第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱 12-1非正弦周期信号 1、非正弦周期信号:是周期性的,但非正弦的,例如:周期性的 脉冲波 2、谐波分析法:将周期性的非正弦波展开为付里叶级数(正弦波 迭加),计算不同频率正弦波激励下的响应,叠加得结果。 12-2周期函数分解为付里叶级数 周期函数表示周期信号f(t)=f(t+kT)K=0,1,2 若函数满足狄里赫利条件则函数可展开成一个收敛的付里叶级数 f(t)=a,+a, cos(@, t)+b, sin(@, t)]+a, cos( 2a, t)+b, sin(20, t)]+ =an+[cs(ko)+b1sin(ko,--(1)其中20=1roxt=nr k TO a, =Lif(tcos(ko, dt=2i f(t)cos(ko, dt=I]f(cos(ko, tdo, t 0
12-1非正弦周期信号 1、非正弦周期信号：是周期性的，但非正弦的，例如：周期性的 脉冲波 2、谐波分析法：将周期性的非正弦波展开为付里叶级数（正弦波 迭加），计算不同频率正弦波激励下的响应，叠加得结果。 12-2周期 函数分解为付里叶级数 f(t)cos(k t)d t 1 f(t)cos(k t)dt T 2 f(t)cos(k t)dt T 2 a f(t)dt T 1 f(t)dt T 1 a a cos(k t) b sin(k t) (1) a0 f(t) a a cos( t) b sin( t) a cos(2 t) b sin(2 t) ... f(t ) f(t kT) K 0,1,2... 1 1 2 T 2 T 1 T 0 k 1 2 T 2 T T k 1 0 0 k 1 k 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 0 = = = = + + − − − = = = + + + + + = + = − − − = 其 中 若函数满足狄里赫利条件则函数可展开成一个收敛的付里叶级数 周期函数表示周期信号 第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱
b,==if(t)sin(ko )dt==jf(t)sin(ko, t)dt=if(t)sin(ko, )dt f(t)sin(ko, t)d(o, t) T-π (1式还可写成r(t)=A,+Amco(0t+v)+A-c0(2ot+v,)+…+ A cos(kot+v)+…+=A+∑Ac0s(kot+y) .'cos(ko, t+y =cos ko, t cosYk-sin Yk sin ko,t 恒定分量→A0=a0 A=√a+b.2ak=A-mC0Svk kI b b,=-A, sin y Y=arct(k) k 周期信号=一系列谐波之和 2013 Kor 频谱图:将各个频率对应的振幅用线段画现来-振幅频谱 还有相位频谱:相位按频率的分布
周期信号 一系列谐波之和 恒定分量 式还可写成 = = = → = = + = + = − + + + = + + = + + + + + + = = = = = − − ) a -b b -A sin arctg( A a A a b a A cos cos(k t ) cosk t cos sin sink t A cos(k t ) ... A A cos(k t ) ( ) f(t) A A cos( t ) A cos( t ) ... f(t)sin(k t)d( t) f(t)sin(k t)dt f(t)sin(k t)dt T f(t)sin(k t)dt T b k k k k m k k k am k 2 k 2 0 k m k k K K K k m k k m k 0 1 m m T T T k 0 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 1 2 0 1 2 2 1 0 1 Akm ω·1 2ω1 3 ω1 K ω1 频谱图：将各个频率对应的振幅用线段画现来------振幅频谱 还有相位频谱：相位按频率的分布
例1:求图所示周期性矩形信号f(t)的付里叶级数展开式及频谱。 解:f(t)第一个周期内的表达式为 f(t=E 0<t<T/2 f(t) f(t)=-E。T/2<t<T 2兀 E a。=f(tdt=Endt+ e dt=o T a,=jf(t)cos ko tdo, t=F E cos ko, tdo t-JE cos ko tdo T m b,= jf()sin ko, do, =E sin ko, tdo, t-E sin ko, tdo, t T T 2E 2E kr sin ko tdo, t=,m k [1-cos(kT) 当K=2n时偶数时b=0当K=2n+时奇数时cos(kπ)=-1∴b=E 51701 KT 02=4E1smo+3s30+0501 k
