心号与素空 §9.6离教时间系统次态方程的 求解 米 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始
新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §9.6 离散时间系统状态方程的 求解
概述 离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似， 包括时域和变换域两种方法。 矢量差分方程的时域求解 4的计算 离散系统状态方程的变换解
X 第 2 页 离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法类似， 包括时域和变换域两种方法。 矢量差分方程的时域求解 An的计算 离散系统状态方程的z变换解 概述
矢量差分方程的时域求解 离散系统的状态方程表示为 2(n+1)=A2(n)+Bx(n (1) 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 设给定系统的起始状态为：在n=h,则按式(1)有 2(+1)=A2()+Bx(n) 以下用迭代法，求(，+2，(，+3，n时刻的值： 2(+1)=A2(,)+Bx,) 2(,+2)=4A(,+1+Bx(+1) =A22()+ABx(n,)+Bx(,+1)
X 第 3 一．矢量差分方程的时域求解 页 λ (n+1) = Aλ (n)+ Bx(n) 离散系统的状态方程表示为 ( ) ( ) ( ) n0 1 A n0 Bx n0 λ + = λ + 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 设给定系统的起始状态为：在 n = ， n0 则按式 λ (n0 ) (1)有 以下用迭代法，求 (n0 + 2),(n0 + 3), ,n 时刻的值： ( ) ( ) ( ) n0 1 A n0 Bx n0 λ + = λ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 1 0 0 0 0 0 0 = + + + + = + + + n n n n n n A λ ABx Bx λ Aλ Bx 2 （1）
2(+3)=A2(+2)+Bx(+2) Aa (ng)+AiBx(no)+ABx(no +1)+Bx(no+2) 对于任意n值，当n>,可归结为 2(n)=A2(n-1)+Bxn-1) =A”2)+ABx)+-2Bx(a+） +.+Bx(n-1) (2 =A以a)2ABx0 上式中，当n=时第二项不存在，此时的结果只由第一 项决定，即本身)只有当 时式记)才可给出完 整的 之结果.(n) 合UD
X 第 4 页 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) 3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 = + + + + + + = + + + n n n n n n n A λ A Bx ABx Bx λ Aλ Bx 3 2 对于任意n 值，当 n n0 可归结为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = − − − − − − − − = + + + − = + + + = − + − 1 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 n i n n n n i n n n n n n n i n n n n n n n A λ A B x B x A λ A B x A B x λ Aλ B x 上式中，当 时第二项不存在，此时的结果只由第一 项决定，即 本身，只有当 时，式(2)才可给出完 整的 之结果。 n = n0 ( ) n0 λ n n0 λ (n) (2)
如果起始时刻选，一饼将上述对值的限制以阶跃信号 的形式写入表达式，于是有 a(n=A2(0)am)+ n-1） 零输入解 零状态解 还可解得输出为 y(n)=Ca (n)+Dx(n -Cao@+c4ra间t-l+Drnh 零输入解 零状态解
X 第 5 页 如果起始时刻选 ，并将上述对 值的限制以阶跃信号 的形式写入表达式，于是有 0 n0 = n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = + − = − − 零状 态解 零输 入解 0 1 1 0 1 n u n i u n n i n i λ A λ A Bx n y(n) =Cλ (n)+ Dx(n) 还可解得输出为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 零状态解 零输入解 u n i u n n u n n i CA λ CA Bx D x n n 1 i − + = + − = − − 0 1 1 0
由两部分组成： ·一是起始状态经转移后在时刻得到的响应分量； 另一是对-1时刻以前的输入量的响应。它们分别 称为零输入解和零状态解。 其中A称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中 的e4含义类似，也用符号p表示，写作pn) P(n)=A" 它决定了系统的自由运动情况。 合U
