《高等代数》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程代码：18100234 课程名称：高等代数 英文名称：Advanced Algebra 课程类别：专业课 学时：64 学 分：4 适用对象：经济统计专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何 二、课程简介 中文简介：《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务 是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向 量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。 它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分 析)提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和 现代生物工程技术己成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。通过对 《高等代数》的教学，能培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和 迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本 理论)及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。 英文简介："Advanced algebra"is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning.its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial,determinant,system of linear equations.matrix theory. vector space and Euclidean space,linear transformation and unitary space,quadratic form. group.ring and introduction of domain knowledge of the system.On one hand it provides some basic theory and knowledge for subsequent courses (e.g.,modern algebra,number theory
1 《高等代数》课程教学大纲 一、 课程基本信息 课程代码：18100234 课程名称：高等代数 英文名称：Advanced Algebra 课程类别：专业课 学 时： 64 学 分： 4 适用对象: 经济统计专业 考核方式：考试 先修课程：空间解析几何 二、 课程简介 中文简介：《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务 是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向 量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。 它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分 析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和 现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。通过对 《高等代数》的教学，能培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和 迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本 理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。 英文简介："Advanced algebra" is an important basic course with specialized mathematics of the institutions of higher learning, its main task is to make students obtain the mathematical basic thought and theory of polynomial, determinant, system of linear equations, matrix theory, vector space and Euclidean space, linear transformation and unitary space, quadratic form, group, ring and introduction of domain knowledge of the system. On one hand it provides some basic theory and knowledge for subsequent courses (e.g., modern algebra, number theory
discrete mathematics,computing methods,differential equations,functional analysis). Especially in this century.computer technology.communications technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas,the development of these disciplines are need algebra.By teaching of this course.It enables students to master the professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra,and have more in-depth knowledge of elementary algebra content,and can handle teaching material of middle school mathematics commanding,training students'independent thinking,scientific abstract thought,correct logic inference ability and operation ability,quickly and accurately to develop students'intelligence.strengthen3 basic"(basic knowledge.basic theory,basic theory).and to cultivate students creative ability.set up has an important role in the dialectical materialist point of view 三、课程性质与教学目的 (一)课程性质： 《高等代数》是统计与数学学院应用数学、大数据、统计学等各专业的专业必修 课。