基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法

D0L:10.13374.issn1001-053x.2013.08.009 第35卷第8期 北京科技大学学报 Vol.35 No.8 2013年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2013 基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 米凯夫)☒，张杰1)，曹建国)，李洪波)，贾生晖2)，褚玉刚2) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)武汉钢铁（集团）公司，武汉430083 ☒通信作者，E-mai：让mikaifu@sina.com 摘要针对2180mm冷连轧机振纹现象的随机性和隐蔽性的特点，基于小波分析和分形理论，系统地研究了能够准 确地识别轧机振动的方法.对典型工况下轧机振动信号的分析结果显示，两种方法均能有效地识别轧机振动的现象，为 在复杂振动环境下识别振纹振动提供了有效途径，这对于实时监测轧机的运行状况，避免恶性生产事故的发生，进而实 现预知轧机振动具有积极的现实意义 关键词冷轧机：带钢：表面缺陷：机械振动：信号分析：小波分析：分形 分类号TG333.7+1 Vibration identification technology of tandem cold rolling mills based on wavelet and fractal analysis MI Kai-fu1),ZHANG Jie1),CAO Jian-guo1),LI Hong-bo1),JIA Sheng-hui2),CHU Yu-gang2) 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Wuhan Iron and Steel (Group)Corp,Wuhan 430083,China Corresponding author,E-mail:mikaifu@sina.com ABSTRACT Aiming at the randomness and imperceptibility of chatter marks in a 2180 mm tandem cold rolling mill,two methods to identify the vibration of the rolling mill were systematically studied based on wavelet analysis and the fractal theory.Vibration signals from the rolling mill under typical conditions were analyzed by the two methods. The results show that both can effectively identify the vibration of the rolling mill.This paper provides an effective way to identify the chatter vibration in the complex vibration environment.The two methods have practical significance for real-timely monitoring the operation condition of rolling mills,avoiding the occurrence of hazardous production accidents,and then predicting the vibration of rolling mills. KEY WORDS cold rolling mills;strip metal;surface defects;machine vibrations;signal analysis;wavelet analysis; fractals 长期困扰钢铁产业界的板面振纹素有“幽灵振 中工艺参数繁多，各种参数相互影响交织在一起， 动”之称[1-2习.某厂2180mm全连续冷连轧机在实 这就造成了不同轧机的振动形式和振动原因差别 际生产中带钢表面出现振纹，明暗条纹横贯板宽并 很大.即使同一架轧机，在轧制过程中也存在着多 有周期性.振纹随机出现，无先兆，无诱因，无实时 种振动形式，因此找到普遍适用的措施、确定并排 表现，只能在轧后开卷检查时才能发现.为避免振 除轧机振动尚难实现阁.准确识别导致振动的因素 纹产生，现场不得不采取频繁更换工作辊的措施，并及时采取措施便成为了抑制振动危害的另一条途 不仅降低了生产效率，同时因辊耗的增加而增大了 径.轧机振动形态表现出多样性和不确定性，其特 生产成本 征淹没在一般的振动中，常规方法难以准确辨识④. 轧机振动问题作为一个世界性难题，不仅因其 因此，本文针对现场振纹现象随机性和隐蔽性的特 机械结构和控制系统十分复杂，而且由于轧制过程 点，基于小波和小波分形理论，从实测振动信号入 收稿日期：2012-06-11

第 35 卷 第 8 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 8 2013 年 8 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug. 2013 基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 米凯夫1) ，张 杰1)，曹建国1)，李洪波1)，贾生晖2)，褚玉刚2) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 武汉钢铁 (集团) 公司，武汉 430083 通信作者，E-mail: mikaifu@sina.com 摘 要 针对 2180 mm 冷连轧机振纹现象的随机性和隐蔽性的特点，基于小波分析和分形理论，系统地研究了能够准 确地识别轧机振动的方法. 对典型工况下轧机振动信号的分析结果显示，两种方法均能有效地识别轧机振动的现象，为 在复杂振动环境下识别振纹振动提供了有效途径，这对于实时监测轧机的运行状况，避免恶性生产事故的发生，进而实 现预知轧机振动具有积极的现实意义. 关键词 冷轧机；带钢；表面缺陷；机械振动；信号分析；小波分析；分形 分类号 TG333.7+1 Vibration identification technology of tandem cold rolling mills based on wavelet and fractal analysis MI Kai-fu 1) , ZHANG Jie 1), CAO Jian-guo 1), LI Hong-bo 1), JIA Sheng-hui 2), CHU Yu-gang 2) 1) School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Wuhan Iron and Steel (Group) Corp, Wuhan 430083, China Corresponding author, E-mail: mikaifu@sina.com ABSTRACT Aiming at the randomness and imperceptibility of chatter marks in a 2180 mm tandem cold rolling mill, two methods to identify the vibration of the rolling mill were systematically studied based on wavelet analysis and the fractal theory. Vibration signals from the rolling mill under typical conditions were analyzed by the two methods. The results show that both can effectively identify the vibration of the rolling mill. This paper provides an effective way to identify the chatter vibration in the complex vibration environment. The two methods have practical significance for real-timely monitoring the operation condition of rolling mills, avoiding the occurrence of hazardous production accidents, and then predicting the vibration of rolling mills. KEY WORDS cold rolling mills; strip metal; surface defects; machine vibrations; signal analysis; wavelet analysis; fractals 长期困扰钢铁产业界的板面振纹素有 “幽灵振 动” 之称[1−2] . 某厂 2180 mm 全连续冷连轧机在实 际生产中带钢表面出现振纹，明暗条纹横贯板宽并 有周期性. 振纹随机出现，无先兆，无诱因，无实时 表现，只能在轧后开卷检查时才能发现. 为避免振 纹产生，现场不得不采取频繁更换工作辊的措施， 不仅降低了生产效率，同时因辊耗的增加而增大了 生产成本. 轧机振动问题作为一个世界性难题，不仅因其 机械结构和控制系统十分复杂，而且由于轧制过程 中工艺参数繁多，各种参数相互影响交织在一起， 这就造成了不同轧机的振动形式和振动原因差别 很大. 即使同一架轧机，在轧制过程中也存在着多 种振动形式，因此找到普遍适用的措施、确定并排 除轧机振动尚难实现[3] . 准确识别导致振动的因素 并及时采取措施便成为了抑制振动危害的另一条途 径. 轧机振动形态表现出多样性和不确定性，其特 征淹没在一般的振动中，常规方法难以准确辨识[4] . 因此，本文针对现场振纹现象随机性和隐蔽性的特 点，基于小波和小波分形理论，从实测振动信号入 收稿日期：2012–06–11 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.08.009

