第三章电阻电路的一般分析方法 3-1电路的图 1、图:是结点和支路的集合 支路:抽象的线段(直线或曲线) 结点:支路的交点 电路的图:每一个元件用线段表示,Us和R1两支路,所以5个结 点(b) 有时:将i相同的归一个支路,则(b)变成4个结点,7支路(C) 有时:将两个并联支路作为一个支路,四个结点,6支路 有向图:支路给了方向的图;反之,无向图 电路的图不同情况得到不同的结点数和支路数 *基尔霍夫KCL、KVL与元件性质无关,所以可利用图讨论如何 列出电路方程
3-1电路的图 1、图：是结点和支路的集合 支路：抽象的线段（直线或曲线） 结点：支路的交点 电路的图：每一个元件用线段表示，US1和R1两支路，所以5个结 点（b） 有时：将i相同的归一个支路，则（b）变成4个结点，7支路（C） 有时：将两个并联支路作为一个支路，四个结点，6支路 有向图：支路给了方向的图；反之，无向图 *电路的图不同情况得到不同的结点数和支路数 *基尔霍夫KCL、KVL与元件性质无关，所以可利用图讨论如何 列出电路方程 第三章 电阻电路的一般分析方法
(b) 3
· • • • • • • • • • ② ③ ④ 1 2 3 4 5 6 • • • • （a） （b） （c） ①
3-2KCL和KV独立方程数 上图(c)中4个结点,6支路的电路的图,结点和支路的编号已在 图中标出, 支路的方向:关联方向,iu关联 对结点1、2、3、4分别列出KCL方程式:1、i-i-i=0 上式4个相加,0=0,即只有三个独立,2、-i1-i2+i3=0 因为一个节点流出,另一个节点流入,3、i2+i+i=0 出现2次,可以证明:n个结点,只有n 1个方程独立,n个结点,只有m1个独4、i3+-i=0 立的结点。 路径:从一个结点出发,到另一个任意结点 连通图:图G中任两个结点间至少存在一条路径,这种图称为连通 图 回路:起结点=终结点(1、5、8)回路
3-2 KCL和KVL独立方程数 上图（c）中4个结点，6支路的电路的图，结点和支路的编号已在 图中标出， 支路的方向：关联方向，i和u关联 对结点1、2、3、4分别列出KCL方程式：1、i1 -i4 -i6=0 2、-i1 -i2+i3=0 3、i2+i5+i6=0 4、-i3+i4 -i5=0 上式4个相加，0=0，即只有三个独立， 因为一个节点流出，另一个节点流入， 出现2次，可以证明：n个结点，只有n- 1个方程独立，n个结点，只有n-1个独 立的结点。 路径：从一个结点出发，到另一个任意结点 连通图：图G中任两个结点间至少存在一条路径，这种图称为连通 图 回路：起结点=终结点（1、5、8）回路
独立回路:图中1、5、8和2、5、6列出两个 KVL方程,而1268也可列出一个KVL方程, 但可由上述两方程相减得到,所以三个回路 方程两个独立,所以三个回路两个独立回路① 怎样找独立回路?利用树的概念 树:一个连通图G的树T1)包含G的全部结 点和部分支路,(2)而树本身是连通的,(3)而且不包含回路。对于上 述图,符合树概念的树很多:如a、b、c 5 ⑤ 81 6③①8 3 4) c
1 2 3 4 5 6 7 ① 8 ② ③ ④ • • • • • 独立回路：图中1、5、8和2、5、6列出两个 KVL方程，而1268也可列出一个KVL方程， 但可由上述两方程相减得到，所以三个回路 方程两个独立，所以三个回路两个独立回路 怎样找独立回路？利用树的概念 树：一个连通图G的树T:⑴包含G的全部结 点和部分支路，⑵而树本身是连通的，⑶而且不包含回路。对于上 述图，符合树概念的树很多：如a、b、c 1 2 3 4 5 6 7 8 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 • • • • • a b c ① ② ③ ④ ⑤ ① ② ③ ④ ⑤ ③ ④ ① ⑤ ②
2 2 ①8s③a8 3不是树,因为非连通, 不是树,因为有回路 @第四个结点没有包进去 树支:树包含的支路,上图T1的树支有(5、6、7、8),相应的 连支为(1、2、3、4),对b所示树T2,其树支为(13、5、 6),相应的连支为(2、4、7、8) 六:树支和连支一起构成图G的全部的支路 上述a、b、c所示G的每一个树有4条支路,d有5条,不是树,e 只有3条,也不是树,5个结点,树支数为4, 图论可以证明:结点数为n,则树支数为n 基本回路:(单连支回路):因为树连接所有结点,又不构成回 路,加一个连支则构成一个回路--称为基本回路
1 2 3 4 6 7 8 • • • • • 1 2 3 4 6 7 8 • • • • • 不是树，因为有回路 不是树，因为非连通， 第四个结点没有包进去 树支：树包含的支路，上图T1的树支有（5、6、7、8），相应的 连支为（1、2、3、4），对b所示树T2，其树支为（1、3、5、 6），相应的连支为（2、4、7、8） *：树支和连支一起构成图G的全部的支路 上述a、b、c所示G的每一个树有4条支路，d有5条，不是树，e 只有3条，也不是树，5个结点，树支数为4， 图论可以证明：结点数为n，则树支数为n-1 基本回路：（单连支回路）：因为树连接所有结点，又不构成回 路，加一个连支则构成一个回路------称为基本回路 ③ ④ ① ⑤ ② ① ② ③ ④ ⑤
