第八章量子力学基础 81在一维势箱问题求解中，假定在箱内P()=C≠0(C为常数)，是否对其解 产生影响？怎样影响？ 解：当'()=C≠0时，一维势箱粒子的Schrodinger方程为 _Rdy(包+Cw()=y(冈 2m dx2 rdv(巴-(E-C)w(x) -2m dx hdv()=E'v(x) 2m dx 边界条件不变，因此Schrodinger方程的解为 即P()=C≠0不影响波函数，能级整体改变C E=E'+C=n'h'/8ma2+C 8.2一质量为m,在一维势箱0<x<a中运动的粒子，其量子态为 -日osoa(悟 (1)（1)该量子态是否为能量算符的本征态？ (2)（2)对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为 何？ （3)（3)处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ 解：对波函数的分析可知 w(x)=0.5y,(x)+0.866y,(x) iw国i,)Cy,因 h2 32h2
第八章 量子力学基础 8.1 在一维势箱问题求解中，假定在箱内 V x C ( ) = 0 （C 为常数），是否对其解 产生影响？怎样影响？ 解：当 V x C ( ) = 0 时，一维势箱粒子的 Schrödinger 方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d 2 d d d ' 2 d 2 d x C x E x m x x x E C x E x m x m x − + = − = − − = 边界条件不变，因此 Schrödinger 方程的解为 ( ) 2 2 ' 2 1 2 8 2 π sin n n n E ma n x x a a = = 即 V x C ( ) = 0 不影响波函数，能级整体改变 C: 2 2 2 E E C n ma C = + = + ' 8 8.2 一质量为 m，在一维势箱 0 x a 中运动的粒子，其量子态为 ( ) 1 2 2 π 3π x x x 0.5sin 0.866sin a a a = + （1） （1） 该量子态是否为能量算符 H ˆ 的本征态？ （2） （2） 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为 何？ （3） （3） 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ 解：对波函数的分析可知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 2 1 1 3 3 2 2 0.5 0.866 3 H , H ˆ ˆ 8 8 x x x h h x x x x ma ma = + = =
(1)(1)由于 日w(x)=0.5A4,(x)+0.866A4(x) -器asrw器和g=r回 因此，()不是能量算符白的本征态。 (2)(2)由于（是能量本征态“，(）和%()的线性组合，而且是归 一化的，因此能量测量的可能值为 2 9h2 E=8mC,5=8mm其出现的概率分别为 0.52=025.0.8662=0.75 (3)（3)能量测量的平均值为 (E）=0256+0756,=(025+0.75×9)8m-8m 7h2 8.31g重的小球在1cm长的盒内，试计算当它的能量等于在300K下的kT时 其量子数，这一结果说明了什么？k和T分别为波尔兹曼常数和热力学温 度。 解：一维势箱粒子的能级公式为 h n=y8x10x300x13807x10 6.6261x10- -×10-2=8.688×109 量子化效应不明显 8.4在质量为m的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的 球对称势场”()=号广中振动，式中户=”+少广+只.该模型称为三维各向 同性谐振子模型，请给出其能级的表达式
（1） （1） 由于 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 2 2 2 1 3 H 0.5H 0.866H ˆ ˆ ˆ 0.5 3 0.5 0.866 8 8 x x x h h x x E x ma ma = + = + 因此， ( x) 不是能量算符 H ˆ 的本征态。 （2） （2） 由于 ( x) 是能量本征态 1 ( x) 和 3 ( x) 的线性组合，而且是归 一化的，因此能量测量的可能值为 2 2 1 3 2 2 9 , 8 8 h h E E ma ma = = 其出现的概率分别为 2 2 0.5 0.25, 0.866 0.75 = = （3） （3） 能量测量的平均值为 ( ) 2 2 1 3 2 2 7 0.25 0.75 0.25 0.75 9 8 8 h h E E E ma ma = + = + = 8.3 1 g 重的小球在 1 cm 长的盒内，试计算当它的能量等于在 300 K 下的 kT 时 其量子数 n。这一结果说明了什么？k 和 T 分别为波尔兹曼常数和热力学温 度。 解：一维势箱粒子的能级公式为 2 2 2 3 23 2 19 34 8 8 8 8 10 300 1.3807 10 10 8.688 10 6.6261 10 n h mE mkT E n a a ma h h n − − − − = = = = = 量子化效应不明显。 8.4 在质量为 m 的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的 球对称势场 ( ) 1 2 V x fr 2 = 中振动，式中 2 2 2 2 r x y z = + + 。该模型称为三维各向 同性谐振子模型，请给出其能级的表达式
解：该振子的Hamiltonian算符为 a侣景e =i,+i,+i 即日为三个独立谐振子H算符A,A,A之和根据量子力学 基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和： e-+m,++》加，+加 式中 =北云为提我损，所以 e=气+++n 兰州交通大学物理化学教研组
解：该振子的 Hamiltonian 算符为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Hˆ 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 H H H ˆ ˆ ˆ x y z f x y z m x y z fx fy fz m x m y m z = − + + + + + = − + + − + + − + = + + 即 H ˆ 为三个独立谐振子 Hamiltonian 算符 H , H , H ˆ ˆ ˆ x y z 之和，根据量子力学 基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和： 1 1 1 2 2 2 x x y y z z v h v h v h = + + + + + 式中 1 2π x y z f m = = = = 为经典基频，所以 3 2 x y z v v v h = + + + 兰州交通大学 物理化学教研组
