0I:10.13374/i.i88m1001-03x.1957.00.000 71- 單位圓内解析有界函数邊界值的特性 王鸿昇 (软學教研组) 关小A,),H6三类测数的边界价特性，在非〔2]（「刀，Ⅱ，几.8}，均L谈过，本 交的目的是供助户「.山.TyMa]KMH的骗交〔1]，引出与B类两数边界价有关的另一定 理。（单位域内的有界解析数类，葡你B类前数》。 ,定理：微(e”)是周z=1的点转E上的可调南装。(z)松书类南数。圳 (ei0)在E上几乎处处f(z)的角边界航f(ei)同的尤分必要条作，是有 这样的多式在医，滞足 I.{p(z)}在间1z1内均匀收狱于付界炳数f(2). I.{p(e0}E上度最取纸1(ei0). Ⅲ.{pa(ei}在E上度最取锨F(ei). 证明其必要性：散有数的序列{r:}.0·r1(imrm=1o我們考虑潮数序列 白k00 {F.(z)=f(rz)}。川为|z≤1时，函数F(2)是解析的，所以由格格(pyHre） 定理可得到多项代p(z),背iz|≤1附.【F(z)-p(z)|<m,其中0派且 当n→o时，tn→0。因为Fn(ei)=i(r.ei),F(rei)=f(rarei0),0≤r≤1， 2元 2* 所以 fin'E(rei)Io=fin+if(rrei)!e 0 0 亚且 F.(ei)几乎处处牧敏f(ei0). lA.牙.XHHi与A.OCTPCBCKHR定理，知条件1成立W为F(ei)儿乎处处 收纸于f(ei),所以{(ei0)}亦几乎处处牧欧F(ei),山此推{p(ei)】在E 上度收敛妒f代ei0),因而{(ei)1}E上亦度最散敛户f(e)1。F是孙到 定理的条什。又因为山假定f(e)与(ei0)E上几乎处处刷，衡以{，(a)}在 E上亦度量收狱下(ei)。是孙到定理的条你■。 都明共充分州：由希件丁，知 {()}在|z1·:「内是均匀竹界的。 (1) 所以山1C.分，XaEHHCOH龙理(2：「刀，‖，.142氵，对任何可求开数(0)行 元 i((i)u(d (2) 0 0
一 单 位 圆 内 解 析 有 界 函 数 遥 界 值 的 特 性 应 王 鸿 异 数 学 教 研 组 关 一 于 ， ” ， 。 三 类 函 数的 边界 仇打 性 ， 右者 红 〕 月 ” ， 门 飞 中 ， 均 已 淡过 ， 本 文 的 目的 是借 二 以 丁 工。 川沟渝文 「〕 ， 引 出 与 类函 数边 界权〔仃 一 关 的 另一 定 理 。 罩位 回域 内的 有界解析雨 数 类 ， 筋称 类函 数 洛 。 定理 没 以 动 少是 回周 一 的点 集 一 的可 川函 数 。 属 工 类函 数 。 以 在 上 几乎 处处 和 、 的 角形 边 界 位 丈 相 动均充 分 。 必 要条 件 ， 是 有 这 样 的 多项式 存 在 ， 角落足 、 广 ， 亡 卜 内均 匀工文软 一 二 子了界 润数 交 ，、 乙 几 土 变气七仪放 又 。 在 」度 曦收放 于 以 ， 扯明其必要性 段 仃数的 序 列 。 · 丫 。 ‘ 刀甜 一 · 我倒 考 虑函 数序 列 。 一 ，， 。 大 为 场 三 时 ， 你 数 、、 是解 析的 ， 所 以 山将格 定理可 布异到 多项式 、 吃 ， 当 三 于 ， 。 一 ，、 “ 、 ， 共 中 。 ，、 ， 交 且 当 。 时 ， ，、 。 因 为 ，、 一 ‘ ， ‘ 一 ， ， 三 三 ， 所 以 孔 忱 二 ‘ 口川 ‘“ 一 ‘ · 。 一‘ 口 〔 ‘“ · 业且 故 由 几乎 处处 汝放于 只 。 。 、 与 ‘ 。 定理 ， 头一条件 成立 。 