X 第 6 页 由两部分组成： •一是起始状态经转移后在 n 时刻得到的响应分量； •另一是对 (n−1) 时刻以前的输入量的响应。它们分别 称为零输入解和零状态解。 其中 称为离散系统的状态转移矩阵，它与连续系统中 的 含义类似，也用符号 表示，写作 n A At e (n) ( ) n n = A 它决定了系统的自由运动情况
y(n)=Ca (n)+Dx(n) )C))+Dx) =( 零输入解 零状态解 可以看出，零状态解中，若令x()=d(则系统的单位样值 响应为 h(n)=CA"-'Bu(n-1)+D6(n) 可见，零状态解正是(n)与x(n)的卷积和，也可写作 h(n)*x(n)
X 第 7 页 可以看出，零状态解中，若令 ，则系统的单位样值 响应为 x(n) =δ (n) h(n) CA Bu(n ) Dδ (n) n 1 = − + − 1 可见，零状态解正是 h(n) 与 x(n) 的卷积和，也可写作 h(n) x(n) y(n) =Cλ (n)+ Dx(n) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 零状态解 零输入解 u n i u n n u n n i CA λ CA Bx D x n n 1 i − + = + − = − − 0 1 1 0
二.A"的计算 关键：计算状态转移矩阵p)即 。A 利用凯莱一哈密顿定理， A”=CI+CA+C2A2+.+cn-1A"-1 (3) 设C必，(i=1,为4的个独立的特征单根，用下列联立方程组 求系数 C0,C1,.3Ck-1 a=c+c+c22+.+cn1aW &2'=co+ciaz+c2+.+cja2 an Co+cian +c2++Cn-iam 将c,C,分别代入（3)，即可
X 第 8 页 关键：计算状态转移矩阵 ，即 。 二． A n 的计算 (n) n A 1 1 2 0 1 2 − = + + + + − n n n A c I c A c A c A 利用凯莱一哈密顿定理， (3) 设 为A的n个独立的特征单根，用下列联立方程组 求系数 ( 1,2 ) 1 i = n 0 1 1 , , , k− c c c = + + + + = + + + + = + + + + − − − − − − 1 1 2 0 1 2 1 1 2 2 2 0 1 2 2 2 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 n n n n n j n n n j n n j c c c c c c c c c c c c 0 1 1 , , , k− 将 c c 分别代入 c （3），即可
若A的特征根为重根的情况，例如x为A的m阶重 则对重根部分计算为 ”=C+C1+C2C+.+Cn-1Cy na"-c +2c2a+.+(n-1n-1a- a=a =n(n-1)a"-2=2c2+3x2c, 刨题 +.+(n-1n-2)n-1a （m+1 m-1 -m
X 第 9 页 若 的特征根为重根的情况，例如 为A 的m 阶重根， 则对重根部分计算为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) − − = + + − − = − = + = = + + + − = + + + + − − = − − − − − = − − − = − − 1 1 1 1 3 1 1 2 3 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 1 ! ! d d 1 2 1 2 3 2 d d 2 1 d d 1 1 1 n m m m n n n n n n n n n n n n m n n n c n n c c n c c n c c c c c A 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n m m m m k c n m n c m m c m c − − + − − − + + + = − + + 1 1 2 1 1 1 1 ! 1 ! 2! 1 ! 1 ! !
三. 离散系统状态方程的z变换解 和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的： 变换方 法也使状态方程的求解显得容易一些。 由离散系统的状态方程和输出方程 2(n+1=A(n+Bx(n) y(n)=Ca (n)+Dx(n) 两边取乙变换 EA(E)-10=AME)+BXE Y=CAE)+DX(E 整理，得到 (E)=(I-A)0+(I-A)BX(E) YE=C(EI-A)+C(I-A)BX(E)+DX(E
X 第 10 三．离散系统状态方程的 变换解 页 和连续系统的拉氏变换方法类似，离散系统的 变换方 法也使状态方程的求解显得容易一些。 z 由离散系统的状态方程和输出方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + n n n n n n y Cλ Dx λ 1 Aλ Bx z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = + z z z z z z z z Y CΛ DX Λ λ 0 AΛ BX 两边取 z 变换 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + = − + − − − − − z z z z z z z z z z z Y C I A λ C I A BX D X Λ I A λ I A BX 1 1 1 1 0 0 整理,得到