第8期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 1065· 手，系统地研究了能够准确识别轧机振动的方法， 等的动态规律，寻找轧机的振动特征，利用现代测 有助于实时监测轧机的运行状况，使操作人员在振 试手段，进行冷连轧机现场多点综合振动测试，采 动发生初期便能发觉，并及时采取措施，避免恶性 集多物理过程的表现状态与过程信息.测试内容主 生产事故的发生 要包括电机输出轴的扭矩，减速机、上工作辊、下 工作辊和下中间辊的水平、垂直和轴向振动信号以 1冷连轧机振动综合测试 及生产工艺参数.具体测点布置见图1，黑点标记 为了捕捉轧机出现振动时工艺参数、力能参数 测试部位 1一机架：2一压下油缸：3一上支持辊及轴承座：4一上中间辊及轴承座：5一上工作辊及轴承座： 6下工作辊及轴承座：7一下中间辊及轴承座：8一下支持辊及轴承座：9一万向接轴： 10一域速机：11一联轴器：12一电机： 图1轧机振动测点布置简图 Fig.1 Lay-out of field testing spots on the mill 2基于小波变换的振动识别 设x(t)为一时间信号，p)表示第j层上的 轧机出现振动时，其动力学行为表现出复杂性 第i个小波包，称为小波包系数，G和H为小波分 和非线性，振动信号也随之出现非平稳性，故基于 解滤波器.二进小波包分解的快速算法为母 线性动力学模型的平稳信号分析方法已不再适用. p6(t)=x(t), 小波变换本质上是一组共轭正交滤波器，在时域和 p-1=∑Hk-2)p-1, (1) 频域都具有良好的局部化性质.从这个角度讲，小 =∑G(k-2)p-1(). 波分析是信号处理的有力工具.在工程应用领域， 最关心的问题是如何从小波变换后的数据中提取故 式中：t=1,2,…,2-j;i=1,2,…,2;J=lbN. 障特征 式(1)的小波包分解过程可以用图2的小波包 2.1小波包分解 信号分解频带划分示意图来形象地表示，称其为小 小波变换近年来在图像处理、奇异性检测等方 波包分解的二叉树. 面已有很成功的应用，在信号分析中的应用也得到 武) 了广泛重视可.在二进离散小波变换中，信号从2 第1层 尺度开始仅仅分解低频子带（近似部分），而对高频 子带（细节部分）不再分解.对于分析像轧机振动这 第2层 样复杂的信号时，就不能够满足要求 Coifman等倒进一步提出了小波包的概念.小 第3层 波包借助于小波分解滤波器在各个尺度上对每个子 图2二进小波包分解树形原理图 带均进行再次降半划分，从而得到了比二进离散小 Fig.2 Tree principle diagram of dyadic wavelet package de- 波变换更为精细的信号分解. composition

第 8 期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 1065 ·· 手，系统地研究了能够准确识别轧机振动的方法， 有助于实时监测轧机的运行状况，使操作人员在振 动发生初期便能发觉，并及时采取措施，避免恶性 生产事故的发生. 1 冷连轧机振动综合测试 为了捕捉轧机出现振动时工艺参数、力能参数 等的动态规律，寻找轧机的振动特征，利用现代测 试手段，进行冷连轧机现场多点综合振动测试，采 集多物理过程的表现状态与过程信息. 测试内容主 要包括电机输出轴的扭矩，减速机、上工作辊、下 工作辊和下中间辊的水平、垂直和轴向振动信号以 及生产工艺参数. 具体测点布置见图 1，黑点标记 测试部位. 图 1 轧机振动测点布置简图 Fig.1 Lay-out of field testing spots on the mill 2 基于小波变换的振动识别 轧机出现振动时，其动力学行为表现出复杂性 和非线性，振动信号也随之出现非平稳性，故基于 线性动力学模型的平稳信号分析方法已不再适用. 小波变换本质上是一组共轭正交滤波器，在时域和 频域都具有良好的局部化性质[5] . 从这个角度讲，小 波分析是信号处理的有力工具. 在工程应用领域， 最关心的问题是如何从小波变换后的数据中提取故 障特征[6] . 2.1 小波包分解 小波变换近年来在图像处理、奇异性检测等方 面已有很成功的应用，在信号分析中的应用也得到 了广泛重视[7] . 在二进离散小波变换中，信号从 2 1 尺度开始仅仅分解低频子带 (近似部分)，而对高频 子带 (细节部分) 不再分解. 对于分析像轧机振动这 样复杂的信号时，就不能够满足要求. Coifman 等[8] 进一步提出了小波包的概念. 小 波包借助于小波分解滤波器在各个尺度上对每个子 带均进行再次降半划分，从而得到了比二进离散小 波变换更为精细的信号分解. 设 x(t) 为一时间信号，p i j (t) 表示第 j 层上的 第 i 个小波包，称为小波包系数，G 和 H 为小波分 解滤波器. 二进小波包分解的快速算法为[8]    p 1 0 (t) = x(t), p 2i−1 j = P k H(k − 2t)p i j−1 (t), p 2i j = P k G(k − 2t)p i j−1 (t). (1) 式中：t=1, 2, · · · , 2J−j ; i=1, 2, · · · , 2j ; J=lbN. 式 (1) 的小波包分解过程可以用图 2 的小波包 信号分解频带划分示意图来形象地表示，称其为小 波包分解的二叉树. 图 2 二进小波包分解树形原理图 Fig.2 Tree principle diagram of dyadic wavelet package de￾composition