川为 ，， 一 乎处 处 、 放 于 ， 所 以 ，，。 亦 几乎 处处收 绷 护 ， 山 此推 工‘ ，〕 ， 二度 、鱿收放 。 ， 压 而 ，、 枪 一 」二 亦 变 、 。收刻 一 、 。 是污 ， 到 定理 的 条 件 月 。 又 因 为 山 定 一 与、 在 一 上 几乎 处处亨 、 同 ， 乡、以 ，，，、 了 土 亦度星 次放 二 以 勺 。 刁 气是积 到 定理 的 条件 班 。 就 明 其 充分性 由 条 件 ， 知 六 二 内是均 匀有界的 。 、 刀 以 山 另 翩 定 洲 飞 、 翅 月 ， 少 ， 对任和 可 水 泊 两 数 叹 有 兄下 俄 ， 里砚 ‘一 ‘ 自 。 ‘ ， · “ 一 · ‘口 〔。 “ ‘“ DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1957．00．009
一72一 现什我例可以假定f(e“)E上几乎处处牛0，风为若反的話，出唯一性定理， 得到f(z)=0。因而我們的定理是明显的。山此，我們对广任一铅定的：，可找到集 E CE,mE:>mE-, 使 f(ei0)>a, 当eE1, (3) 其中1是>0的数。 股 o()=〔f(ei0]-1 当0eE1, (0)=0 当0：CE1. 由(2)知 lim fp(ei)(f(ei)-d0-mE, (4) n+0E1 由(1，(3)和I,知{m(e0)t(ei")」'，}E1上均匀有界，並且在E,上 度量收敏于1。 于是由(4)知{n.(ei)〔(ei0)}作E,上亦度量牧敏于1，因而得到 {p(ei0)}作E,上度最收歙于f(ei)。但e是任意的，所以{n.(ei)}在E上亦度 址敗锨于t(ei)。 再由条件Ⅲ，看出，在E上几乎处处f(ei“)与(ei“)相同。因此定理的証明完 毕。 参考文献 1.11.TyMapKHH:ycnoBHA CXOAHMOCTH rpaHHuHUX 3HayCHn nocnenoBaTenb- HOCTH aHanHTHeCKHx yHKIIMA,Hcnonb3y ouime CXOAHMOCTb MoAync.AH,98,o.5 (1954). 2.H.H.几BanoB:「PaHHHHbIC CBONCTB&aHanHTHYE CKHX中yHK.1950(有中 文馨本)
一 一 现 在我们 可以 假 定 卜户 上 几乎 处 处 传 。 得到 二 。 习而 我 ‘，的定尹巨是 明显 的 。 由此 ， ， ， ， ， 一 。 ， 使 」 少 ， ， 当 。 。 其 中 又 是 的 数 。 ， 囚 为若 相 反 的 活 ， 山唯 一性定理 ， 我 们 对 于任一拾定的 “ ， 可 找 到集 吕 没 。 一 〔 〕 一 ， 。 二 当 口 ， 当 “ 由 知 幻 、、 · ’ 口，〔‘ · ‘口 〕 一 ‘ “一 飞 由 ， 。 不一亚 ， 知 ， 〔 〕 一 ， 为 上均 匀有界 ， 业 且在 上 度量收放于 。 于 是 由 夕头。 ， 〔 〕 一 ， 在 、 上 亦 度 量 收 敏 于 ， 因 而 得 、 在 上度量收 放 于 吞 。 但 。 是任 意 的 ， 所以 在 上亦度 量收放于 。 再 由 条件 ， 看 出 ， 在 上 几乎 处处 《 勺与 《 勺相 同 。 习此 定理 的靓明 完 毕 。 参 考 文 献 以 月 。 日 兄 只 丁 曰 弓 认 月 ， ， 即 叹 “ 中 ‘“ 认， 几 阅 川“ 只“ 叭 及 几 认 八 ， ， 刀沙 文 洋本 只 ” ” 。 、 。 ， 认 。 丁。 、 。 “ 。 中 。 、 、。 盛 有 中