《几何蒸》期末赫习4 一、速择与填空思 1.点列之间的射影对应是由《2. A.三对对应点唯一确定 B.两对对应点唯一确定 C.四对对应点唯一确定 D.无限对对应点唯一确定 解选A,因为已知两个一维图形的三对对应元素可以确定难一一个射影对应 2.己知共线四点A、B、C、D的交比(AB.CD)=2,则(CABD)=_ 解一1， 3.对合由唯一决定 解两对不同的对应元素 4.线夏AB的中点C与A奶上爆一点调和共把( A.A B.8 C.4AB上无穷诺点 D.C 解这C,两条平行直线交于无穷运点，一有穷运直线与无穷远直线交干无穷远点. 5,直线上A,品，C,D为互异的四点，C,D在A.B之内，则四点交比(A品》()， A.大于零 B.小于零 C.等于零 D.不确定 解选A,由定义4.2的公式(4BCD)-4C:BD BC·AD 即可得出， 二，计算证明愿 1,求点R(31),B(7,5)与B(6.4).B(9,7)的交比(PB,PP) 分析可以采川非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明计算 解法1 (B,BR)=3--x (x-2工4-】 _6-39-2。- (9-36-7) 解法2将，P,月，P写成齐次坐标，则(3L,)乃(75,1)，(6,4,1)，P(9,7)
1 《几何基础》期末练习 4 一 、 选 择 与 填 空 题 1. 点列之间的射影对应是由（ ）． A．三对对应点唯一确定 B． 两对对应点唯一确定 C．四对对应点唯一确定 D． 无限对对应点唯一确定 解选Ａ．因为已知两个一维图形的三对对应元素可以确定唯一一个射影对应． 2．已知共线四点 A、B、C、D 的交比 (AB, CD) = 2 ，则 (CA, BD) = _______． 解 －１． 3．对合由_______唯一决定． 解 两对不同的对应元素． 4．线段 AB 的中点 C 与 AB 上哪一点调和共轭（ ）。 A．A B．B C．AB 上无穷远点 D．C 解选Ｃ．两条平行直线交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点． 5．直线上 A、B、C、D 为互异的四点，C、D 在 A、B 之内，则四点交比（AB，CD）（ ）． A． 大于零 B． 小于零 C． 等于零 D． 不确定 解选Ａ．由定义４．２的公式 BC AD AC BD AB CD ( , ) = 即可得出． 二、计算证明题 1． 求点 P1（3，1），P2（7，5）与 P3（6，4），P4（9，7）的交比 ( , ) P1P2 P3P4 ． 分析可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明计算． 解法１ ( )( ) ( )( ) ( , ) 3 2 4 1 3 1 4 2 1 2 3 4 x x x x x x x x P P P P − − − − = 1 (9 3)(6 7) (6 3)(9 7) = − − − − − = 解法 2 将 P1 ，P2 ，P3，P4 写成齐次坐标，则 (3,1,1) P1 ， (7,5,1) P2 ， (6,4,1) P3 ， (9,7,1) P4
可以写作P(24,16,4).P(-18-14,-2): 于是B=P+3R·P=R-3: 所以(B乃2)-3-1. -3 2.过点A(2,4,6)与B(一2,4,2)的直线方程，若与x轴及y轴的交点分别为 GA求出交比(AB.CD) 解设过点A(2,4,6)与B(一2,4,2)的直线的方程为 1+2+=0,于是 2a+4b+6c=0 -2a+4b+2e=0 a+2b+3=0 令c=1,则有 -a+2b+1=0 解之得a=b=-1, 于是，直线的方程为，+2-x=0与x轴的交点C为(1,0,1)，与y轴的交点D为 (0,1,1),BCD四点的交比为 2 (AB,CD)= (ABC) =-1 (ABD) 2 3.若直线，1，，1的方程为 2x-y+1=0,3红+y-2=0,7x-y=0,5x-1=0, 果，l) 解4,4，山与x轴的交点分别为属=-， 3名=0，x= 1,12 于是，山)= 233 2.11 35 4,设尸，乃分别是坐标轴上的无穷远点，户是斜率为1的直线上的无穷运点，又 (PP,PP)=m,求P的坐标