.1066 北京科技大学学报 第35卷 二进小波包重构的快速算法为母 层小波包分解，得到八个分布在不同频段上的小 波信号.图3为各频段信号在时域中的示意图， (t)=2 ∑h(t-2p()+gt-2p() 排列顺序是从上往下依次对应信号的频段从低到 (2) 高.八个频段的信号分别为0160、160320、 式中，j=J-1,J-2,…,1,0:=2,2-1,…,21; 320480、480640、640800、800960、9601120 J=bN;h和g为时域中的小波重构滤波器 和1120~1280Hz.图4为各频段信号能量占信号总 2.2基于小波包分解的振动识别 能量的比例示意图，又称能量谱图. 针对轧机两种典型状态下第四机架测试信号 从图3中的第1和第2频段分解信号可以 进行分析.通过对比，找到振纹振动的表现特征，为 看出，两者中均明显含有冲击成分，说明第四机 判别轧机因出现振纹振动而导致带钢振纹提供有力 架的振动可能与减速机中齿轮啮合不良等因素有 证据. 关.从图4可以看出，振动能量几乎全部集中在 (1)出现振纹振动时的特征分析.原始信号为 第1和第2频段，对应的频率是0320Hz,而 带钢表面出现了明显振纹时上工作辊轴承座处的故 带钢表面振纹频率为200~300Hz,恰好落在该频 障时域信号波形.根据信号的时域特点以及采样 率段内，说明带钢振纹正是由轧机此时的振动引 频率，选择b8小波作为基波，对原始信号进行三 起的 0.05 0.05 频段1 0.05 频段2 频段3 频段4 5..0 3 频段5 5 频段6 频段7 烦段8 时间/s 图3出现振纹时各频段信号的时域图 Fig.3 Time domain curves of different frequency band signals when chatter marks occurred

· 1066 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 二进小波包重构的快速算法为[8] p i j (t)= 2 "X k h(t−2k)p 2i−1 j+1 (t)+X k g(t−2k)p 2i j+1(t) # . (2) 式中，j = J−1, J−2, · · · , 1, 0; i=2j , 2j−1 , · · · , 2, 1; J=lbN; h 和 g 为时域中的小波重构滤波器. 2.2 基于小波包分解的振动识别 针对轧机两种典型状态下第四机架测试信号 进行分析. 通过对比，找到振纹振动的表现特征，为 判别轧机因出现振纹振动而导致带钢振纹提供有力 证据. (1) 出现振纹振动时的特征分析. 原始信号为 带钢表面出现了明显振纹时上工作辊轴承座处的故 障时域信号波形. 根据信号的时域特点以及采样 频率，选择 db8 小波作为基波，对原始信号进行三 层小波包分解，得到八个分布在不同频段上的小 波信号. 图 3 为各频段信号在时域中的示意图， 排列顺序是从上往下依次对应信号的频段从低到 高. 八个频段的信号分别为 0∼160、160∼320、 320∼480、480∼640、640∼800、800∼960、960∼1120 和 1120∼1280 Hz. 图 4 为各频段信号能量占信号总 能量的比例示意图，又称能量谱图. 从图 3 中的第 1 和第 2 频段分解信号可以 看出，两者中均明显含有冲击成分，说明第四机 架的振动可能与减速机中齿轮啮合不良等因素有 关. 从图 4 可以看出，振动能量几乎全部集中在 第 1 和第 2 频段，对应的频率是 0∼320 Hz，而 带钢表面振纹频率为 200∼300 Hz，恰好落在该频 率段内，说明带钢振纹正是由轧机此时的振动引 起的. 图 3 出现振纹时各频段信号的时域图 Fig.3 Time domain curves of different frequency band signals when chatter marks occurred

