心号与素空 §9,4连续时间系统状态方 程的求解 用拉普拉斯变换法求解状态方程 用时域法求解状态方程 米 米 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始
新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §9.4 连续时间系统状态方 程的求解 •用拉普拉斯变换法求解状态方程 •用时域法求解状态方程
。时域方法.借助计算机 ●变换域方法.简单 。由状态方程求系统函数 合UD
X 第 2 页 时域方法.借助计算机 变换域方法.简单 由状态方程求系统函数
用拉普拉斯变换法求解状态方程 20) 方程名：=0)-，起始条件20) 22(0) r()=C2(t)+De(t) 方程两边取拉氏变换 0)】 sA(s)-0)=AM(s)+BE(s) R(s)=CA(s)+DE(5) 整理得 (I-A)M(S)=2(0)+BE(s) A(5)=(5I-A))+(SI-A)BE(s)
X 第 3 一．用拉普拉斯变换法求解状态方程 页 方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + t t t t t t t r Cλ De λ Aλ Be d d ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − 0 0 0 0 2 1 k ，起始条件 λ 方程两边取拉氏变换 ( ) ( ) ( ) ( ) (s) (s) (s) s s s s R CΛ DE Λ λ AΛ BE = + − 0− = + (sI − A)Λ(s) =λ ( )+ BE(s) 0− Λ(s) (sI A) λ ( ) (sI A) BE(s) 1 1 0 − − − = − + − 整理得
将(sL-A)记为(s,称为特征矩阵或预矩阵， 则 A)=s火(0.)+s)BEs) R(s)=Cs)()+[CO(s)B+D]E(s) 因而时域表示式为 2)=L火(0】+L)B]*LEs) r)=CLs0】+{CLs)B]+Dδ)}*LEs 零输入解 零状态解 可见，在计算过程中最关键的一步是求S)
X 第 4 页 将(sI A) 记 为Φ(s)，称为特征矩阵或预解矩阵，则 −1 − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 = + + = + − − s s s s s s s s R CΦ λ CΦ B D E Λ Φ λ Φ BE ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + − − − − − − − − 零输入解 零状态解 t L s L s t L s t L s L s L s r C Φ λ C Φ B D E λ Φ λ Φ B E 1 1 1 1 1 1 0 0 因而时域表示式为 可见，在计算过程中最关键的一步是求 Φ(s)
若系统为零状态的，则RSy)=[C)B+DE(S) 则系统的转移函数矩阵为H(Ss)=C4(S)B+D 「HS)H2(S).Hm（S) HnSH2S).HmS) H= Ha(s)H(s)H(s) H,（S)是第个输出分量对第个输入分量的转移函数。 设s的拉氏反变换为p(d),H(s的拉氏反变换为h(t), 则 2(t)=p次(0)+pt)B*ed 倒题 r0=Cp(0)+0*e 侧题 零输入解 零状态解
X 第 5 R(s) = CΦ(s)B+ DE(s) 页 H(s) =CΦ(s)B+ D 若系统为零状态的，则 则系统的转移函数矩阵为 是第i个输出分量对第j个输入分量的转移函数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = H s H s H s H s H s H s H s H s H s n n n m m m 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 H H (s) ij ( ) ( ) ( ) ( ) 则 设Φ s 的拉氏反变换为 φ t ，H s 的拉氏反变换为 h t ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + − − 零 输 入 解 零 状 态 解 t t t t t t t t r Cφ λ h e λ φ λ φ B e 0 0
二.用时域法求解状态方程 (一)矩阵指数 1.矩阵指数e的定义 式中的k方阵，也是一个 方陈k 2.主要性质 e"e=ee e4r Ae
X 第 6 页 1．矩阵指数 的定义 二．用时域法求解状态方程 (一)矩阵指数 ! 1 ! 1 2 1 e 0 2 2 = = + + + + + = k t k k k k t k t k I At A t A A A ！ At e 式中 A 为 方阵, 也是一个 方阵 k k At k k e A A I A A A A A A A t t t t t t t t e e e d d e e e e 1 = = = = − − − 2.主要性质
(二)用时域方法求解状态方程 1.求状态方程和输出方程 已知0-=0B (1 「z0) 并给定起始状态矢量2(0)= 20） 20) 对式(1)两边左乘e4,移项有 e*20-e*0=e*8 dt 化简， k收=e*Be0
X 第 7 页 (二)用时域方法求解状态方程 1. 求状态方程和输出方程 (t) (t) (t) t λ = Aλ + Be d d 若已知 ( ) ( ) ( ) ( ) = − − − − 0 0 0 0 2 1 k 并给定起始状态矢量 λ 对式(1)两边左乘 e −At ，移项有 (t) (t) (t) t t t t λ Aλ Be −A −A −A − e = e d d e (1) 化简，得 e ( ) e ( ) d d t t t t t λ Be −A −A =
两边取积分，并考虑起始条件，有 e-M2()-1(0)=eBe(z)dz 对上式两边左乘e,并考虑到ee"=I,可得 1()=e"2()+eBe(=)dz=e2()+e"Bxe() 为方程的一般解 求输出方程r) r()=C2()+De(t) =Ce"2(O)+e-Be(r)dr+Delt) =Ce2(0+[CeB+D6(】*ed) 零输入解 零状态解
X 第 8 页 两边取积分，并考虑起始条件，有 ( ) ( ) − − − − − = t t t 0 e 0 e ( )d λ λ Be A A 对上式两边左乘 e A ，并考虑到 t e At e −At = I ，可得 ( ) ( ) ( ) e 0 e ( )d e (0 ) e ( ) 0 t t t t t t t λ λ Be λ B e A A A A = + = + − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e (0 ) [ e ( )] ( ) e 0 e d 0 零 输 入 解 零 状 态 解 t t t t t t t t t t t C λ C B Dδ e C λ Be D e r Cλ D e A A A A = + + = + + = + − − − 为方程的一般解 求输出方程r(t)
2.如何求e? 凯莱-哈密顿定理(Cayley-Hamiton theorem) 对于kx庙阵A有如下特性： A'=bI+bA+b242+.+b-A,(jzk) (2) 也即，对于之k,可利用A-以下幂次的各项之和表 示A!,式中伪各项系数。 依此原理，将e无穷项之和的表示式中高于次的各 项全部化为A-1幂次的各项之和，经整理后即可将 e 化为有限项之和 e=CoI+CA+CA (3
X 第 9 页 依此原理，将 无穷项之和的表示式中高于 次的各 项全部化为 幂次的各项之和，经整理后即可将 化为有限项之和 对于 k 方阵 k A有如下特性： 2.如何求e At ？ 凯莱-哈密顿定理（Cayley-Hamiton theorem）： b b b b (j k) k k j = + + + + − − , 1 1 2 A 0 I 1 A 2 A A 也即，对于 ，可利用 以下幂次的各项之和表 示 ，式中 为各项系数。 j k j A b k−1 A At e k k−1 A At e 1 1 2 0 1 2 e − = + + + + − k k t c I c A c A c A A (2) (3)
式中各系数c都是时间t的函数，为书写简便省略了 变量。 按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后 方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数 c,最后解出。e 具体计算步骤： ●求矩阵A的特征值； ·将各特征值分别代入式(3)，求系数c
X 第 10 页 式中各系数 c 都是时间t 的函数，为书写简便省略了 变量t。 按照凯莱-哈密顿定理，将矩阵A的特征值代入式(2)后， 方程仍满足平衡，利用这一关系可求得式(3)中的系数 c ，最后解出 。 At e 具体计算步骤： 求矩阵A的特征值； 将各特征值分别代入式（3），求系数c