《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§8.3 Z变换的收敛域

心号与事我 §83z变换的收敛域 收敛域的定义 两种判定法 过论几种情况 *米 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始

新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §8.3 z变换的收敛域 收敛域的定义 两种判定法 讨论几种情况

收敛域的定义 对于任意给定的序列x(m),能使X(a)=∑x(n)z 收敛的所有z值之集合为收敛域。 即满足 2x(z<o 的区域ROC) ROC:Region of convergence 不同的x()的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域

X 第 2 一．收敛域的定义 页 收敛的所有z 值之集合为收敛域。   =−  − = n n X(z) x(n)z 即满足  ( ) 的区域（ROC）  =−  −   n n x n z 对于任意给定的序列x(n) ，能使 ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域

二.两种判定法 1.比值判定法 00 若有一个正项级数，∑4.令 lim n+1 则：1：收敛 n=-∞ l一→c0 n p1:可能收敛也可能发散 p>1:发散 2.根值判定法 即令正项级数的一般项4m的n次根的极限等于p, lim P h-→co 则 p1:收敛 p1:可能收敛也可能发散 p>1:发散

X 第 3 二．两种判定法 页 1．比值判定法   n=− n a 1 lim ρ a a n n n = + → 若有一个正项级数， 令 则： 1：发散 =  → n n n a lim 即令正项级数的一般项 n a 的n次根的极限等于， 则 1：发散 2．根值判定法

三.讨论几种情况 1.有限长序列的收敛域 x(n), n≤n≤n2 创题 2.右边序列的收敛 x(m=a”(n 0≤n≤o 3.左边序列的收敛 x(n)=-a"u(-n-1）ns-l 4. 双边序列的收敛 x()=b4-o≤n≤wb>0

X 第 4 三．讨论几种情况 页 1．有限长序列的收敛域 x n n1  n  n2 ( ), 2．右边序列的收敛 3．左边序列的收敛 4．双边序列的收敛 x n = a u(n)  n   n ( ) 0 x(n) = −a u(− n −1) n  −1 n x(n) = b −  n   b  0 n

2.右边序列的收敛 x(n)a"u(n) 侧题 - lim → 当a时收敛 x(a)=- Z-0 ROC a 合风

X 第 5 2．右边序列的收敛 页 x n a u(n) n ( ) = z a z a z a X z a z n n n n n n n −       −  =      = = + →  =  = −   1 1 ( ) lim 1 0 0 当 ，即z a时收敛 z a  1  ( ) z a z z a X z − = − = 1 1 ROC： z  a

3.左边序列的收敛 x(m=-a"(n-1) n≤-1 侧题 x)=∑(a':） 令m=-n xa=） (a:-2(a+=1-2 <l,即z<a时收敛 X( =1- ROC:a 1 a-i

X 第 6 3．左边序列的收敛 页 ( ) z a z a z a a z X z − = − = − − = − 1 1 1 1 x(n) = −a u(− n−1) n  −1 n ( ) − =−  − = − 1 n n n X(z) a z 令m = −n ( ) ( )   = −  = −  = − = − = − + = − 0 0 0 1 0 ( ) 1 m m m m m m m m m X z a z a z a z a z       −                = − −      = − + →  =  a z a z a z m m m m 1 1 lim 1 1 1 0 当 ，即z a时收敛 a z  1  ROC: z  a

4.双边序列的收敛 x(n)=bm-0≤n≤0b>0 创题 或x(a)=b"4n+b”4(n-1） fx(n)=bl"l n20 nD b"u(-n-1 -6y认-n- b>1 fx(n)=bll - -b kb则RC:b< 1

X 第 7 4．双边序列的收敛 页 x(n) = b −  n   b  0 n ( )  ( ) ( ) 1 1 1 1 1 − − − −  − −  = − − − − − − z b z b z b u n b u n n n ( ) z b z b z b u n n  −  n ( ) n x n = b 0  b  1   1 n ( ) n x n = b b  1  1  b b  b   1 若 0 1 b b z 1 则ROC :   ( ) ( ) ( )    0 0 1  −  = + − − n n n n 或 x n b u n b u n

四.总结 大x()的收敛域(ROC)为z平面以原点为中心 的圆环： 大ROC内不包含任何极点（以极点为边界）： 大有限长序列的ROC为整个z平面 （可能除去z=0和z=o); *右边序列的ROC为Z=R的圆外； ★左边序列的ROC为乙=R的圆内； *双边序列的ROC为R1<Z<R,的圆环。 合UD

X 第 8 四．总结 页 ★x(n)的收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心 的圆环； ★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）； ★右边序列的ROC为 z = R1 的圆外； ★左边序列的ROC为 z = R2 的圆内； ★双边序列的ROC为 R1  z  R2 的圆环