高等数学(1)别末模教依习 一、单项选择题 005x.x≤0 f(x)= 1.设函数 10. x>0,则( A草 B.f0)-f2a) c.f(0)=f(-2x) 原 2.下列函数中，()是偶函数 A.f(x)=x'sinx B. fx)=x3+1 C.f(x)=a'-a D. f(x)=x'snx 3.下列极限存在的有《)· 2 1 A-1 B02-1 c m sin x lm e D.3 4.下列变量中，是无穷小量的为() h-(x+0*) A.x Bh(x→) -1 x-2 Ce"(x→0) a2-4→2 (x)=cos 1infx+A)-f倒- 5.若 4,则如 Ar A.0B.2 4 6.满是方程气)=0的点是函数y=的(. A.极大值点 B.极小值点 C.驻点 D.间断点 7.若正项级数啊收效。C为常数，则领数()收效
1 高等数学（1）期末模拟练习 一、单项选择题 1．设函数 = 0, 0 cos , 0 ( ) x x x f x ，则（ ）． A． ) 4 ( f − = ) 4 ( f B． f (0) = f (2 ) C． f (0) = f (−2 ) D． ) 4 ( f = 2 2 2．下列函数中，（）是偶函数． A． f (x) x sin x 3 = B． ( ) 1 3 f x = x + C． x x f x a a − ( ) = − D． f (x) x sin x 2 = 3．下列极限存在的有（ ）. A. 1 lim 2 2 → x − x x B. 2 1 1 lim →0 − x x C. x x lim sin → D. x x 1 0 lim e → 4．下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. ( 0 ) 1 ln → + x x B. ln x(x →1) C. e ( 0) 1 → − x x D. ( 2) 4 2 2 → − − x x x 5．若 4 ( ) cos f x = ，则 = + − → x f x x f x x ( ) ( ) 0 lim （ ）． A．0 B． 2 2 C． 4 sin − D． 4 sin 6．满足方程 f (x) = 0 的点是函数 y = f (x) 的（ ）． A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 7．若正项级数 n=1 n a 收敛， c 为常数，则级数（ ）收敛．
8.设5是领数 0 的部分和，若条件()成立，则面收敛」 A.S,有界 B.S,单调减少 c..=o .血=0 二，填空恩 1,若函数y"()的定义域是0，山，则ye)的定义域是 2.设/)=x+1,则f/x)+0: 樱限如1+ 红=e,则k= e'+1x≤0 f(x)- 4.当k 时， x2+kx>0在x=0处违续. 5.曲线y=X-在点《1,0)处的切线是 6.己知4.则y、 7.函数儿)=x-血x的单调增加区何是 8.设/八x)的一个原函数是“，则/八x)= .若Jx灿=F+c.则小ee灿 10.曲线在任意一点处的切线斜率为2x,且曲线过点(2，)，则自线方程为 11.广文积分 12.y+ey=0是 阶微分方程， 13.微分方程广=的通解中应含有鞋立常数个数为
2 A． n=1 an B． n=1 n ca C． = + 1 2 ( ) n n a c D． = + 1 ( ) n n a c 8．设 { } Sn 是级数 n=1 n a 的部分和，若条件（ ）成立，则 n=1 n a 收敛． A． n S 有界 B． n S 单调减少 C． lim = 0 → n n a D． lim = 0 → n n S 二、填空题 1．若函数 y = f (x) 的定义域是(0，1]，则 (e ) x y = f 的定义域是 ． 2．设 f (x) = x +1 ，则 f ( f (x) +1) = ． 3．极限 x x kx − → + ) 1 lim (1 = e，则 k = ． 4．当 k 时， + + = 0 e 1 0 ( ) 2 x k x x f x x 在 x = 0 处连续． 5．曲线 y = x − x 3 在点（1，0）处的切线是 ． 6．已知 4 4 1 y = x ，则 y = ． 7．函数 f (x) = x − ln x 的单调增加区间是 ． 8．设 f (x) 的一个原函数是 e −2x ，则 f (x) = ． 9．若 f x x = F x + c ( )d ( ) ，则 f x x x e (e )d − − = 10．曲线在任意一点处的切线斜率为 2x ，且曲线过点 (2, 5) ，则曲线方程为 ． 11．广义积分 − 0 2 e dx x = ． 12． ( ) e 0 3 2 + = − y y x 是 阶微分方程． 13．微分方程 2 y = x 的通解中应含有独立常数个数为 ．