第8期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 1067. (2)未出现振纹振动时的特征分析.原始信号为 0.9 带钢表面未出现明显振纹时上工作辊轴承座处的时 0.8 域信号波形.按照上述方法对其进行相同的处理. > 0.6 各频段信号在时域中的示意图如图5所示.从八个 0.5 频段的分解信号中可以看出，未出现明显振纹时的 时域特征.图6为各频段信号能量谱图.从图中可 0.2 0.1 以看出，与出现振纹时的信号能量谱明显不同，除 2 3 456 7 8 了第1和第2频段有集中能量外，第4频段也有 频段 比较集中的能量，另外第3和第7频段也有能量成 图4出现振纹时各频段信号的能量比率直方图 分，即振动能量出现了分散，各频段能量有均匀化 的趋势 Fig.4 Energy ratio histogram of different frequency band signals when chatter marks occurred 0.05 S.UD -0.05 频段1 0.05 频段2 频段3 2 频段4 频段5 频段6 6 频段7 中 频段8 时间/s 图5未出现振纹时各频段信号的时域图 Fig.5 Time domain curves of different frequency band signals when no chatter mark occurred 为避免上述结论的偶然性，采用上述方法对多 由以上两种情况下轧机振动信号的对比分析， 工况下、多测点处（如图1所示）带钢表面出现和未 可得出如下结论：(1)可以根据振动信号的频域能 出现振纹时的测试信号进行了验证计算，得到了多 量谱图中振动能量分布的变化，判断是否出现了振 工况下，各测点处频段信号的能量比率直方图，如 纹.（②）当轧制出现振纹时，轧机振动频率向两个低 图7和图8所示 频段集中，频带变窄，出现明显优势振动频率：否

第 8 期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 1067 ·· (2) 未出现振纹振动时的特征分析. 原始信号为 带钢表面未出现明显振纹时上工作辊轴承座处的时 域信号波形. 按照上述方法对其进行相同的处理. 各频段信号在时域中的示意图如图 5 所示. 从八个 频段的分解信号中可以看出，未出现明显振纹时的 时域特征. 图 6 为各频段信号能量谱图. 从图中可 以看出，与出现振纹时的信号能量谱明显不同，除 了第 1 和第 2 频段有集中能量外，第 4 频段也有 比较集中的能量，另外第 3 和第 7 频段也有能量成 分，即振动能量出现了分散，各频段能量有均匀化 的趋势. 图 4 出现振纹时各频段信号的能量比率直方图 Fig.4 Energy ratio histogram of different frequency band signals when chatter marks occurred 图 5 未出现振纹时各频段信号的时域图 Fig.5 Time domain curves of different frequency band signals when no chatter mark occurred 为避免上述结论的偶然性，采用上述方法对多 工况下、多测点处 (如图 1 所示) 带钢表面出现和未 出现振纹时的测试信号进行了验证计算，得到了多 工况下，各测点处频段信号的能量比率直方图，如 图 7 和图 8 所示. 由以上两种情况下轧机振动信号的对比分析， 可得出如下结论：(1) 可以根据振动信号的频域能 量谱图中振动能量分布的变化，判断是否出现了振 纹. (2) 当轧制出现振纹时，轧机振动频率向两个低 频段集中，频带变窄，出现明显优势振动频率；否

.1068 北京科技大学学报 第35卷 则，轧机振动频带较宽，能量分布呈均匀化 包分解后各频带信号的分形盒维数，从而实现了对 非平稳信号变化的量化，以便更加有效地提取信号 0.9 0.8 变化特征.即如果将小波分解j次后第i频带信号 x,(n)计算得盒维数记为d,那么d2就可以作 0.5 为量纲一的指标来描述振动信号在不同尺度下和不 盟0.4 0. 同频带内的复杂程度和不规则程度，从而就可以提 0.2 取出发生异常时信号的非平稳特征变化. 3 3.1分形理论及盒维数的计算 频段 分形是对事物的形状、形态、结构与组织的分 图6未出现振纹时各频段信号的能量比率直方图 解、分割与分析.它揭示客观对象在时域中不同标 Fig.6 Energy ratio histogram of different frequency band 尺下具有某种程度的自相似性，是以不规则事物为 signals when no chatter mark occurred 研究对象、探索复杂性的科学，用以描述设备振动 3基于小波分形的振动识别 信号的不规则性和复杂性9-10 分形理论认为事物整体与其组成部分具有自 小波变换虽然能够对轧机出现振动时的信号 相似性，包括严格自相似性和统计自相似性.根据 进行一定的判别，但不难看出它具有一定的“模糊 性”，对人员的实践经验有一定的要求.因此，需要 分形理论，集合F可以由具有紧支集的函数(t) 生成，即 寻找一种更为准确有效的方法，希望仅仅依据某一 变量值的变化就能够识别轧机的振纹振动，实现量 3(t)=r-H3(rt),,H>0. (3) 化判断.这是工业应用中最期望的，也是最关心的 问题. 式中，T是自相似仿射算子，H是与维数有关的参 本节将分形技术引入小波变换，通过计算小波 数 0.9 0.9 0.8 0.8 6 ,5 频段 频段 0.9 0.8 0.8 频段 频段 8 0. 0.2 0.1 2 456 7 8 频段 图7出现振痕时多工况下各频段信号的能量比率直方图 Fig.7 Energy ratio histogram of different frequency band signals when chatter marks occurred at different working conditions