《高等代数》的教学能使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识，提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力：使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解：使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题，培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力：为学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等)提供必要的基础理论和知识：是学生在智能开发、创新能 力培养等方面获得重要训练的平台。 (二)教学目的： 1.专业教学目的：《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最 重要的基础课程之一，是报考数学各专业研究生的必考课程之一，也是理论性、应用 性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的是培养学生的代数基础理论和思想素
2 discrete mathematics, computing methods, differential equations, functional analysis). Especially in this century, computer technology, communications technology and modern biological engineering technology has become the most popular subject areas, the development of these disciplines are need algebra. By teaching of this course, It enables students to master the professional knowledge necessary for basic theory and basic method of algebra, and have more in-depth knowledge of elementary algebra content, and can handle teaching material of middle school mathematics commanding, training students' independent thinking, scientific abstract thought, correct logic inference ability and operation ability, quickly and accurately to develop students' intelligence, strengthen "3 basic" (basic knowledge, basic theory, basic theory), and to cultivate students' creative ability, set up has an important role in the dialectical materialist point of view. 三、 课程性质与教学目的 （一） 课程性质： 《高等代数》是统计与数学学院应用数学、大数据、统计学等各专业的专业必修 课。《高等代数》的教学能使学生对高等代数乃至代数学的思想和方法有较深刻的认 识, 提高他们的抽象思维、逻辑推理和运算的能力；使学生初步地掌握基本的、系 统的代数知识和抽象的、严格的代数方法，进而加深对中学代数的理解；使学生能应 用代数思想和方法去理解与处理有关的问题, 培养与提高代数的理论分析问题与解 决问题的能力；为学生学习数学学科后续课程（如近世代数、离散数学、计算方法、 偏微分方程、泛函分析等）提供必要的基础理论和知识；是学生在智能开发、创新能 力培养等方面获得重要训练的平台。 （二） 教学目的： 1.专业教学目的：《高等代数》是数学与应用数学、信息与计算科学本科专业最 重要的基础课程之一,是报考数学各专业研究生的必考课程之一，也是理论性、应用 性很强的一门数学基础课。讲授本课程的目的是培养学生的代数基础理论和思想素
质，基本掌握代数中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧，提高 分析问题、解决问题的能力，为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 2.思政教学目的：《高等代数》的课堂也是思政融入课堂教学的主战场。《高等 代数》课程中包含丰富的代数理论，通过对理论部分的教学，我们可以培养学生探索 真理的科学精神，分析和研究的思辨能力：大量的推理和计算的练习，可以培养学生 的缜密的思维和坚韧的耐力和耐心的品格：《高等代数》课程中的中国数学家的贡献 可以培养学生的民族自豪感和文化自信：《高等代数》中大量的案例应用教学能培养 学生理论联系实践，学以致用，激发学生为祖国建设而学的学习热情和浓厚的学习兴 趣。 四、教学内容及要求 第二章行列式 (一)目的与内容 1.主要内容：级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩 阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克拉默(rame)法则、拉普拉斯 (Laplace)定理。 2.本章思政融入点：通过对行列式理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对行列式计算的教学和训 练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。通过对克拉默法则在函数拟合方面的案例 应用教学，培养学生理论联系实际，学以致用的能力，激发为祖国建设而学习的热情 和学习的兴趣 (二)教学内容 第一节
3 质，基本掌握代数中的论证方法, 获得较熟练的演算技能和初步应用的技巧, 提高 分析问题、解决问题的能力,为进一步学习其它数学知识打下坚实的基础。 2.思政教学目的：《高等代数》的课堂也是思政融入课堂教学的主战场。《高等 代数》课程中包含丰富的代数理论，通过对理论部分的教学，我们可以培养学生探索 真理的科学精神，分析和研究的思辨能力；大量的推理和计算的练习，可以培养学生 的缜密的思维和坚韧的耐力和耐心的品格；《高等代数》课程中的中国数学家的贡献 可以培养学生的民族自豪感和文化自信；《高等代数》中大量的案例应用教学能培养 学生理论联系实践，学以致用，激发学生为祖国建设而学的学习热情和浓厚的学习兴 趣。 四、 教学内容及要求 第二章 行列式 （一） 目的与内容 1. 主要内容：n 级行列式的定义、行列式的基本性质、矩阵、矩阵的行列式、矩 阵的初等变换、行列式按一行（列）展开的公式、克拉默(Cramer)法则、拉普拉斯 (Laplace)定理。 2. 本章思政融入点：通过对行列式理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对行列式计算的教学和训 练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。通过对克拉默法则在函数拟合方面的案例 应用教学，培养学生理论联系实际，学以致用的能力，激发为祖国建设而学习的热情 和学习的兴趣。 （二） 教学内容 第一节