三，计算题 1.计算下列极限 Im 、9+sn3x-3 (1) 2.求下列导数或微分： 《1)设y=n2x+2 ·求 (2)设y=V+e'sx,求 (3)设 =c0sG+h、1 2x-1,求 3.设函数y=)由方程e少-s功x=e确定，求0)。 4.由方程1+)+e”=e确定)悬x的隐函数，求) 5,求下列极限： lim- cosx-1 (1)0e'+e-2 (2) 6.计算下列不定积分 +1d (3) 】+1 7.计算下列定积分 (1)c (2) 分 8.求幕级数台5”T的收敛半径。 9.求微分方程矿+y=加满足)=0的特解。 10.求微分方程y-4-2江+1的通解
3 三、计算题 1．计算下列极限 （1） x x x 9 sin 3 3 lim 0 + − → （2） x x x x ) 1 2 lim ( − + → 2．求下列导数或微分： （1）设 x y x sin = tan2 + 2 ，求 ) 2 ( y ． （2）设 y x x x = + e sin ，求 dy ． （3）设 2 1 1 cos ln − = + x y x ，求 y ． 3．设函数 y = y(x) 由方程 e sin e 3 − = + x x y 确定，求 y (0) 。 4．由方程 2 ln(1+ ) + e = e xy y x 确定 y 是 x 的隐函数，求 y (x) ． 5．求下列极限： （1） e e 2 cos 1 lim 0 + − − → x −x x x （2） ) e 1 1 1 lim ( 0 − − → x x x 6．计算下列不定积分 （1） + x x x d 4 2 3 （2） arcsin xdx （3） + + x x x d 1 ( ) 1 3 7．计算下列定积分 （1） 1 0 x cos xdx （2） e + 1 d 1 ln x x x 8．求幂级数 =1 2 2 n 5 n n n x 的收敛半径． 9．求微分方程 xy + y = sin x 满足 y( ) = 0 的特解． 10．求微分方程 y − 4 = 2x +1 的通解．
四、应用题 1,在由线X上求一点，使过该点的切线被坐标轴所藏的长度最短。 2.求幽线y=2-不和直线y■2x+2所围成的平面圈形的面积。 3。欲做一个底为正方形，容积为1⑧立方米的长方体开口容器。怎样酸法所用材料最 省 五、证明题 1.试证：当x>0时，x>国1+x) 2.当x>1时，证明不等式c> 参考解容 一、单项选择题 1,解因为-2x<0.截/（-2x)=c0以-2x)=1 且f0)-1,所以fo)-f-2) 正确答案：C 2.解根据偶函数的定义以及“奇函数×备函数是偶函数“的性质，可以验证选项A 中不矿和5血x都是奇硒数，故它们的乘积八)=了面X是偶函数。 正确答案：A 1 1- 3.解因为x-1= x 所以选项A是正确的。正确答案：A 4.解因为当x→1时，hx→0，故hx(x→1)是无穷小量. 所以选项B正确。正确答案，B f(x)=cos 5.解因为 4是常数函数，常数数是可导的，而且它的导数是0
4 四、应用题 1．在曲线 x y 1 = 上求一点，使过该点的切线被坐标轴所截的长度最短． 2．求曲线 2 y = 2 − x 和直线 y = 2x + 2 所围成的平面图形的面积． 3．欲做一个底为正方形，容积为 108 立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最 省？ 五、证明题 1．试证：当 x 0 时， x ln(1+ x)． 2．当 x 1 时，证明不等式 e xe x 参考解答 一、单项选择题 1．解 因为 − 2 0 ，故 f (−2 ) = cos(−2 ) = 1 且 f (0) = 1， 所以 f (0) = f (−2 ) 正确答案：C 2．解 根据偶函数的定义以及“奇函数×奇函数是偶函数“的性质，可以验证选项 A 中 3 x 和 sin x 都是奇函数，故它们的乘积 f (x) x sin x 3 = 是偶函数． 正确答案：A 3．解 因为 1 lim 2 2 → x − x x = 2 1 1 1 lim x x − → =1 所以选项 A 是正确的。正确答案：A 4．解 因为当 x →1 时， ln x →0 ，故 ln x （ x →1 ）是无穷小量。 所以选项 B 正确。正确答案：B 5．解 因为 4 ( ) cos f x = 是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导数是 0．