· 1068 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 则，轧机振动频带较宽，能量分布呈均匀化. 图 6 未出现振纹时各频段信号的能量比率直方图 Fig.6 Energy ratio histogram of different frequency band signals when no chatter mark occurred 3 基于小波分形的振动识别 小波变换虽然能够对轧机出现振动时的信号 进行一定的判别，但不难看出它具有一定的 “模糊 性”，对人员的实践经验有一定的要求. 因此，需要 寻找一种更为准确有效的方法，希望仅仅依据某一 变量值的变化就能够识别轧机的振纹振动，实现量 化判断. 这是工业应用中最期望的，也是最关心的 问题. 本节将分形技术引入小波变换，通过计算小波 包分解后各频带信号的分形盒维数，从而实现了对 非平稳信号变化的量化，以便更加有效地提取信号 变化特征. 即如果将小波分解 j 次后第 i 频带信号 x j,i(n) 计算得盒维数记为 d j,i B ，那么 d j,i B 就可以作 为量纲一的指标来描述振动信号在不同尺度下和不 同频带内的复杂程度和不规则程度，从而就可以提 取出发生异常时信号的非平稳特征变化. 3.1 分形理论及盒维数的计算 分形是对事物的形状、形态、结构与组织的分 解、分割与分析. 它揭示客观对象在时域中不同标 尺下具有某种程度的自相似性，是以不规则事物为 研究对象、探索复杂性的科学，用以描述设备振动 信号的不规则性和复杂性[9−10] . 分形理论认为事物整体与其组成部分具有自 相似性，包括严格自相似性和统计自相似性. 根据 分形理论，集合 F 可以由具有紧支集的函数 β(t) 生成[11]，即 β(t) = r −Hβ(rt), r, H > 0. (3) 式中，r 是自相似仿射算子，H 是与维数有关的参 数. 图 7 出现振痕时多工况下各频段信号的能量比率直方图 Fig.7 Energy ratio histogram of different frequency band signals when chatter marks occurred at different working conditions

第8期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 ·1069· 0.9 0.8 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 01 234 8 4 5 6 频段 频段 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.6 0.5 频段 频段 0.9 0.4 0.3 0.1 23456 频段 图8未出现振痕时多工况下各频段信号的能量比率直方图 Fig.8 Energy ratio histogram of different frequency band signals when no chatter mark occurred at different working conditions 设离散信号x(m)CX,X是n维欧氏空间Rn lgk△-1g NkA图中确定线性好的一段为信号无标 上的闭集，m=1,2,·,No.将Rm划分成尽可能细 度区.如果无标度区的起点和终点分别为k1和2， 的网格，若NA是网格宽度为△的离散空间上集 则在此区域内1gk△和IgNKA应该满足线性回归模 合X的网格计数，盒维数定义为 型 dB lim Ig NA (4) lgNk△=-dB lg k△+b,k1≤k≤k2. (7) 1g△ 这样，用最小二乘法可求得信号x(m)的盒维数为 由于离散信号x(m)的最高分辨率为采样间隔 △，所以上式的极限是无法按其定义△一→0求出.实 dB 际计算时一般采用将△网格视为最小网格宽度，然 后逐步放大宽度为k△网格，k为正整数.令NkA _-+1)∑lgk4gN4-∑1 gkAIgN4 是网格宽度为k△的离散空间上集合X的网格计 (2-1+1)∑1g2k△-（∑1gk△）2 数，则由式（⑤）和式(6)可求其值.令 1≤k≤h2 (8) No/k P(k△)= 即盒维数是最小二乘法拟合直线斜率估计值的相反 max{k(H-1)H1,Zk(H-1)2,.Zk(L-1H- 数 min{xkl-1)+1,工k(-1)+2,,Ek-1)+k+1, 3.2基于小波分形的振动识别 为全面反映振动的特征，本节从两个视角对带 l=1,2,…,No/k,k=1,2,…K,K1是必要条件.然后用相关系数检验 同时间段的垂直振动信号，并分别对比对信号未进 法、三折线段拟合法或遗传优化选择算法②，在 行小波分形所求信号盒维数以及采用小波分形技术

第 8 期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 1069 ·· 图 8 未出现振痕时多工况下各频段信号的能量比率直方图 Fig.8 Energy ratio histogram of different frequency band signals when no chatter mark occurred at different working conditions 设离散信号 x(m) ⊂ X，X 是 n 维欧氏空间 Rn 上的闭集，m=1, 2, · · · , N0. 将 Rn 划分成尽可能细 的网格，若 N∆ 是网格宽度为 ∆ 的离散空间上集 合 X 的网格计数，盒维数定义为 dB = lim ∆→0 µ − lg N∆ lg ∆ ¶ . (4) 由于离散信号 x(m) 的最高分辨率为采样间隔 ∆，所以上式的极限是无法按其定义 ∆ →0 求出. 实 际计算时一般采用将 ∆ 网格视为最小网格宽度，然 后逐步放大宽度为 k∆ 网格，k 为正整数. 令 Nk∆ 是网格宽度为 k∆ 的离散空间上集合 X 的网格计 数，则由式 (5) 和式 (6) 可求其值. 令 P(k∆)= N X0/k l=1 ¯ ¯max{xk(l−1)+1, xk(l−1)+2, · · ·, xk(l−1)+k+1}− min{xk(l−1)+1, xk(l−1)+2, · · ·, xk(l−1)+k+1} ¯ ¯ , l = 1, 2, · · · , N0/k, k = 1, 2, · · · K, K 1 是必要条件. 然后用相关系数检验 法、三折线段拟合法或遗传优化选择算法[12]，在 lg k∆ − lg Nk∆ 图中确定线性好的一段为信号无标 度区. 如果无标度区的起点和终点分别为 k1 和 k2， 则在此区域内 lg k∆ 和 lgNk∆ 应该满足线性回归模 型 lg Nk∆ = −dB lg k∆ + b, k1 6 k 6 k2. (7) 这样，用最小二乘法可求得信号 x(m) 的盒维数为 dB = − (k2 − k1 + 1)Plg k∆ lg Nk∆ − Plg k∆ Plg Nk∆ (k2 − k1 + 1)Plg2 k∆ − ( Plg k∆) 2 , k1 6 k 6 k2. (8) 即盒维数是最小二乘法拟合直线斜率估计值的相反 数. 3.2 基于小波分形的振动识别 为全面反映振动的特征，本节从两个视角对带 钢出现振纹与未出现振纹进行对比研究. (1) 针对同一测点在轧制的不同时期测试信号 的整体盒维数与分解盒维数的比较. 带钢表面出现 振纹与未出现振纹时取上工作辊轴承座处在五个不 同时间段的垂直振动信号，并分别对比对信号未进 行小波分形所求信号盒维数以及采用小波分形技术