1.主要内容：排列与逆序数。 2.基本概念与知识点：n级排列、逆序、逆序数。 3.问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇 偶性与对换的关系。 第二节 1.主要内容：n阶行列式的定义 2.基本概念与知识点：n阶行列式的定义 3.问题与应用：深刻理解和掌握级行列式的定义，能用定义计算一些特殊行列式。 第三节 1.主要内容：行列式的性质 2.基本概念与知识点：性质1性质6 3.问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。 第四节 1.主要内容：行列式的计算 2.基本概念与知识点：行列式的计算 3.问题与应用：正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行 列式性质计算一些简单行列式。 第五节 1.主要内容：行列式按行展开 2.基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式 3.问题与应用：正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一 行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计 算行列式的技巧
4 1. 主要内容： 排列与逆序数。 2. 基本概念与知识点：n 级排列、逆序、逆序数。 3. 问题与应用：理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇 偶性与对换的关系。 第二节 1. 主要内容： n 阶行列式的定义 2. 基本概念与知识点：n 阶行列式的定义 3. 问题与应用：深刻理解和掌握 n 级行列式的定义, 能用定义计算一些特殊行列式。 第三节 1. 主要内容： 行列式的性质 2. 基本概念与知识点：性质 1-性质 6 3. 问题与应用：熟练掌握行列式的基本性质。 第四节 1. 主要内容：行列式的计算 2. 基本概念与知识点：行列式的计算 3. 问题与应用： 正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行 列式性质计算一些简单行列式。 第五节 1. 主要内容：行列式按行展开 2. 基本概念与知识点：余子式、代数余子式、按行展开公式 3. 问题与应用： 正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一 行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计 算行列式的技巧
第六节 1.主要内容：克莱姆法则 2.基本概念与知识点：克莱姆法则、齐次线性方程组有非零解的充要条件 3.问题与应用：熟练掌握克莱姆(Cramer))法则。 4.思政融入点：案例教学：物理学家通过观测得到0C、10C、20C、30C时水银 的密度值，求水银密度和温度的关系式，并预测15C和40C时水银的密度。运 用克拉默法则结合Matlab求解这个问题，培养学生勇于探索新知识，刻苦钻研的 科学精神， 第三章线性方程组 (一)目的与内容 1,目的与内容：线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、维向量、线 性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量 组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、 齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性 方程组有解时的全部解。 2.本章思政融入点：通过对线性方程组理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学 素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对消元法、计算基础解 系等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：消元法 2.基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法 3.问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程 5
5 第六节 1. 主要内容： 克莱姆法则 2. 基本概念与知识点：克莱姆法则、齐次线性方程组有非零解的充要条件 3. 问题与应用： 熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。 4. 思政融入点：案例教学：物理学家通过观测得到 0 。 C、10。 C、20。 C、30。 C 时水银 的密度值，求水银密度和温度的关系式，并预测 15。 C 和 40。 C 时水银的密度。运 用克拉默法则结合 Matlab 求解这个问题，培养学生勇于探索新知识，刻苦钻研的 科学精神， 第三章 线性方程组 （一） 目的与内容 1. 目的与内容: 线性方程组的初等变换、求线性方程组的一般解、n 维向量、线 性组合、线性相关、线性无关、两个向量组等价、极大无关组、向量组的秩、求向量 组的一个极大无关组、矩阵的秩、线性方程组的有解判别定理、线性方程组的公式解、 齐次线性方程组的基础解系、基础解系的求法、线性方程组的结构定理、求一般线性 方程组有解时的全部解。 2. 本章思政融入点：通过对线性方程组理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学 素养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对消元法、计算基础解 系等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容：消元法 2. 基本概念与知识点：增广矩阵、高斯消元法 3. 问题与应用：正确理解和掌握一般线性方程组, 方程组的解, 增广矩阵，线性方程