所以由导数定义可得 fx+Ax)-f田- Ar f"0).0 正确答案，A f(x)=cos 注意：这里的 不是余法函数。 6.解由驻点定义可知。正确答案：C ca. 7,解因为可= 也收敛。 正确答案：B 8.解由线数收敛的定义可知，当部分和5，}的极限存在，则对应级数收效。 正确答案：D 二、填空题 1.解因为y=)的定义城是0，】，且由0<c≤1，得-0<x≤0. 正确答案：一力<x≤0 2.解由于八)=x+1,得ffx)+)=/x)+1)+1-fx)+2 将)-x+1代入，得ff)+0.(红+)+2-x+3 正确答案：x+3 3.解因为=e。由©，得k= 正确答案：一1 4,解因为，函数在x=0处左连续，且/0)=©°+1=2。 若函数右连线，则满是0)一r+)-太-@ 所以，当k=2时，(x)在x=0处选线. 正确答案：2
5 所以由导数定义可得 = + − → x f x x f x x ( ) ( ) 0 lim f (0) = 0 正确答案：A 注意：这里的 4 ( ) cos f x = 不是余弦函数． 6．解 由驻点定义可知，正确答案：C 7．解 因为 n=1 n ca = ( ) 1 n= an c ，由 n=1 n a 收敛，得 n=1 n ca 也收敛。 正确答案：B 8．解 由级数收敛的定义可知，当部分和 { } Sn 的极限存在，则对应级数收敛。 正确答案：D 二、填空题 1．解 因为 y = f (x) 的定义域是(0，1]，且由 0 e 1 x ，得− x 0。 正确答案： − x 0 2．解 由于 f (x) = x +1 ，得 f ( f (x) +1) = ( f (x) +1) +1＝ f (x) + 2 将 f (x) = x +1 代入，得 f ( f (x) +1) = (x +1) + 2 = x + 3 正确答案： x + 3 3．解 因为 x x kx − → + ) 1 lim (1 = k 1 e − ，由 k 1 e − = e，得 k = -1 正确答案：-1 4．解 因为，函数在 x = 0 处左连续，且 (0) e 1 2 0 f = + = 。 若函数右连续，则满足 (0 ) lim ( ) (0) 2 0 f x k k f x = + = = → + + 所以，当 k = 2 时， f (x) 在 x = 0 处连续。 正确答案：2
6 y0)=(x3-x1=(33-1川=2 5.解因为 是曲线在点(1,0)处的切线斜率，故切线方程是 y-0=2(x-10,思y=2x-2 正确答案：y■2x-2 6.解直接利用导数的公式计算： y=分y=.y-(y-3x 正确答案：3x2 7.解因为 )=x-hxr=1-」 f)-1-1>0 x,得x>1 放函数的单调增加区间是L,+∞)， 正确答离：(L,+) 8.解因为()的一个单函数是e,故 fx)=（erY--2ea 所以正确答案：-2e产 9. 解因为Jefe也.-/e=-Fe")+e 正确答案：-F(e)+c 10.解因为-∫2-不+C,将点2，代入曲线方程，得c-1. 正确答案：y=x2+1 11.解因为 所以正确容案： 2
6 5．解 因为 1 3 (1) ( ) = = − x y x x (3 1) 2 1 2 = − = x= x 是曲线在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 y − 0 = 2(x −1) ，即 y = 2x − 2 正确答案： y = 2x − 2 6．解 直接利用导数的公式计算： 4 3 ) 4 1 y = ( x = x , 3 2 y = (x ) = 3x 正确答案： 2 3x 7．解 因为 x f x x x 1 ( ) = ( − ln ) = 1− 令 0 1 ( ) = 1− x f x ，得 x 1 故函数的单调增加区间是 (1,+) ． 正确答案： (1,+) 8．解 因为 f (x) 的一个原函数是 e −2x ，故 f (x) = （ e −2x ) ＝ − − 2 2 e x 所以正确答案： − − 2 2 e x 9． 解 因为 f x x x e (e )d − − = − = −x −x f (e )de F c x − + − (e ) 正确答案： F c x − + − (e ) 10．解 因为 y = x x = x + c 2 2 d ，将点 (2, 5) 代入曲线方程，得 c = 1。 正确答案： 1 2 y = x + 11．解 因为 − 0 2 e dx x 0 2x e 2 1 lim a a→− = (1 e ) 2 1 lim 2a a = − →− = 2 1 所以正确答案： 2 1