.1070 北京科技大学学报 第35卷 所求信号盒维数，以期找出两种典型现象之间的差 号的整体盒维数与分解盒维数的比较.取五个不同 别. 测点（如图1所示）就带钢表面出现振纹与未出现 表1为对信号未进行小波分形计算信号盒维数 振纹时在同一时间段的垂直振动信号，并分别对比 列组.从表1中可以看出，虽然未出现振纹时的盒 对信号未进行小波分形所求信号盒维数以及采用小 维数比出现振纹时的盒维数要大些，但是两者比较 波分形技术所求信号盒维数，以期发现两种典型现 接近，差别不明显，因此单凭少数的几组数据很难 象之间的规律 判断轧机的振动状态已经发生实质的改变 分析方法同上述.表3为不对信号进行小波 分形计算信号盒维数列组.从表3中可以看出，未 表1同一测点信号未进行小波分形求得的盒维数 出现振纹时的盒维数与出现振纹时的盒维数差别不 Table 1 Box dimension of the same testing spot signal ob- 大，而且不存在明显的大小关系.因此根据振动信 tained without wavelet fractal 号的整体盒维数无法区分这两种振动状态 数组号（同一测点） 出现振纹 未出现振纹 1 1.7967 1.8188 表3不同测点未进行小波分形求得的盒维数 3 1.8060 1.8195 Table 3 Box dimension of different testing spot obtained 3 1.8329 1.8471 1.8087 1.8203 without wavelet fractal 5 1.8251 1.8354 测点号 出现振纹 未出现振纹 1.8302 1.8198 表2为采用小波分形技术计算信号第四波包盒 2 1.8214 1.8320 维数列组.从表2中则可以看出，未出现振纹时的 1.7948 1.8232 4 1.8425 1.8271 盒维数不仅比出现振纹时的盒维数大，而且要大很 5 1.8260 1.7924 多，两者差别明显，所以据此可以判别轧机的振动 状态发生了本质的变化 表4为采用小波分形技术计算信号第四波包盒 维数列组.从表4中可以看出，未出现振纹时的盒 表2同一测点信号采用小波分形求得的盒维数 维数与出现振纹时的盒维数不仅差别明显，而且前 Table 2 Box dimension of the same testing spot signal ob- 者比后者的计算数值一律都大，所以据此可以判断 tained with wavelet fractal 轧机的振动状态发生了本质的变化，从而有效地识 数组号（同一测点） 出现振纹 未出现振纹 别了振纹振动 1 1.6775 1.7551 2 1.6790 1.7358 表4不同测点采用小波分形求得的盒维数 3 1.7123 1.7543 4 1.6454 1.7797 Table 4 Box dimension of different testing spot obtained 5 1.7048 1.7427 with wavelet fractal 测点号 出现振纹 未出现振纹 为避免上述结论的偶然性，采用上述方法对20 1 1.7320 1.8326 组不同时间段内带钢表面出现和未出现振痕时的测 1.6375 1.7144 试信号进行了验证计算，得到了多工况下分形盒维 3 1.5811 1.6723 4 1.6320 1.6771 数的分布图如图9所示.图中多组分形盒维数均显 5 1.6871 1.7565 示了上述的分布趋势，验证了方法的可行性. 综上所述，分形盒维数能够识别信号的复杂性 1.78 ·出现振痕·未出现振痕 和不规则性，可以为机械设备的非平稳故障诊断提 供一种新的量纲一的指标.通过小波分形盒维数在 1.7 敏感频带的变化，可以有效提取出振动故障特征， 1.66 为轧机振动的识别提供有力的支持 1.4 2 6 8101214161820 组别 4结论 图9多工况下分形盒维数的分布图 针对该轧机振纹振动不容易发觉，带钢振纹要 Fig.9 Box dimension of the same testing spot signal ob- 事后才能发现，且常规分析方法无法识别的特点， tained with wavelet fractal at different conditions 分别运用小波变换和分形技术对轧机振纹振动的识 (2)轧机上不同测点在轧制的同一时期测试信 别方法进行了研究，两种方法的判识结果一致，相