组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程 组的一般解。 4.思政融入点：通过本节学习，学生能体验到民族自信心和自豪感；树立学以致用， 服务祖国的远大志向；关注细心和耐心和精益求精的品格培养：培养缜密的思 维和严谨的科学素养；接受健康饮食理念和营养均衡的观念：培养勇于探索新知 识，刻苦钻研的科学精神。 第二节 1.主要内容： 2.基本概念与知识点： 3.问题与应用：理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的 运算。深刻理解n维向量空间的概念。 第三节 1.主要内容：n维向量组的线性相关性 2.基本概念与知识点：线性组合、线性相关、线性无关、极大无关组、秩 3.问题与应用：正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌 握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的 定义，会求解向量组的一个极大无关组。 第四节 1.主要内容：矩阵的秩 2.基本概念与知识点：行秩、列秩、子式 3.问题与应用：深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其 子式的关系。 第五节 1.主要内容：线性方程组有解判别定理 6
6 组的初等变换等概念及性质。掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求解线性方程 组的一般解。 4. 思政融入点：通过本节学习，学生能体验到民族自信心和自豪感; 树立学以致用， 服务祖国的远大志向; 关注细心和耐心和精益求精的品格培养； 培养缜密的思 维和严谨的科学素养；接受健康饮食理念和营养均衡的观念；培养勇于探索新知 识，刻苦钻研的科学精神。 第二节 1. 主要内容： 2. 基本概念与知识点： 3. 问题与应用：理解和掌握 n 维向量及两个 n 维向量相等的定义。熟练掌握向量的 运算。深刻理解 n 维向量空间的概念。 第三节 1. 主要内容： n 维向量组的线性相关性 2. 基本概念与知识点：线性组合、线性相关、线性无关、极大无关组、秩 3. 问题与应用：正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌 握两个向量组等价的定义及等价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的 定义，会求解向量组的一个极大无关组。 第四节 1. 主要内容： 矩阵的秩 2. 基本概念与知识点：行秩、列秩、子式 3. 问题与应用：深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩、秩的定义。掌握矩阵的秩与其 子式的关系。 第五节 1. 主要内容： 线性方程组有解判别定理
2.基本概念与知识点：线性方程组有解判别定理 3.问题与应用：熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公 式解。 第六节 1.主要内容：线性方程组解的结构 2.基本概念与知识点：基础解系，解空间 3.问题与应用：正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系，解空间的维数与概 念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有 解时的全部解。 第四章矩阵 (一)目的与内容 1.矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、 可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块 矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。 2。本章思政融入点：通过对矩阵理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养 以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对计算矩阵的幂、矩阵的逆矩 阵、计算矩阵方程等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：矩阵概念的一些背景 2.基本概念与知识点：矩阵 3.问题与应用：了解矩阵概念产生的背景。 第二节 1.主要内容：矩阵的运算
7 2. 基本概念与知识点：线性方程组有解判别定理 3. 问题与应用：熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公 式解。 第六节 1. 主要内容： 线性方程组解的结构 2. 基本概念与知识点：基础解系，解空间 3. 问题与应用： 正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系, 解空间的维数与概 念。熟练掌握基础解系的求法、线性方程组的结构定理。会求一般线性方程组有 解时的全部解。 第四章 矩阵 （一） 目的与内容 1. 矩阵的运算、矩阵乘积的行列式定理、矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系、 可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵、n 阶方阵可逆的充要条件、用公式法求逆矩阵、分块 矩阵的意义及运算、初等矩阵、用初等变换的方法求逆矩阵、分块矩阵的逆。 2. 本章思政融入点：通过对矩阵理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素养， 以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对计算矩阵的幂、矩阵的逆矩 阵、计算矩阵方程等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益求精的品格。 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容： 矩阵概念的一些背景 2. 基本概念与知识点：矩阵 3. 问题与应用：了解矩阵概念产生的背景。 第二节 1. 主要内容： 矩阵的运算
2.基本概念与知识点：矩阵的加法、数乘、乘法、转置、矩阵的幂、矩阵的多项式 3。问题与应用：掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。 第三节 1.主要内容：矩阵乘积的行列式与秩 2.基本概念与知识点：矩阵乘积的行列式 3.问题与应用：掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 第四节 1.主要内容：矩阵的逆 2.基本概念与知识点：逆矩阵、伴随矩阵 3.问题与应用：正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 第五节 1.主要内容：矩阵的分块 2.基本概念与知识点：分块矩阵 3.问题与应用：理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 第六节 1.主要内容：初等矩阵 2.基本概念与知识点：初等矩阵 3.问题与应用：正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系， 熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件：会用初等变换的方法求 一个方阵的逆矩阵。 第七节