12.解因为微分方程（少了+产广-0中所含未知扇数的导数的最高阶数是2次， 所以它是2阶微分方程. 正确答案：2 13。解因为广=了是2阶微分方程。所以在它的通解中应含有独立常数2个 正确答案：2 三、计算题 1.(1)解对分子进行有理化。即分子、分母同乘V9+知3红+3，然后利用第一重 要极限和四则运算法则进行计算，即 9+sm 3x -3 lm m (√9+sn3x-3(V9+sn3x+3) (√9+sn3w+3) mm3延xm 11 3× =0x 9+5m3+3.36=五 《2)解先对分子、分母同除x,化成第二重要极限的形式，再利用四则运算和第二 重要极限求之 1+2 1+ lm- - m0+3 m+一)下 e-Tes -x 2,(1)解由导数四则运算法则和复合函数求导法则 ”=2 -+cosx-2m In 2 cos?2x 由此得 .25m2=2 =+008 c0s2 2
7 12．解 因为微分方程 ( ) e 0 3 2 + = − y y x 中所含未知函数的导数的最高阶数是 2 次， 所以它是 2 阶微分方程． 正确答案：2 13．解 因为 2 y = x 是 2 阶微分方程，所以在它的通解中应含有独立常数 2 个。 正确答案：2 三、计算题 1．（1）解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘 9 + sin 3x + 3 ，然后利用第一重 要极限和四则运算法则进行计算．即 x x x 9 sin 3 3 lim 0 + − → = ( 9 sin 3 3) ( 9 sin 3 3)( 9 sin 3 3) lim 0 + + + − + + → x x x x x = 9 sin 3 3 1 lim sin 3 lim 0 0 + + → x → x x x x = 2 1 6 1 3 = （2）解 先对分子、分母同除 x，化成第二重要极限的形式，再利用四则运算和第二 重要极限求之。 x x x x x x x x x x x x x ) 1 (1 ) 2 (1 lim 1 1 2 1 ) lim 1 2 lim ( − + = − + = − + → → → 3 1 2 1 2 2 e e e ) ] 1 lim[(1 ) ] 2 lim[(1 = = − + + = − − − → → x x x x x x 2．（1）解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则 cos 2 ln 2 cos 2 2 sin 2 x x x y = + 由此得 2 ln 2 2 2 cos cos 2 ) 2 ( 2 sin 2 = + = y
y=(xte'snxy I+te'snx+e'cosx (2)解因为 2vxte'snx 2vx+e'snx 少y=y'= 1+e"(cosx+sin x)dr 所以 2x+e'sin x) (3)解y=(cos乐-n2x-1y m5品动n+品 3.解当x■0时，由方程e了-s血x=心得y=1。方程两边对x求导得： e"(1+3yy)-cosx=0 整理得 yylemcox 所似o3e-刀] 4,解在方程等号两边对求导，得 y1+x+,y+e0+g)=0 1+x l+x)+xely=-_y. I+x e =- y+(1+x少e 故 (+x1+x)+e”] li-cosx-1 lim-sin x 5.(1)解 exx2中xe-x_平0e+e-云一一， e'-1-x e'-1 mc,e台 -)m e I m .e+2e.2 6。(1》解用第一换元积分法求之 血
8 （2）解 因为 x x x x y x x 2 e sin ( e sin ) + + = = x x x x x x x 2 e sin 1 e sin e cos + + + 所以 x x x x x y y x x x d 2 e sin ) 1 e (cos sin ) d d + + + = = （3）解 y = (cos x − ln( 2x −1)) 2 1 2 sin ( ) − = − − x x x ] 2 1 2 sin 2 1 [ − = − + x x x 3．解 当 x = 0 时，由方程 e sin e 3 − = + x x y 得 y = 1 。方程两边对 x 求导得： e (1 3 ) cos 0 2 3 + − = + y y x x y 整理得 [e cos 1] 3 1 ( ) 2 3 = − − + x y y x y 所以 y (0) = [e 1] 3 1 1 − − 4．解 在方程等号两边对 x 求导，得 e ( ) 0 1 ln(1 ) + + = + + + y xy x y y x xy xy xy y x y x x y e 1 [ln(1 ) e ] − + + + = − 故 (1 )[ln(1 ) e ] (1 ) e xy xy x x x y x y y + + + + + = − 5．（1）解 e e 2 cos 1 lim 0 + − − → x −x x x = x x x x → − − − e e sin lim 0 = 2 1 e e cos lim 0 = − + − → x −x x x （2）解 ) e 1 1 1 lim ( 0 − − → x x x = x x x x x x − − − → e e 1 lim 0 = e e 1 e 1 lim 0 + − − → x x x x x = x x x x xe 2e e lim →0 + = 2 1 6．（1）解 用第一换元积分法求之． + x x x d 4 2 3 = + 2 2 2 d 2 4 1 x x x = + − 2 2 )d 4 4 (1 2 1 x x
