《几何蒸跑》期末练习2 一、遗择与填空思 X=一是 变换。它是特殊的变换 ly'=y 解正交，仿射 2.下列性顺()是仿射性质。 A,三角形三条中线交千一点： B,三角形三条高线交于一点： C,三角形内接于一个圆： D,角平分线上一点到角的两边距离相等。 解选A,简比是仿射不变量 3.梯形在伤射对应下的对应图形是」 解梯形。因为平行性是伪射不变形. 4,等限三角形在仿射对应下的对应图形是 解任意三角形。因为距离不是仿射不变量 5.两个全等的矩形在仿射对应下的对应图形是 解两个面积相等的平行四边形.因为仿射对应保持平行性，保持多边形面积之比不变 但不保垂直性。 6.两个位以三角形在伤射对应下的对应图形是 解两个位以三角形。因为仿射对应保结合性和单比不变。 1. 称为仿射不变性和仿射不变量， 解经过一切透视伤射不改变的性质和数量 8.平面内 对对应点（原象不共线，映射也不共线）决定唯一仿射变换， 解三. 9.仿射变换把正方形变成(). A.正方形 B.矩形 C.。平行四边形 D,不能确定 解选C,由定理2,1，两直线阿的平行性是仿射不变性。而角度不是仿财不变量。 10.仿射对应下。爆些量不变。(
1 《几何基础》期末练习 2 一 、 选 择 与 填 空 题 1. = = − y y x x 是______变换, 它是特殊的_______变换． 解 正交，仿射． 2．下列性质（ ）是仿射性质． Ａ．三角形三条中线交于一点； Ｂ．三角形三条高线交于一点； Ｃ．三角形内接于一个圆； Ｄ．角平分线上一点到角的两边距离相等． 解 选Ａ．简比是仿射不变量． 3．梯形在仿射对应下的对应图形是____________． 解 梯形．因为平行性是仿射不变形． 4．等腰三角形在仿射对应下的对应图形是_________． 解 任意三角形．因为距离不是仿射不变量． 5．两个全等的矩形在仿射对应下的对应图形是_________________________． 解 两个面积相等的平行四边形．因为仿射对应保持平行性、保持多边形面积之比不变, 但不保垂直性． 6．两个位似三角形在仿射对应下的对应图形是__________________． 解 两个位似三角形．因为仿射对应保结合性和单比不变． 7．_________________称为仿射不变性和仿射不变量． 解 经过一切透视仿射不改变的性质和数量． 8．平面内_________对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一仿射变换． 解 三． 9．仿射变换把正方形变成( ). A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．不能确定 解选Ｃ．由定理２．１，两直线间的平行性是仿射不变性．而角度不是仿射不变量． 10．仿射对应下，哪些量不变。（ ）
A.长度 B.角度 C.单比 D.面积 解选C.由定理2.3，共线三点的简比（单比》是伤射不变量， 1山.仿射对应是平行射影的充分必要条件为(. A.象点与原象点的违线平行 B。象点与原象点的连线交于一点 C,不可判定 D。象点与原象点不平行 解选A.由平行射影的定义即可得出。 12.在实轴R上，三点A,B,C坐标分别为25.6，那么三点的单比(ABC)为 (). A.4 B.-1 c.0 D.8 解这A,由单比公式(ABC)= AC6-2 BC6-5 =4. 二，计算正明题 1.经过A(一3,2)和B(61)两点的直线和直线x+3y-6=0交于C点， 求(AC). 解设C点分割线段AB的分割比为入 期A- CB C点坐标为(~3+612+2 1+11+1 将C点坐标代入直线方程x+3y-6=0中，得 -3+61,32+2) 4 -6=0 1+克 1+无 解得2=1 (4BC)=4C=- BC 2.求将三点O0.0),A(1,0),B(0.1D变为O(1.1D,A'(3.1). B(3,2)的伤射变换 解由仿射变换式 X'=dux+ay+an y=ax+any+am 2
2 A．长度 B． 角度 C．单比 D． 面积 解选Ｃ．由定理２．３，共线三点的简比（单比）是仿射不变量． 11．仿射对应是平行射影的充分必要条件为（ ）． A．象点与原象点的连线平行 B． 象点与原象点的连线交于一点 C． 不可判定 D．象点与原象点不平行 解选Ａ．由平行射影的定义即可得出． 12．在 实 轴 R 上 ，三 点 A, B,C 坐 标 分 别 为 2,5,6 ，那 么 三 点 的 单 比 (ABC) 为 （ ） . A . 4 B . −1 C . 0 D. 8 解选Ａ．由单比公式 4 6 5 6 2 ( ) = − − = = BC AC ABC ． 二、计算 证 明 题 1． 经过 A (－3, 2) 和 B (6, 1) 两点的直线和直线 x + 3y − 6 = 0 交于 C 点, 求 (ABC)． 解 设 C 点分割线段 AB 的分割比为 则 CB AC = C 点坐标为 ) 1 2 , 1 3 6 ( + + + − + ， 将 C 点坐标代入直线方程 x + 3y − 6 = 0 中, 得 6 0 1 3(2 ) 1 3 6 − = + + + + − + 解得 =1 ∴ ( ) = = −1 BC AC ABC 2． 求将三点 O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)变为 O (1, 1), A (3, 1), B (3, 2)的仿射变换． 解 由仿射变换式 = + + = + + 21 22 23 11 12 13 ' ' y a x a y a x a x a y a
将O000,A(1,0),B0,1),O(1,1),A31),B°3,2)分别代入上式得 [a1=2a,=0 a:=2a2=l1 a,=1a23=1 ”,所求仿射变换式为 x=2x+2y+1 =y+1 3。求证：相交于影消线的二直线必射影成二平行线 证明设二相交直线山和2交于P点。P点在影消线上.，和2经射能对应直线为和 片，则P点对应无穷近点 由于射影对应保持结合性不变，所以P的对应点是和5的交点，即无穷远点，也就是 E∥5
3 将 O (0,0)， A (1,0)， B (0,1)，O (1,1)， A (3,1)， B (3,2)分别代入上式得 = = = 1 2 2 13 12 11 a a a = = = 1 1 0 23 22 12 a a a ∴ 所求仿射变换式为 = + = + + ' 1 ' 2 2 1 y y x x y 3．求证: 相交于影消线的二直线必射影成二平行线． 证明 设二相交直线 1 l 和 2 l 交于 P 点， P 点在影消线上. 1 l 和 2 l 经射影对应直线为 1 l 和 2 l ，则 P 点对应无穷远点. 由于射影对应保持结合性不变, 所以 P 的对应点是 1 l 和 2 l 的交点,即无穷远点, 也就是 1 l ∥ 2 l ．