例:4个结点6条支路,选取1、4、5为树 ① 5 三个基本回路 6 每一个基本回路仅含一个连支,且这一连支并不出现在其它连支 中,全部基本回路构成基本回路组,基本回路组每一个回路是独 立的,所以由基本回路组列出的KVL方程数是独立的,对于支 路数为b,结点数为n则树支数为n-1,总支路数b-(树支数n-1) =连支数,而每一连支应对应一个基本回路,所以基本回路数 =b-(n-1)=b-n+1
例：4个结点6条支路，选取1、4、5为树 1 2 4 5 3 6 • • • • 1 4 5 6 • • • • 1 5 3 1 4 5 • • • • 2 5 4 6 三个基本回路 每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不出现在其它连支 中，全部基本回路构成基本回路组，基本回路组每一个回路是独 立的，所以由基本回路组列出的KVL方程数是独立的，对于支 路数为b，结点数为n则树支数为n-1，总支路数b-（树支数n-1） =连支数，而每一连支应对应一个基本回路，所以基本回路数 =b-（n-1）=b-n+1 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ②
平面图:除连接的结点外,每条支路无交叉 非平面图:有交叉一 例:上面的例子为平面图 网孔:平面图的一个网孔就是一个自然孔 (1、3、5)、(2、3、7)、(456) (478)(689)是网孔 (1268)不是网孔,因为内部有支路 网孔数=独立回路数,每一个网孔就是独立回路 右边网孔数为5,独立回路数b-n+1=95+1=5
平面图：除连接的结点外，每条支路无交叉 非平面图：有交叉 例：上面的例子为平面图 网孔：平面图的一个网孔就是一个自然孔 （1、3、5）、（2、3、7）、（456） （478）（689）是网孔 （1268）不是网孔，因为内部有支路 网孔数=独立回路数，每一个网孔就是独立回路 右边网孔数为5，独立回路数b-n+1=9-5+1=5 • • • • • 1 2 4 5 3 6 • • • • 7 8 9 ② ⑤ ① • ④ ③
例: 选1、4、5为树, ① 则基本回路:135 1245、456 列出KVL方程 回路1:u1+u3+u5=0 6 这是3个独立方程,独立方程=基本回 路2:ur-2+u+u=0路数 回路3:-u4-5+u=0
例： 选1、4、5为树， 则基本回路：135、 1245、456 列出KVL方程： 回路1：u1+u3+u5=0 回路2：u1 -u2+u4+u5=0 回路3：-u4 -u5+u6=0 1 2 4 5 3 6 • • • • 这是3个独立方程，独立方程=基本回 路数 1 2 4 5 3 6 • • • • 1 2 3 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④
3-3支路电流法 例:(以实例说明) ① 2 R 5 I5 把R1、U、作为一条支路, uu把Rsis并联作为一支路, 4个节点,6条支路,对每 个元件列出支路电压(以 u1=u1+Ri1u2=R2i2u3=Rj3(1) i1…,i表示) u4=R,i4 u5=Rs15+Rsis5 6R616
3-3支路电流法 例：（以实例说明） 1 2 3 4 5 6 • • • • a b R1 ＋ － us1 － ＋ u1 R5 ＋ － us5 ＋ － u5 把R1、us1作为一条支路， 把R5、i s5并联作为一支路， 4个节点，6条支路，对每 个元件列出支路电压（以 i1…i u1=-us1+R1 i1 u2=R2 i2 u3=R3 i3 6表示） u4=R4 i4 u5=R5 i5+R5 i s5 u6=R6 i6 （1） ④ R6 R1 R4 R2 R5 ＋ － us1 i1 i2 i4 R3 i3 i5 • • • • ① ② ③ i s1 ① ③ ④ ②
选网孔作为I:u1+2+u3=0 独立结点1、21++1=0 独立回路I:-u3+u4+us=0 3列出KCL方i2+i+i 0 (3) 程,有 (2 II:-u2+-u4+u=0 0 (1)代入(3)式得:R11+R2i2+R3i3=us R33+R4+Rs=Ri5(4) Ri-ri+rdi=o (2)和(4)--支路电流方程,方程个数6个,比12个减少一半 (4)方程写成∑RR是K支路上Rk电压降,u是K 支路上电压源若i方向与回路方向一致取+,反之取,Us方向与 回路一致取-,反取+,若是电流源和电阻并联,把它等效成电压源 3 IL 5
-i1+i2+i6=0 -i2+i3+i4=0 -i4+i5 -i6=0 （2） 独立结点1、2、 3列出KCL方 程，有 选网孔作为 独立回路 I：u1+u2+u3=0 II：-u3+u4+u5=0 III：-u2+-u4+u6=0 （3） （1）代入（3）式得：R1 i1+R2 i2+R3 i3=us1 -R3 i3+R4 i4+R5 i5 =-R5 i s5 -R2 i2 -R4 i4+R6 i6=0 （4） （2）和（4）----支路电流方程，方程个数6个，比12个减少一半 （4）方程写成：Rk ik= usk Rk ik是K支路上RK电压降，usk是K 支路上电压源,若ik方向与回路方向一致取+，反之取-，USK 方向与 回路一致取-，反取+，若是电流源和电阻并联，把它等效成电压源 1 2 3 4 5 6 • • • ① • ③ ④ ② I II III