投资学第13章 投资分析(4): Black-scholes期 权定价模型
投资学 第13章 投资分析（4）：Black-Scholes 期 权定价模型
概述 Black、 Scholes和 Merton发现了看涨期权 定价公式, Scholes和 Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设8个 >无风险利率已知,且为一个常数,不随时间变 >标的股票不支付红利 >期权为欧式期权 2021/2/23
2021/2/23 2 概 述 ▪ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖 ▪ 模型基本假设8个 ➢无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变 化。 ➢标的股票不支付红利 ➢期权为欧式期权
无交易费用:股票市场、期权市场、资金借贷 市场 投资者可以自由借贷资金,且二者利率相等, 均为无风险利率 >股票交易无限细分,投资者可以购买任意数量 的标的股票 >对卖空没有任何限制 >标的资产为股票,其价格S的变化为几何布朗 运动 dt+oh→d=lSlt+osh 其中,w代表维纳过程 2021/2/23
2021/2/23 3 ➢无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷 市场 ➢投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率 ➢股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量 的标的股票 ➢对卖空没有任何限制 ➢标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗 运动 ds dt dw ds sdt sdw s w = + = + 其中， 代表维纳过程
B-S模型证明思路 ITO过程dx=a(x,D)d+b(x,t)hv1 ITO引理d=(+ 1a2f12 a+ b dt +b dw at ax 2 ax OX 拼f1?7f BS微分方程执+÷rs+ SS BS买权定价公式C=SN(d1)-KeN(d2) 2021/2/23
2021/2/23 4 B-S模型证明思路 ITO引理 2 2 2 1 ( ) 2 f f f f df a b dt b dw t x x x = + + + ITO过程 ( , ) ( , ) t t dx a x t dt b x t dw = + B-S微分方程 2 2 2 2 1 2 f f f rs s rf t s s 抖 ? + s = 抖 ? ＋ B-S买权定价公式 1 2 ( ) ( ) r C S N d Ke N d t − = −
131维纳过程 根据有效市场理论,股价、利率和汇率具 有随机游走性,这种特性可以采用 lener process,,它是 Markov stochastic process一种 对于随机变量w是 Wiener process,必须 具有两个条件 1在某一小段时间内,它的变动小w与时段满 足At 2021/2/23
2021/2/23 5 13.1 维纳过程 ▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，这种特性可以采用 Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。 ▪ 对于随机变量w是Wiener process，必须 具有两个条件： 1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满 足Δt
△ △t (13.1) 这里,△w =W=11,2E~llv(0 2.在两个不重叠的时段4和As,AW和△w是独立的, 这个条件也是 Markov过程的条件,即增量独立! COV(△w,△w)=0 (13.2) 其中,△w=w-形21,Awy3=W=W1 W,1<W<W。1<W 有效市场
w t t t = （13.1） 1 , (0,1) w w w iidN t t t t 这里， = − − 2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！ 1 1 1 1 , t t t s s s t t s s w w w w w w w w w w − − − − = − = − 其中， cov( , ) 0 = w w t s （13.2） 有效市场
满足上述两个条件的随机过程,称为维纳 过程,其性质有 E(△w1)=0,D)(△w)=△ 当时段的长度放大到T时(从现在的0时刻 到未来的T时刻)随机变量Aw的满足 E(△wn)=0,△W7=W-W D(△w)=T 2021/2/23
2021/2/23 7 ▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳 过程，其性质有 ( ) 0, ( ) E w D w t = = t t ▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足 0 ( ) 0, ( ) T T T T E w w w w D w T = = − =
证明 ∑△,△ △M7=∑EM△=M△∑ E(△M)=√AMEC∑6)=M∑E(G)=0 D(An)=△t·D∑6)=△、N=7,:D(=)=1证毕
▪ 证明： 0 1 1 1 1 , N T T i i i i i i N N T i i i i w w w w w w w t w t t − = = = = − = = − = = = 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 N N T i i i i E w tE t E = = = = = 1 ( ) ( ) ,[ ( ) 1], N T i i i D w t D t N T D = = = = = 证毕
在连续时间下,由(131)和(13.2)得到 (13.3) covdw,, dw)=o (13.4) 所以,thw概率分布的性质 dw,N(O, dt e(dw)=0, D(dw)=dt 以上得到的随机过程,称为维纳过程。 2021/2/23
2021/2/23 9 ▪ 在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到 cov( , ) 0 t t t s dw dt dw dw = = （13.3） （13.4） ▪ 所以， 概率分布的性质 ~ (0, ) ( ) 0, ( ) t t t dw N dt E dw D dw dt = = t dw 以上得到的随机过程，称为维纳过程
132ITO定理 一般维纳过程( Generalized wiener process可 表示为 d.=adt+bdw (13.5) 其中,dhv~N(0,d) 显然,一般维纳过程的性质为 dx, N(adt, bdt) E(dx)=adt, D(dx)=bdt 2021/2/23 10
2021/2/23 10 13.2 ITO定理 ▪ 一般维纳过程(Generalized Wiener process)可 表示为 ~ (0, ) t t t dx adt bdw dw N dt = + 其中， （13.5） 2 2 ~ ( , ) ( ) , ( ) t t t dx N adt b dt E dx adt D dx b dt = = 显然，一般维纳过程的性质为