-2H4+)+e 2 -xarcsnx+-x+c (3)解令1=VF,则x=2.止=2d 告地-w 7,(1》解用分部积分法求之 1 8.解令=y,符幕级数白5”川.因为 dn =im 5(n+1 -=lim 1 n S” 所以台S”m 的收敛半径为5，由此可知原琴级数的收数半轻为尽 I snx y+-y= 9,解将原方程化为一阶线性微分方程 x,用公式法
9 = x c x − 2ln( 4 + ) + 2 2 2 （2）解 arcsin xdx − = − x x x x x d 1 arcsin 2 = x x + − x + c 2 arcsin 1 （3）解 令 t = x ，则 2 x = t ，dx = 2tdt + + x x x d 1 ( ) 1 3 = + + t t t t 2 d 1 1 3 = 2 (t − t +1)tdt 2 = t − t + t + c 4 3 2 3 2 2 1 = x − x + x + c 2 3 2 3 2 2 1 7．（1）解 用分部积分法求之． 1 0 x cos xdx = − 1 0 1 0 sin d 1 sin 1 x x x x = 1 0 2 cos 1 x = 2 2 − （2）解 = e + 1 d 1 ln x x x + + e 1 (1 ln x)d(1 ln x) 2 3 (1 ln ) 2 1 e 1 2 = + x = 8．解 令 x = y 2 ，得幂级数 =1 2 n 5 n n n y ．因为 5 1 5( 1) lim 5 1 5 ( 1) 1 lim lim 2 2 2 1 2 1 = + = + = → + → + → n n n n a a n n n n n n n 所以 =1 2 n 5 n n n y 的收敛半径为 5，由此可知原幂级数的收敛半径为 5 ． 9． 解 将原方程化为一阶线性微分方程 x x y x y 1 sin + = ，用公式法 e d ] sin e [ d 1 d 1 x c x x y x x x x + = −
四 IIfsi xds+cl--cosx+cl =-COSx c xx 将x)=0代入上式符C=-l,所求特解为 y=-I+cox 10 解翠方程对应的齐次方程的特征方程为，产一4=0 特征根为入=-2，乃=2，放齐次方程的适解为 y=ce+ce 其中9,9为任意常数。 设原方程的一个特解为y广=红+B,代入原方程得 -4A红+)=2x+1 -4A=2 1 A 比较系数符-4B=1,解得“2， 由此可得原方程的通解为 y-zx-+ce.+c.c 1 其中9，C为任意常数， 四，应用题 1 1.解设曲线x上横坐标为的点为 。,过该点的切线斜率为 %)= 1 F (-】 过该点的切线为！ 该切线在x轴，'轴上截距分别为术=2红。， r-2
10 [ sin d ] 1 x x c x = + [ cos ] 1 x c x = − + x c x x = − + cos 将 y( ) = 0 代入上式得 c = −1 ，所求特解为 x x y 1+ cos = − 10 解 原方程对应的齐次方程的特征方程为： 4 0 2 − = 特征根为 1 = −2， 2 = 2 ，故齐次方程的通解为 x x y c c 2 2 2 1 = e + e − 其中 1 2 c , c 为任意常数． 设原方程的一个特解为 y = Ax + B ，代入原方程得 − 4(Ax + B) = 2x +1 比较系数得 − = − = 4 1 4 2 B A ，解得 2 1 A = − ， 4 1 B = − ． 由此可得原方程的通解为 x x y x c c 2 2 2 1 e e 4 1 2 1 = − − + + − 其中 1 2 c , c 为任意常数． 四、应用题 1．解 设曲线 x y 1 = 上横坐标为 0 x 的点为 ) 1 ( , 0 0 x x ，过该点的切线斜率为 2 0 0 1 ( ) x y x = − 过该点的切线为： ( ) 1 1 2 0 0 0 x x x x y − = − − 该切线在 x 轴， y 轴上截距分别为 2 0 X = x ， 0 2 x Y = ．