8 2. 基本概念与知识点：矩阵的加法、数乘、乘法、转置、矩阵的幂、矩阵的多项式 3. 问题与应用： 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算规律及其计算。 第三节 1. 主要内容： 矩阵乘积的行列式与秩 2. 基本概念与知识点：矩阵乘积的行列式 3. 问题与应用：掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 第四节 1. 主要内容： 矩阵的逆 2. 基本概念与知识点：逆矩阵、伴随矩阵 3. 问题与应用：正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个 n 阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 第五节 1. 主要内容：矩阵的分块 2. 基本概念与知识点：分块矩阵 3. 问题与应用：理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 第六节 1. 主要内容：初等矩阵 2. 基本概念与知识点：初等矩阵 3. 问题与应用：正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系， 熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求 一个方阵的逆矩阵。 第七节
1.主要内容：分块矩阵的初等变换及应用举例 2.基本概念与知识点： 3.问题与应用：理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的 逆。 (三)教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、雨课堂、Matlab等辅助教学、团队合作、分组讨论、 课堂讨论。 第五章二次型 (一)目的与内容 1.非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合 同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正 定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。 2.本章思政融入点：通过对二次型理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对辗转相除法、综合除法、 重因式算法、计算有理根的算法等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益 求精的品格。 (二)教学内容 第一节 1.主要内容：二次型的矩阵表示 2.基本概念与知识点：二次型、非退化线性替换、二次型的矩阵、矩阵的合同 3.问题与应用：正确理解二次型和非退化线性替换的概念：掌握二次型的矩阵表示 及二次型与对称矩阵的一一对应关系：掌握矩阵的合同概念及性质。 第二节
9 1. 主要内容： 分块矩阵的初等变换及应用举例 2. 基本概念与知识点： 3. 问题与应用：理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的 逆。 （三） 教学方法与手段 课堂讲授、多媒体教学、雨课堂、Matlab 等辅助教学、团队合作、分组讨论、 课堂讨论。 第五章 二次型 （一） 目的与内容 1. 非退化线性替换、二次型的矩阵、二次型与其矩阵的一一对应关系、矩阵的合 同、化二次型为标准形、复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理、正 定二次型的判别条件、半正定二次型的等价条件。 2. 本章思政融入点：通过对二次型理论的教学培养缜密的思维和严谨的科学素 养，以及培养勇于探索新知识，刻苦钻研的科学精神。通过对辗转相除法、综合除法、 重因式算法、计算有理根的算法等推理计算的教学和训练培养学生细心和耐心和精益 求精的品格。 （二） 教学内容 第一节 1. 主要内容： 二次型的矩阵表示 2. 基本概念与知识点：二次型、非退化线性替换、二次型的矩阵、矩阵的合同 3. 问题与应用：正确理解二次型和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示 及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。 第二节
1.主要内容：标准型 2.基本概念与知识点：二次型的标准型 3.问题与应用：理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方 法、初等变换法)。 第三节 1.主要内容：唯一性 2.基本概念与知识点：二次系的规范型 3.问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定 理。 第四节 1.主要内容：正定二次型 2.基本概念与知识点：正定二次型、正定矩阵 3.问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念： 熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。 4.思政融入点：案例教学一一在经济学中，常见问题有利润最大化，成本最小化等， 最大化、最小化问题统称为最优化问题。通过最优化案例教学，培养学生理论联 系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。 第六章线性空间 (一)目的与内容 1.线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、维线性空间的概念及性质、 基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义 及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性 质及两个有限维空间同构的充要条件。 10
10 1. 主要内容： 标准型 2. 基本概念与知识点：二次型的标准型 3. 问题与应用：理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方 法、初等变换法）。 第三节 1. 主要内容：唯一性 2. 基本概念与知识点：二次系的规范型 3. 问题与应用：正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定 理。 第四节 1. 主要内容： 正定二次型 2. 基本概念与知识点：正定二次型、正定矩阵 3. 问题与应用：正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念； 熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。 4. 思政融入点：案例教学——在经济学中，常见问题有利润最大化，成本最小化等， 最大化、最小化问题统称为最优化问题. 通过最优化案例教学，培养学生理论联 系实际的精神，帮助学生树立学以致用，服务祖国的远大志向。 第六章 线性空间 （一） 目的与内容 1. 线性空间、判断一个代数系统是否是线性空间、n 维线性空间的概念及性质、 基变换与坐标变换的关系、线性子空间的定义及判别定理、向量组生成子空间的定义 及等价条件、子空间的交与和、维数公式、子空间的直和、线性空间同构的定义、性 质及两个有限维空间同构的充要条件