交点与点 2u1 + 3u2 + u3 = 0 的连线的坐标． 16．求直线 x1 + 2x2 = 0 上无穷远点的齐次坐标．
T.设△ABC的顶点A,B,C分别在共点的三直线/，m,n上移动，且直线AB和 C分别通过定点P和Q,求证CA也通过PQ上一个定点. 三、作图愿 过定点P。作一条直线。使通过两条己知直线的不可到达的点， 3
3 17．设△ ABC 的顶点 A , B , C 分别在共点的三直线 l ,m , n 上移动, 且直线 AB 和 BC 分别通过定点 P 和 Q ,求证 CA 也通过 PQ 上一个定点． 三、作图题 过定点 P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点．