第4章导数的应用除合练习及参考答案 中央电大顾静相 第4章导数的应用 一，填空圈 1.函数y=x-)的单调增加区间是 ，单调诚少区间是 ,极值点 是 ·它是极 值点， 2.函数儿闭=k-+2的最小值点是x 3.函数y=a+l在0+可)内单调增加。则4 4.极限中1-x 5.函 f)-2e'+e") 的极小值点为 二、单遗题 1.下列函数中，()在指定区向内是单调减少的函数. A.y=2”(-+) B.y=e”(-,0) C.y=hx (0.+00】 D.y=sin x (0.T) 2。若函数y-八x)端足条件（ ),则在a,)内至少存在一点a<F<),使 下式成立 f"=6)-fa b-a A。在(a,b)内连续： B.在a,创内可导： C.在a,b)内连续，在a,)内可导：D.在a,内违续，在(a,)内可导 3.满足方程八)=0的点是函数y=()的《). A.极值点 B.拐点 C.驻点 D.间断点 4.设质数f)在(a,的内连续，名∈(a,),且)-)-0，则函数在x 处( ) A.取得极大值 B.取得极小值 C.一定有拐点任，名》 D。可能有极值，也可能有祸点 2 5.函数y=在-1,2习上没有(). 1
1 第 4 章 导数的应用综合练习及参考答案 中央电大 顾静相 第 4 章 导数的应用 一、填空题 1．函数 y = 3 x −1 2 ( ) 的单调增加区间是 ，单调减少区间是 ，极值点 是 ，它是极 值点． 2．函数 f (x) = x −1 + 2 的最小值点是 x = ． 3．函数 1 2 y = ax + 在 (0, + ) 内单调增加，则 a ． 4．极限 = → − x x x 1 ln lim 1 ． 5．函数 (e e ) 2 1 ( ) x x f x − = + 的极小值点为 ． 二、单选题 1．下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数． A． x y − = 2 (−, + ) B． x y = e (−, 0) C． y = ln x (0, + ) D． y = sin x (0, ) 2．若函数 y = f (x) 满足条件（ ），则在 (a,b) 内至少存在一点 (a b) ，使 下式成立 b a f b f a f − − = ( ) ( ) ( ) A．在 (a,b) 内连续； B．在 (a,b) 内可导； C．在 (a,b) 内连续，在 (a,b) 内可导； D．在 [a,b] 内连续，在 (a,b) 内可导． 3．满足方程 f (x) = 0 的点是函数 y = f (x) 的（ ）． A．极值点 B．拐点 C．驻点 D．间断点 4．设函数 f (x) 在 (a,b) 内连续， ( , ) x0 a b ，且 f (x0 ) = f (x0 ) = 0 ，则函数在 0 x = x 处（ ）． A．取得极大值 B．取得极小值 C．一定有拐点 ( , ( )) 0 0 x f x D．可能有极值，也可能有拐点 5．函数 3 2 y = x 在[-1，2]上没有（ ）．
A,极大值 B,极小值C,最大值 D,最小值 三、计算题 Iim-cosx-1 l.+0e+e-2 Hx+e") 2.02x c-1-x 4.求函数y=X一1+)的单调区间， 5.求函数y=术1+)的单调区何和极值。 四，应用题 1,欲做一个底为正方形，容积为18立方米的长方体开口容器。怎样做法所用材料最 省1 V=- 2.在由线x上求一点，使过该点的切线被坐标轴所截的长度最短。 五，证明题 1.当x>1时，证明不等式e”>把 参考解容 一，填空题
2 A． 极大值 B． 极小值 C． 最大值 D． 最小值 三、计算题 1． e e 2 cos 1 lim 0 + − − → x −x x x 2． x x x x 2 ln( e ) lim 0 + → 3． 6 3 0 e 1 lim 3 x x x x − − → 4．求函数 y = x − ln(1+ x) 的单调区间． 5．求函数 2 1 (1 ) − y = x + x 的单调区间和极值． 四、应用题 1．欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最 省？ 2．在曲线 x y 1 = 上求一点，使过该点的切线被坐标轴所截的长度最短． 五、证明题 1．当 x 1 时，证明不等式 e xe x 参考解答 一、填空题
1.(0,+∞)，(-0,0，x=1,小 2.1 3.0 4.-1 5.x=0 二，单项选择题 1.A2.D3.C4.D5.A 三，计算圈 C05x=1 lm- m -snx 1,解：0e2+e-2.0e2-e lm-cosx。1 =0e+e2 l+e x+e)1 Im 。im士+e 2.解：02x=2x+01 5*21 e-1-x 3r2e-3r2 lim 3.解： 6x c"-1 m -02xJ 3x'e 1 4.解：两数y=x-N1+)的定文区何为(-1+四)，由于 r=1-,1 =T 1+x1+x 令广=0，解得x=0,这样可以将定义区间分成一，0和(0，+)两个区间来时论.当 -10. 由此可得。函数y=x一1+)在一1,0)内单调递减。在0，+)内单调增加。 5.解：函数y=x0+)的定文线是(--U(-L+) 3
