《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§9.5 离散时间系统状态方程的建立

心号与素婴 §9,5离教时间系统次态方程的 建立 状态方程的一般形式和建立方法概述 由系统的输入输出差分方程建立状态方程 给定系统的方框图或流图建立状态方程 由研究对象的运动规律直接建立状态方程 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始

新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §9.5 离散时间系统状态方程的 建立 • 状态方程的一般形式和建立方法概述 • 由系统的输入 —输出差分方程建立状态方程 • 给定系统的方框图或流图建立状态方程 • 由研究对象的运动规律直接建立状态方程

状态方程的一般形式和建立方法概述 离散系统的状态方程：一阶差分方程组 入(n,入(n),.2(n)为系统的状态变量： x(nx,(n,xn（n)为系统的m个输入信号： y(n,y,(,.y,(n)为系统的r个输出信号

X 第 2 一．状态方程的一般形式和建立方法概述 页 离散系统的状态方程：一阶差分方程组 为系统的r 个输出信号。 为系统的m 个输入信号； (n) (n) (n)   k , , 1 2 x (n) x (n) x (n) m , , , 1 2  y (n) y (n) y (n)  r , , 1 2 为系统的状态变量；

状态方程： T2(n+1）=f[(n,z(n.(nx(n,x,(n,xn(n,n 2(n+=f[2(n)(n,.(nx(n,x2(n.,xn(n,m a,(n+1）=f[2(n,(n,.,(nhx(n,x,n),xn（n,刀 输出方程： (y (n)=h[2 (()x()x2 (n),x().n] 2n）=h[n(n,.nxnx,(n,xnnn y.(n）=h,[2n,(n,.(nx(n,x(,.,xm(n

X 第 3 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ), ( ), ( ); ( ), ( ), , ( ), ] [ , , ; , , , , ] [ , , ; , , , , ] 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2        = = = y n h n n n x n x n x n n y n h n n n x n x n x n n y n h n n n x n x n x n n r r k m k m k m                 输出方程： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ , , ; , , , , ] 1 [ , , ; , , , , ] 1 [ , , ; , , , , ] 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2        + = + = + = n f n n n x n x n x n n n f n n n x n x n x n n n f n n n x n x n x n n k k k m k m k m                    状态方程：

如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状 态变量和输入信号的线形组合，即 状态方程： [2(n+1=a2,(n)+a2(n)+.+ax(n)+bx(n) +b2x2(n)+.+bmxn(n) 元(n+=a12,(m)+a2(m+.+ax,(m）+b,x(n） +bx,(n）++bmxn(n） 2,(n+1）=a12(n)+a2(n）++au,(n+bx(n +b2x2(n+.+bmxn（n)

X 第 4 页 如果系统是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状 态变量和输入信号的线形组合，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            + + + + = + + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + b x n b x n n a n a n a n b x n b x n b x n n a n a n a n b x n b x n b x n n a n a n a n b x n k km m k k k kk k k m m k k m m k k        2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1             状态方程：

输出方程： y(n)=C(n)+24(n)++cu(n)+dx (n) +d2x2(n)+.+dmxn(n y2(n)=c(n)+c)++cx4(n)+dzx(n) +dnx(n）++dnxn(n） y(n)=C(n)+c2n)++cn)+dxn) +d2x(n+.+drm(n)

X 第 5 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )            + + + = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + d x n d x n y n c n c n c n d x n d x n d x n y n c n c n c n d x n d x n d x n y n c n c n c n d x n r r m m r r r r k k r m m k k m m k k        2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1          输出方程：

表示成矢量方程形式 状态方程 2k(n+1）=Ax2k(n+Bnxm(n） 输出方程 yr (n)=C)+Dmm(n) 可见： ·+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的 函数。 •在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变 量常常选延时单元的输出

X 第 6 页 可见： •n+1时刻的状态变量是n时刻状态变量和输入信号的 函数。 •在离散系统中，动态元件是延时单元，因而状态变 量常常选延时单元的输出。 表示成矢量方程形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1    = + + = +           n n n n n n r r k k r m m k k k k k m m y C λ D x λ A λ B x 输出方程 状态方程

各矩阵说明 m x(n) 「y(ai 2(n)= n x(n)= x2(n) yn= ( : 2(n) x.(2) Ly,() a12 k A三 B= : b D : 46: : C Cr2 Crk d, 合UD

X 第 7 页 ( ) ( ) ( ) ( )             = n n n n k 2 1     λ             = k k kk k k a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 A             = k k km m m b b b b b b b b b       1 2 21 22 2 11 12 1 B 各矩阵说明 ( ) ( ) ( ) ( )             = y n y n y n n r  2 1 ( ) y ( ) ( ) ( )             = x n x n x n n m  2 1 x             = r r r k k k c c c c c c c c c       1 2 21 22 2 11 12 1 C             = r r r m m m d d d d d d d d d       1 2 21 22 2 11 12 1 D

示意结构图 D(n B(n) C(n) rn) A(n) 图中，z是延时单元，它的输入为(n+输出。(n) 若A,B,C,D矩阵是n的函数，表明系统是线性时变的， 若系统是线性时不变的，则4A,B,C,D各元素都为常数 不随n改变

X 第 8 页 若系统是线性时不变的，则A,B,C,D 各元素都为常数， 不随n 改变。 若A,B,C,D 矩阵是n 的函数，表明系统是线性时变的， 图中， z −是延时单元，它的输入为 1 λ (n ，输出 +1) 。 λ (n) 示意结构图   D(n) A(n) B(n) C(n) −1 z e(n) λ (t) r(n)

由系统的输入一 输出差分方程建立状态方 对于离散系统通常用下列阶差分方程描述（输 入一输出方程) m)+an-1)+a-2)++an-(k-1月+an-k) box(n)+bx(n-1)+bzx(n-2)+bg-ixn-(k-1)+bx(n-k) 其系统函数为 H阳）=b:+61++3+b z+a2k-+.+ak-2+a

X 第 9 二．由系统的输入 —输出差分方程建立状态方程 页 对于离散系统通常用下列 阶差分方程描述（输 入—输出方程） k ( ) ( ) ( )  ( ) ( ) b x(n) b x(n ) b x(n ) b xn (k ) b x(n k) y n a y n a y n a y n k a y n k k k k k = + − + − + − − + − + − + − + + − − + − − − 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 1 2  1 ( ) k k k k k k k k z a z a z a b z b z b z b H z + + + + + + + + = − − − − 1 1 1 1 1 0 1   其系统函数为

考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写及 .bk-1 H= 其流图形式

X 第 10 页 ( ) k k k k k k k k k z a z a z a z a z z b z b z b z b b H z + + + + + + + + = − − − − 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0   考虑到离散系统用延时单元来实现，因而上式改写为 其流图形式 x(n) y(n) 0 b 1 b 2 b k −1 b k b 1 −1 z  2  1  k k−1 − a1 2 − a − k−1 a − k−2 a k − a k−2 b 3 −1 z −1 z −1 z