· 1070 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 所求信号盒维数，以期找出两种典型现象之间的差 别. 表 1 为对信号未进行小波分形计算信号盒维数 列组. 从表 1 中可以看出，虽然未出现振纹时的盒 维数比出现振纹时的盒维数要大些，但是两者比较 接近，差别不明显，因此单凭少数的几组数据很难 判断轧机的振动状态已经发生实质的改变. 表 1 同一测点信号未进行小波分形求得的盒维数 Table 1 Box dimension of the same testing spot signal ob￾tained without wavelet fractal 数组号 (同一测点) 出现振纹 未出现振纹 1 1.7967 1.8188 2 1.8060 1.8195 3 1.8329 1.8471 4 1.8087 1.8203 5 1.8251 1.8354 表 2 为采用小波分形技术计算信号第四波包盒 维数列组. 从表 2 中则可以看出，未出现振纹时的 盒维数不仅比出现振纹时的盒维数大，而且要大很 多，两者差别明显，所以据此可以判别轧机的振动 状态发生了本质的变化. 表 2 同一测点信号采用小波分形求得的盒维数 Table 2 Box dimension of the same testing spot signal ob￾tained with wavelet fractal 数组号 (同一测点) 出现振纹 未出现振纹 1 1.6775 1.7551 2 1.6790 1.7358 3 1.7123 1.7543 4 1.6454 1.7797 5 1.7048 1.7427 为避免上述结论的偶然性，采用上述方法对 20 组不同时间段内带钢表面出现和未出现振痕时的测 试信号进行了验证计算，得到了多工况下分形盒维 数的分布图如图 9 所示. 图中多组分形盒维数均显 示了上述的分布趋势，验证了方法的可行性. 图 9 多工况下分形盒维数的分布图 Fig.9 Box dimension of the same testing spot signal ob￾tained with wavelet fractal at different conditions (2) 轧机上不同测点在轧制的同一时期测试信 号的整体盒维数与分解盒维数的比较. 取五个不同 测点 (如图 1 所示) 就带钢表面出现振纹与未出现 振纹时在同一时间段的垂直振动信号，并分别对比 对信号未进行小波分形所求信号盒维数以及采用小 波分形技术所求信号盒维数，以期发现两种典型现 象之间的规律. 分析方法同上述. 表 3 为不对信号进行小波 分形计算信号盒维数列组. 从表 3 中可以看出，未 出现振纹时的盒维数与出现振纹时的盒维数差别不 大，而且不存在明显的大小关系. 因此根据振动信 号的整体盒维数无法区分这两种振动状态. 表 3 不同测点未进行小波分形求得的盒维数 Table 3 Box dimension of different testing spot obtained without wavelet fractal 测点号 出现振纹 未出现振纹 1 1.8302 1.8198 2 1.8214 1.8320 3 1.7948 1.8232 4 1.8425 1.8271 5 1.8260 1.7924 表 4 为采用小波分形技术计算信号第四波包盒 维数列组. 从表 4 中可以看出，未出现振纹时的盒 维数与出现振纹时的盒维数不仅差别明显，而且前 者比后者的计算数值一律都大，所以据此可以判断 轧机的振动状态发生了本质的变化，从而有效地识 别了振纹振动. 表 4 不同测点采用小波分形求得的盒维数 Table 4 Box dimension of different testing spot obtained with wavelet fractal 测点号 出现振纹 未出现振纹 1 1.7320 1.8326 2 1.6375 1.7144 3 1.5811 1.6723 4 1.6320 1.6771 5 1.6871 1.7565 综上所述，分形盒维数能够识别信号的复杂性 和不规则性，可以为机械设备的非平稳故障诊断提 供一种新的量纲一的指标. 通过小波分形盒维数在 敏感频带的变化，可以有效提取出振动故障特征， 为轧机振动的识别提供有力的支持. 4 结论 针对该轧机振纹振动不容易发觉，带钢振纹要 事后才能发现，且常规分析方法无法识别的特点， 分别运用小波变换和分形技术对轧机振纹振动的识 别方法进行了研究，两种方法的判识结果一致，相

第8期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 ·1071· 互验证，说明两种方法都可以用于识别当下轧机的 analysis in earthquake signal de-noise.Min Metall,2003 振纹振动，这为在复杂振动环境下识别振纹振动提 12(1):89 供了有效途径，为建立在线识别诊断系统提供了理 (张根昌，吴并臻，刘跃峰.小波分析技术在地震信号噪声 论保证. 处理中的应用.矿治，2003,12(1少：89) [7]Zhang Q H,Wang T Y,Xu Y S.Application of wavelet analysis in noise signal of compressor.Manuf Inf Eng 参考文献 China,2003,32(2):114 (张庆华，王太勇，徐燕申.小波分析在压缩机噪声信号去 [1]Zhong J,Yan H Z,Duan J A,et al.Industrial experi- 除趋势项处理中的应用.中国制造业信息化，2003,32(2)： ments and findings on chatter marks of steel strip.Chin 114) J Nonferrous Met,2000.10(2):291 [8]Coifman RR,Meyer Y,Quake S,et al.Signal processing (钟掘，严珩志，段吉安，等.带钢表面振纹的工业试验与发 and compression with wavelet packets.Wavelets Their 现.中因有色金属学报，2000,10(2)：291) Appl,1994,442:363 [2]Hou F X,Zhang J,Shi X L,et al.Horizon chatter in a single-roll driving temper rolling mill system.J Univ Sci [9]Jiang J D,Chen J,Qu L S.The application of correlation dimension in gearbox condition monitoring.J Sound Vib, Technol Beijing,2006,28(10):973 1999,223(4):529 (侯福祥，张杰，史小路，等.单辊驱动平整机水平领振.北 京科技大学学报，2006,28(10)：973) [10 Zhang Z H,Hang W Y.Fractal determination and feature [3]Keller N L,Lesonick M S.Vibration analysis of stand F2 extraction from vibration waveforms.J Southeast Univ. of Wheeling-Pittsburgh's 80-in hot strip mill.Iron Steel 1999,29(4:26 Emg,1990,67(5):17 (张朝晖，黄惟一.振动波形的分形判别及特征提取.东南 [4]Hou F X,Zhang J,Shi X L,et al.Measurement of chatter 大学学报，1999,29(4)：26) marks on the backup roll of a cold temper mill.J Univ [11]Luo J,He L M,Chen C.Wavelet fractal technology and Sci Technol Beijing,2007,29(6):613 its application to aeroengine fault diagnoisis.J Projectiles (侯福祥，张杰，史小路，等.冷轧平整机振纹实测研究.北 Rockets Missiles Guid,2006,26(1):862 京科技大学学报，2007,29(6：613) (罗俊，何立明，陈超。小波分形理论及其在航空发动机故 (5]Gao L X,Xing J,Lei X.Gearbox fault diagnosis based 章诊断中的应用.弹箭与制导学报，2006,26(1)：862) wavelet analysis.J Univ Sci Technol Beijing,2003,25(3): [12]Fei B,Jiang Z D,Wang H R.Genetic algorithm for deter- 267 mining scale independent fractals associated with grinding (高立新，邢钧，雷迅.基于小波分析的齿轮箱故障诊断.北 surface.J Xi'an Jiaotong Univ,1998,32(7):72 京科技大学学报，2003,25(3)：267) (费斌，蒋庄德，王海容.基于遗传算法求解分形无标度区 [6]Zhang G C,Wu B Z,Liu Y F.Application of wavelet 的方法.西安交通大学学报，1998,32(7)：72)