3 1． (1, + ) ， (−, 1)， x = 1 ，小 2．1 3．>0 4．-1 5． x = 0 二、单项选择题 1．A 2．D 3．C 4．D 5．A 三、计算题 1．解： e e 2 cos 1 lim 0 + − − → x −x x x = x x x x → − − − e e sin lim 0 = 2 1 e e cos lim 0 = − + − → x −x x x 2．解： x x x x 2 ln( e ) lim 0 + → = 1 e 1 e lim 2 1 0 x x x x + + → = 2 1 2 1 = 3．解： 6 3 0 e 1 lim 3 x x x x − − → = 5 2 2 0 6 3 e 3 lim 3 x x x x x − → = 3 0 2 e 1 lim 3 x x x − → = 2 2 0 6 3 e lim 3 x x x x→ = 2 1 4．解：函数 y = x − ln(1+ x) 的定义区间为 (−1, + ) ，由于 x x x y + = + = − 1 1 1 1 令 y = 0 ，解得 x = 0 ，这样可以将定义区间分成 (−1,0) 和 (0,+) 两个区间来讨论．当 −1 x 0 时， y 0 ；当 0 x + 是， y 0． 由此可得，函数 y = x − ln(1+ x) 在 (−1,0) 内单调递减，在 (0,+) 内单调增加． 5．解： 函数 2 1 (1 ) − y = x + x 的定义域是 (−, −1) (−1, + )
因为y-2x1+x+x2-11+) .21+)-x2.2+对 1+x) (1+x y-2+2-0 (1+x) ， 得驻点名=-2，为=0 -,-2)-2 -2,-10U(-10)1 (0,+) f"(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以函数的单调增如区间是《一-2)和(0，+)，单调减少区间是(-之，-)及（一山0）， 当x■-2时，极大植/八-2)=-4，当x=0时，极小值0)=0 四、应用题 1:解：授底边边长为x,高为上，所用材料为刀 xh=108,h=108 且 y=x+4xh x2+4x=x2+) y=2x+-432_2x3-432 x 令y=0得2x-216)=0→x=6 因为>6.广>0x<6,少<0，所以=6，y=108为最小值.此时h=3 于是以6米为底边长。3米为高做长方体容器用料最省 2.解：没曲线玉上横坐标为的点为 。,过该点的切线斜率为 )=-1 过该点的切线为 11 4
4 因为 1 2 2 2 (1 ) ( 1)(1 ) − − y = x + x + x − + x 2 2 (1 ) 2 (1 ) x x x x + + − = 2 (1 ) (2 ) x x x + + = 令 0 (1 ) (2 ) 2 = + + = x x x y ，得驻点 x1 = −2 ， x2 = 0 (−,− 2) -2 (−2, −1) (−1,0) 0 (0,+ ) f (x) + 0 - 0 + f (x) 极大值 极小值 所以函数的单调增加区间是 (−,− 2) 和 (0,+ ) ，单调减少区间是 (−2, −1) 及 (−1, 0) ， 当 x =-2 时，极大值 f (−2) = −4 ；当 x = 0 时，极小值 f (0) = 0 ． 四、应用题 1．解：设底边边长为 x ，高为 h ，所用材料为 y 且 2 2 108 108, x x h = h = y x 4xh 2 = + 2 2 2 2 108 432 4 x x x = x + x = + 2 3 2 432 2 432 2 x x x y x − = − = + 令 y = 0 得 2( 216) 0 6 3 x − = x = ， 因为 x 6, y 0; x 6, y 0 ，所以 x = 6, y = 108 为最小值．此时 h = 3． 于是以 6 米为底边长，3 米为高做长方体容器用料最省． 2．解：设曲线 x y 1 = 上横坐标为 0 x 的点为 ) 1 ( , 0 0 x x ，过该点的切线斜率为 2 0 0 1 ( ) x y x = − 过该点的切线为 ( ) 1 1 2 0 0 0 x x x x y − = − −
Y=2 该切线在x轴。y轴上藏距分别为X=2x。, 记切线被坐标轴所截长度为，则 22×4=22 4x=4 等号成立，当且仅当 无，即=时，1=25 因此所求点为()或~1，-) 五、证明圈 1.证明：设函数/八)=nx,因为)在(0，+)上连线可导，所以国在儿习上 满足拉格朗日中植定理条件，有公式可得 f(x)-f(1)=f(cXx-1) 其中11,有c 故有 hx1时，有不等式 e">xe 成立
5 该切线在 x 轴， y 轴上截距分别为 2 0 X = x ， 0 2 x Y = ． 记切线被坐标轴所截长度为 l ，则 2 0 2 0 2 2 4 4 x l = X +Y = x + 24 = 2 2 等号成立，当且仅当 2 0 2 0 4 4 x x = ，即 x0 = 1 时， l = 2 2 ． 因此所求点为 (1, 1) 或 (−1, −1) . 五、证明题 1．证明： 设函数 f (x) = ln x ，因为 f (x) 在 (0,+) 上连续可导，所以 f (x) 在 [1, x] 上 满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得 f (x) − f (1) = f (c)(x −1) 其中 1 c x ，即 ( 1) 1 ln − ln 1 = x − c x 又由于 c 1 ，有 1 1 c 故有 ln x x −1 两边同时取以 e 为底的指数，有 ln 1 e e − x x 即 e e x x 所以当 x 1 时，有不等式 e xe x 成立．