飞号与素空 §8.4逆z变换 部分分式展开法 ·幂级数展开法 ·围线积分法一留数法 ￥ 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始
新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §8.4 逆z变换 •部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
部分分式展开法 z变换式的一般形式 X(a)= N(3)-b+bz+b22+.+b,-12-+b,z D( +a12+422+.+0k-12-+z 拉氏变换的基本形式：e“) s+a z变换的基本形式 名公 a"u(n) k>a z- 1-a”-n-1) 3R,包括=∞ 为了保证z=∞处收敛，其分子多项的阶次不能大 于分母多项式的阶次即必须满足歌≥r
X 第 2 一．部分分式展开法 页 − − − − a u n z a a u n z a z a z z n n ( 1) ( ) 变换的基本形式 1．z变换式的一般形式 因果序列→右边序列→收敛域 z R,包括z = 于分母多项式的阶次即必须满足 。 为了保证 处收敛，其分子多项式的阶次不能大 , k r z = k k k k r r r r a a z a z a z a z b b z b z b z b z D z N z X z + + + + + + + + + + = = − − − − 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s α u t t + − 1 e 拉氏变换的基本形式：
2.求逆z变换的步骤 ·提出一个z 。x®为真分式 ·再部分分式展开 Z ·查反变换表
X 第 3 2．求逆z变换的步骤 页 ( ) 为真分式 z x z • • 提出一个z ( ) z z x z • • 查反变换表 • 再部分分式展开
3.极点决定部分分式形式 X2的极点也可分为一阶极点和高阶极点 对一阶极点Xa)=4,+∑43 m-乙m X@=4+A。=+4 AN -Z Z-ZN bo A0= 极点z=0的系数 A。=e-) 极点=乙m的系数 7Z1 所以X)=4+4+4 AN 刨题 乙-313-32 4-ZN x(m)=A6()+A(z)”+A,(3)”+.+Av(zw)”,n≥0
X 第 4 3．极点决定部分分式形式 页 = − = + N m m m z z A z X z A 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 x n = A0 n + A1 z1 + A2 z2 + + A z n n N N n n 对一阶极点 N N N m m m z z A z z A z z A z A z z A z A z X z − + + − + − = + − = + = 2 2 1 0 1 1 0 ( ) 极点 0的系数 0 0 0 = z = a b A 极 点 m 的系数 z z m m z z z X z A z z m = − = = ( ) ( ) N N z z A z z z A z z z A z X z A − + + − + − = + 2 2 1 1 0 所 以 ( ) X(z)的极点也可分为一阶极点和高阶极点
高阶极点（重根〉 X)=】 设 ”3 ?=;为s阶极点。 则 [-r 创题
X 第 5 高阶极点（重根） 页 = − = s j j i j z z B z X z 1 ( ) 设 ( ) z = zi 为s阶极点。 i z z s s j i s j j z X z z z s j z B = − − − − = ( ) ( ) d d ( )! 1 则
二.幂级数展开法 1.幂级数展开法 变换式一般是的有理函数，可表示为： X(z)= N(z)_b+b2+b222+.+b,-2-+b,z1 D() a+a12+2z2+.+4k-z-1+u4z 直接用长除法进行逆变换 xa)=Σxk” (是一个z的幂级数) =.x(-2)z2+x(-1)z+x(0)z°+x()z1+x(2)z2+. 级数的系数就是序列x(n)
X 第 6 二．幂级数展开法 页 = x(−2)z 2 + x(−1)z 1 + x(0)z 0 + x(1)z −1 + x(2)z −2 + k k k k r r r r a a z a z a z a z b b z b z b z b z D z N z X z + + + + + + + + + + = = − − − − 1 1 2 0 1 2 1 1 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) z变换式一般是z的有理函数，可表示为： 直接用长除法进行逆变换 ( ) ( ) =− − = n n X z x n z 级数的系数就是序列 x(n) （是一个z 的幂级数） 1．幂级数展开法
2.右边序列的逆z变换 将X(②)以z的降幂排列 X(a)=∑x(m”=x0z°+x0z'+x(2)z-2+. n=0 创题 3.左边序列的逆z变换 将X(z以z的升幂排列 Xa)=2x0k”=x-I2+x-2z2+x(-33+. 倒题
X 第 7 页 2．右边序列的逆z变换 将X(z)以z的降幂排列 = − = + − + − + = 0 1 2 0 X(z) x(n)z x(0)z x(1)z x(2)z n n 3．左边序列的逆z变换 = − = − + − + − + − =− 1 2 3 1 X(z) x(n)z x( 1)z x( 2)z x( 3)z n n 将X(z)以z的升幂排列
三.围线积分法求z反变换 1.逆变换的围线积分表示 已知z变换 x=立a” ) 得z逆变换公式 所以 =faa:® 用留数定理求围线积分
X 第 8 三．围线积分法求z反变换 页 1．z逆变换的围线积分表示 ( ) ( ) (1) 0 = − = n n X z x n z 已知z变换 得 z 逆变换公式 ( ) ( ) d (3) 2π j 1 1 − = c n 所 以 x n X z z z 用留数定理求围线积分
推导 在X(的收敛域内，选择一条包 jIm() 围坐标原点的逆时针方向的围线 C,> 鲍余部极点都在积分路 →Re(z) 线的内部。 xa)=∑x(k” (①式两边同乘以，并进行围线积分 2a-2aa: n=0 积分与求和互换 -n+m- (2)
X 第 9 推导 页 ( ) = − c m X z z d z 2πj 1 1 (1)式两边同乘以z m−1 ，并进行围线积分 在 的收敛域内，选择一条包 围坐标原点的逆时针方向的围线 C， 的全部极点都在积分路 线的内部。 X(z) ( ) n−1 X z z ( ) ( ) (1) 0 = − = n n X z x n z ( ) = − − c n n m x n z z d z 2π j 1 0 1 积分与求和互换 ( ) d (2) 2πj 1 1 0 − + − = = c n m n x n z z Re(z) jIm(z) 0 C
推导 (d)dz 令积分路径上的z=Re 右-202emRe”a0 )do 只有当=m积分不为零，n=m时积分为2π
X 第 10 推导 页 θ z j 令积分路径上的 = Re ( ) = − − − − − = 0 π π 1 j( 1) j e jR e d 2π j 1 n m n m n θ θ 右 x n R θ ( ) = − − − = 0 π π j( ) e d 2π 1 n m n m n θ x n R θ 只有当n = m积分不为零，n = m时积分为2π。 ( ) d 2πj 1 1 0 − + − = c n m n ( ) x n z z = − c m X z z d z 2πj 1 1