+ + + = = = = + = − = − = = − = = − = = = = = + − = = = sin( t) sin( t) sin( t) ... k E f(t) k E K n b 0 K n 1 cos(k ) b cos(k ) k E sink td t k E b f(t)sink td t E sink td t E sink td t a f(t)cosk td t E cosk td t E cosk td t E dt T 1 E dt T 1 f(t)dt T 1 a f(t) -E T/2 t T f(t) E 0 t T/2 m m k k m m k m m k m m T T/ m T m T 0 m m 1 1 1 0 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 0 0 5 5 1 3 3 4 1 4 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 当 时偶数时 当 时奇数时 例1：求图所示周期性矩形信号f（t）的付里叶级数展开式及频谱。 Em -Em 0 π 2 π T/2 T 解：f（t）第一个周期内的表达式为 f（t） ω1 3 ω1 5 ω1 7ω1 · · ·
12-3有效值平均值平均功率 有效值的定义I=idt设非正弦周期电流可展开成付里叶级数 i=I+∑Lcos(kot将此代入有效值公式则得此电流的有效值为 HJI,+2In cos(ko, t+y.'dt 上式平方后含有下列各项 jI dt=I: jI cos(ko, t +y )dt=km= /2] I2 2 2 ∫2 I cOs(kot+v.)dt=0 ∫2Icos(ko,t+y)Icos(q0t+yn)dt=0k≠q
( ) 2I cos(k t )I cos(q t )dt 0 k q T 1 2I cos(k t )dt 0 T 1 I 2 2I 2 I I cos (k t )dt T 1 I dt I T 1 I I cos(k t ) dt T 1 I i I I cos(k t ) i dt T 1 I I 12 3 T 0 k m 1 k qm 1 q T 0 0 1 k 2 K 2 K 2 k m T 0 1 k 2 2 k m 2 0 T 0 2 0 T 0 2 K 1 0 k m 1 k K 1 0 k m 1 k T 0 2 + + = + = = + = = = = + + = + + = − = = 上式平方后含有下列各项 将此代入有效值公式则得此电流的有效值为 有效值 的定义 设非正弦周期电流可展开成付里叶级数 有效值 平均值 平均功率
∴i的有效值 1=++1+灬=+恒定分量+各次谐波有效值平方和 平均值Iav=∫idt正弦电流的平均值为 lav=J Im cos(ot)dt=mycos(ot)dt=0.91 T
cos( t)dt 0.9I T 4I I cos( t)dt T 1 Iav idt T 1 Iav I I I I ... I I i 4 T 0 m T 0 m T 0 K 1 2 K 2 0 2 2 2 1 2 0 = = = = = + + + = + + = 平均值 正弦电流的平均值为 恒定分量 各次谐波有效值平方和 的有效值
不同的仪器读数涵义不同:对于同一非正弦周期电流) 当用不同类型的仪表进行测量时,会得到不同的结果。 例如:1、用磁电系仪表(直流仪表)测量,所得结果将是电流的恒定分量,因为磁电系 仪表的偏角 a acid C∝∫idt 2、用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值,因为这种仪表的偏转角 3、用全波整流仪表测量时,所得结果为电流的平均值,因为这种仪表的偏角与电 流的平均值成正比。 可见:在测量非正弦周期性电流和电压时,要注意选取合适的仪表,并注意不同类型 仪表读数表示的含义(可参阅有关实验书)
*不同的仪器读数涵义不同:(对于同一非正弦周期电流） 当用不同类型的仪表进行测量时，会得到不同的结果。 例如：1、用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的恒定分量，因为磁电系 仪表的偏角 2、用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值，因为这种仪表的偏转角 3、用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏角与电 流的平均值成正比。 可见：在测量非正弦周期性电流和电压时，要注意选取合适的仪表，并注意不同类型 仪表读数表示的含义（可参阅有关实验书） T i dt T 0 1 2 T idt T 0 1
任一端口的瞬时功率 p=ui=U+ 2Um cos(kolt+y) XI+EI cos(kolt+y 平均功率即有效功率定义为P=1Pdt=Un,+Ucog+ UIcos ----等于恒定量与各次谐波平均功率的代数和
等于恒定量与各次谐波平均功率的代数和 平均功率即有效功率定义 为 任一端口的瞬时功率 − − − − − = = + + + = = + + + + = = Pdt U I U I cos U I cos ... T P p ui U U cos(k t ) I I cos(k t ) T 0 0 1 1 1 2 2 2 K 0 k m uk K 0 k m uk 0 1 1 1 1 1