第 8 期 米凯夫等：基于小波和小波分形的冷连轧机振动识别方法 1071 ·· 互验证，说明两种方法都可以用于识别当下轧机的 振纹振动，这为在复杂振动环境下识别振纹振动提 供了有效途径，为建立在线识别诊断系统提供了理 论保证. 参 考 文 献 [1] Zhong J, Yan H Z, Duan J A, et al. Industrial experi￾ments and findings on chatter marks of steel strip. Chin J Nonferrous Met, 2000, 10(2): 291 (钟掘, 严珩志, 段吉安, 等. 带钢表面振纹的工业试验与发 现. 中国有色金属学报, 2000, 10(2): 291) [2] Hou F X, Zhang J, Shi X L, et al. Horizon chatter in a single-roll driving temper rolling mill system. J Univ Sci Technol Beijing, 2006, 28(10): 973 (侯福祥, 张杰, 史小路, 等. 单辊驱动平整机水平颤振. 北 京科技大学学报, 2006, 28(10): 973) [3] Keller N L, Lesonick M S. Vibration analysis of stand F2 of Wheeling-Pittsburgh’s 80-in hot strip mill. Iron Steel Eng, 1990, 67(5):17 [4] Hou F X, Zhang J, Shi X L, et al. Measurement of chatter marks on the backup roll of a cold temper mill. J Univ Sci Technol Beijing, 2007, 29(6): 613 (侯福祥, 张杰, 史小路, 等. 冷轧平整机振纹实测研究. 北 京科技大学学报, 2007, 29(6): 613) [5] Gao L X, Xing J, Lei X. Gearbox fault diagnosis based wavelet analysis. J Univ Sci Technol Beijing, 2003, 25(3): 267 (高立新, 邢钧, 雷迅. 基于小波分析的齿轮箱故障诊断. 北 京科技大学学报, 2003, 25(3): 267) [6] Zhang G C, Wu B Z, Liu Y F. Application of wavelet analysis in earthquake signal de-noise. Min Metall, 2003, 12(1): 89 (张根昌, 吴并臻, 刘跃峰. 小波分析技术在地震信号噪声 处理中的应用. 矿冶, 2003, 12(1): 89) [7] Zhang Q H, Wang T Y, Xu Y S. Application of wavelet analysis in noise signal of compressor. Manuf Inf Eng China, 2003, 32(2): 114 (张庆华, 王太勇, 徐燕申. 小波分析在压缩机噪声信号去 除趋势项处理中的应用. 中国制造业信息化, 2003, 32(2): 114) [8] Coifman R R, Meyer Y, Quake S, et al. Signal processing and compression with wavelet packets. Wavelets Their Appl, 1994, 442: 363 [9] Jiang J D, Chen J, Qu L S. The application of correlation dimension in gearbox condition monitoring. J Sound Vib, 1999, 223(4): 529 [10] Zhang Z H, Hang W Y. Fractal determination and feature extraction from vibration waveforms. J Southeast Univ, 1999, 29(4): 26 (张朝晖, 黄惟一. 振动波形的分形判别及特征提取. 东南 大学学报, 1999, 29(4): 26) [11] Luo J, He L M, Chen C. Wavelet fractal technology and its application to aeroengine fault diagnoisis. J Projectiles Rockets Missiles Guid, 2006, 26(1): 862 (罗俊, 何立明, 陈超. 小波分形理论及其在航空发动机故 障诊断中的应用. 弹箭与制导学报, 2006, 26(1): 862) [12] Fei B, Jiang Z D, Wang H R. Genetic algorithm for deter￾mining scale independent fractals associated with grinding surface. J Xi’an Jiaotong Univ, 1998, 32(7): 72 (费斌, 蒋庄德, 王海容. 基于遗传算法求解分形无标度区 的方法. 西安交通大学学报, 1998, 32(7): 72)