2 可以写作 (24,16,4) P3 ， ( 18, 14, 2) P4 − − − ， 于是 P3 = P1 + 3P2 ， P4 = P1 −3P2， 所以 1 3 3 ( , ) 1 2 3 4 = − − P P P P = ． 2．过点 A（2，4， 6）与 B（－2，4，2）的直线方程，若与 x 轴及 y 轴的交点分别为 C，D，求出交比 (AB,CD) ． 解设过点 A（2，4， 6）与 B（－2，4，2）的直线的方程为 ax1 + bx2 + cx3 = 0 ，于是 − + + = + + = 2 4 2 0 2 4 6 0 a b c a b c 令 c =1 ，则有 − + + = + + = 2 1 0 2 3 0 a b a b 解之得 a = b = −1， 于是,直线的方程为 x1 + x2 − x3 = 0 与 x 轴的交点 C 为（1，0，1），与 y 轴的交点 D 为 （0，1，1），AB CD 四点的交比为 (AB,CD) ＝ 1 1 3 1 2 3 2 ( ) ( ) = − − = ABD ABC ． 3．若直线 1 2 3 4 l , l , l , l 的方程为 2x − y +1 = 0，3x + y − 2 = 0 ，7x − y = 0 ，5x −1= 0， 求 ( , ) 1 2 3 4 l l l l ． 解 1 2 3 4 l , l , l , l 与 x 轴的交点分别为 2 1 x1 = − ， 3 2 x1 = ， x3 = 0， 5 1 x4 = ， 于是 2 1 ) 2 1 5 1 ( 3 2 ) 3 2 5 1 ( 2 1 ( , ) 1 2 3 4 = − + − l l l l = 4．设 1 2 P , P 分别是坐标轴上的无穷远点, P3 是斜率为 1 的直线上的无穷远点, 又 (P1P2 , P3P4 ) = m, 求 P4 的坐标．
解设P,B,B,P分别是直线4，，，上的无穷运点，其中 4:x=0 3:y=0 :y=x,即x-y=0 1:x+y=0 期02,1)=(P乃，PP)=m 以，，为基线 由：x-y=0 ∴入=-1 1:x+y=0 入4=2 04,1)=m :- 于是1：方程为x-一y=0 刚 y=mX P的坐标为(1。m,0). 5,若三角形AC的二顶点B与C分别在定直线《与B上移动。三边AB,微二，CA 分别通过共线的定点RA层求证项点A也在一定直线上移动. 正明根据图形（如图）可知。 (B.BBA (C.C.C) 则PNBB.B.NC.C,C2, 在这两个射影线束中，PR是自对应元素，所 以PB,B.B,…NC,C,C2 (第5题图) 两透视对应的线束对应直线的交点A,A,A,… 共线
3 解 设 1 2 3 4 P , P , P , P 分别是直线 1 2 3 4 l , l , l , l 上的无穷远点,其中 1 l : x = 0 2 l : y = 0 3 l : y = x , 即 x − y = 0 4 l : x + y = 0 则 (l 1 l 2 , l 3 l 4 ) = (P1P2 , P3P4 ) = m. 以 1 2 l , l 为基线， 由 3 l : x − y = 0 ∴ 1 = −1 4 l : x + y = 0 2 = ∵ (l 1 l 2 , l 3 l 4 ) = m ∴ = m − = 1 2 1 m 1 = − 于是 4 l 方程为 0 1 − y = m x y = mx P 的坐标为(1, m , 0)． 5． 若三角形 ABC 的二顶点 B 与 C 分别在定直线 与 上移动，三边 AB、BC、C A 分别通过共线的定点 P，Q，R，求证顶点 A 也在一定直线上移动． 证明 根据图形(如图)可知， (B,B1 ,B2 , ) ( , , , ) C C1 C2 ， 则 P(B, B1 , B2 , ) ( , , , ) R C C1 C2 在这两个射影线束中， PR 是自对应元素，所 以 P(B,B1 ,B2 , ) ( , , , ) R C C1 C2 两透视对应的线束对应直线的交点 A, A1 , A2 , 共线． B1 A C B （第 5 题图） R Q P C1 A1
8.如图四边形ABCD敲EF分成 两个四边形AFED和FBCE,求证三 D 个四边形ABCD,AFED,FBCE的 H G 对角线交点KG,H共线。 证明因为D,E,C直线1上互 异的三点。A,F，B是直线m上互异 (第6揽图》 的三点，由巴卜斯定理，三 个交点 G=DF×AE, K DBxAC. H=EBx FC 共线。 4
4 6．如图四边形 ABCD 被 EF 分成 两个四边形 AFED 和 FBCE ，求证三 个四边形 ABCD， AFED ， FBCE 的 对角线交点 K,G, H 共线． 证明 因为 D ， E ，C 直线 l 上互 异的三点， A ， F ， B 是直线 m 上互异 的三点，由巴卜斯定理，三 个交点 G = DF AE， K = DB AC， H = EBFC 共线． D A F B C E G K H （第 6题图） l m