2-4非正弦周期电流电路的计算☆ )片先分解成付里叶级数 (2)分别求出恒定分量各次谐波单独作时的响应 (3)叠加 例2如图R=3 =945g2 +°R1c o C u.=10+141.40c0s(0,t)+47.13c0(30t) +28.28c0s(50t)+20.20c0s(70,t)+15.7c0s(90t)+ 求电流和电阻吸收的平均功率P 解(已是付级数i= sm(k) Im(k)-k次谐波的最大值即幅值 M R-3kOC 是振幅相量的 般表示式,不是 K=0时+直流分量U=10L=0P=0有效值相量两 K=1Usm(1)=141.4∠0 者相差√2
( ) ( ) ( ) i P . cos( t) . cos( t) . cos( t) ... u . cos( t) . cos( t) C1 R 3 3 s 1 求电流 和电阻吸收的平均功率 例 如 图 叠 加 分别求出恒定分量 各次谐波单独作时的响应 先分解成付里叶级数 非正弦周期电流电路的计 算 + + + + = + + = = − 1 1 1 1 1 28 28 5 20 20 7 15 7 9 10 141 40 47 13 3 2 945 21 12 4 ○○ ＋－us i R C ( ) K 1 Usm(1) 141.4 0 K 0 U 10 I 0 P 0 Im(k) ---k k c R j U I 0 0 0 0 s m(k ) m(k) = = = = = = − = 时 直流分量 解 已是付级数 次谐波的最大值即幅值 1 1 1 · · 是振幅相量的一 般表示式，不是 有效值相量。两 者相差 2 ·
141.4∠0 im(1)=3-y =14.26∠72.39 9.45 p(1)= R=305.02 2 m(1) K=3U=47.13∠0° i4713∠0° =10.83∠46.4° 3-315 p(3)= 2mR=175.9同理I=798∠322P3=95.52 (7) =6.41∠24.23 pn=56.55 I==4.94∠19.29p=36.60在时域中叠加 i=1426c0s(0t+7237)+10.83c0s{30t+46.4°) +7.98c0(50t+32.2l)+614c0s(70t+24.23”) p=P+p1+p2+…p=66980w
305 02 21 1 14 26 72 39 3 9 45 2 1 0 p( ) I R . . . j . 141.4 0 Im(1) m( ) 0 = = = − = ( ) p p p p ...p 669.80w 7.98 cos(5 t .21 ) 6.14 cos(7 t .23 ) i 14.26cos( t 72.37) 10.83 cos(3 t .4 ) I . . p . I . . p . p( ) I R . I . . p . . . 3 - j3.15 47.13 0 K U 47.13 0 I 0 1 2 9 0 1 0 1 0 1 1 m(9) ( ) m(7) ( ) m( ) m(5) ( ) 0 m(3) 0 sm(3) = + + + = + + + + = + + + = = = = = = = == = = = 32 24 46 4 94 19 29 36 60 6 41 24 23 56 55 175 93 7 98 32 21 95 52 21 3 3 10 83 46 4 9 0 7 0 5 2 0 3 0 在时域中叠加 同 理 · · ··
例图中电路中L=HC=10μF负载电阻R=2Kgu为正弦全波整流波 形如图设,=314 Erad/s,Um=157v,求负载两端电压的各谐波分量 解付氏级数为查表) K=0为直流分量 us=×157+1c020t)-cos(4ot)+ T 15 设负载两端电压第K次谐波为U(采用复振幅相量) 用结点电压法 由上式得 +rt jko. k=0.2,4 jkO, L R jk, L smis =100峰值 U.=3.53v 1m(2) m lm(4) =0.17lv sml Im(k) 峰值 +jk@, C jko L+1 R 相量
( ) U 0.171v U 3.53v U 100V U k 0,2,4... jk L jk C U jk L R K U ( ) cos( t) cos( t) ... 4 us Erad/s,Um 157v, L 5H C 10 F R 2K u 1m(4) 1m(2) 0 m(k ) s m(k ) 1 m(k) 1 s = = = = = + + + − + = = = = = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 15 1 2 3 1 2 1 157 314 用结点电压法 设负载两端电压第 次谐波为 采用复振幅相量 解 付氏级数为 查 表 形 如 图 设 求负载两端电压的各谐波分量 例 图中电路中 负载电阻 为正弦全波整流波 jk C jk L 1 R 1 U U 1 1 s m(k ) 1m(k ) + + = ○ ○ ＋ us L c R us － 峰值 相量 峰值 由上式得 Um K=0为直流分量