第六章一阶电路 6-1动态电路的方程及其初始条件 1、动态电路:含有C或L的电路,因为列出的方程含有微分积分 特征:当电路的突然变化(电源的断开等),可使电路由一个状态 变到另一个状态,这种转变经历一个过程,工程上称过渡过程,这 种变化 称为换路,认为换路是在t=0时刻进行的。 换路前的最后的时刻换路经历的时间为:0到 0 换路后的最初的时刻 2、经典分析法:建立常微分方程、依据初始条件求解(u、i) 3、初始条件:t=0+时电路中所求变量的值和(n-1)阶 导数的值,u。(0+)和i(0+)的值称为独立的初始条件,其 它称非独立初立条件。 (1)、电容C的初始条件:由前面可知,对于线性电容,任时刻t, 电荷、电压、与电流的关系为:
６－１ 动态电路的方程及其初始条件 １、动态电路：含有Ｃ或Ｌ的电路，因为列出的方程含有微分积分 特征：当电路的突然变化（电源的断开等），可使电路由一个状态 变到另一个状态，这种转变经历一个过程，工程上称过渡过程，这 种变化－－－称为换路，认为换路是在ｔ＝０时刻进行的。 − o + o －－换路前的最后的时刻 －－换路后的最初的时刻 换路经历的时间为： o − 到 ＋ o ２、经典分析法：建立常微分方程、依据初始条件求解（ｕ、ｉ） ３、初始条件：ｔ＝０＋ 时电路中所求变量的值和（ｎ－１）阶 导数的值，ｕｃ（０＋）和iＬ（０＋）的值称为独立的初始条件，其 它称非独立初立条件。 (1) 、电容C 的初始条件：由前面可知，对于线性电容，任时刻t， 电荷、电压、与电流的关系为： 第六章 一阶电路
q(t)=q(t)+∫i(9)lE tO u(t)=u(t)+i(2)l令t=0-t=0, tO q(0-)=q(0-)+il u(01)=u(0)+ic(2)/当i为有限值时积分项为0 u(o)=u(o)电容电压不能跳变 2、电感I的初始条件:由前面可知; Judt= Jude== jude+jude=i(t)+-juds=i(0)+ Jude to ()=(t)+jud=平(0)+ud令t=0t=0 若在0到0间,u为有限值,则积分值为0,所以 i,(0+)=i,(0) (0)=y(0 不能跳变,电感的初始条件 动态电路的独立条件为:u(0+)和i(o+),一般根椐u(0)和 (0-)求得
若在0 -到0 +间，uL为有限值，则积分值为0，所以 电容电压不能跳变 当 为有限值时积分项为 令 u (o ) u (o ) ( ) i 0 1 (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) t 0 - t 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + − + − − + + − + − + = = + = + = + = = = + ic d c u u q q i d i d c u t u t q t q t i d c c t t c c c t t 2、电感L的初始条件：由前面可知； (0 ) (0 ) i (0 ) i (o ) L L + − + − = = 不能跳变，电感的初始条件 动态电路的独立条件为：uc（o +）和iL（o +），一般根椐uc（0 -）和 iL（0-）求得 + − − + − − − − = + = + = = = + = + = + 0 0 t t0 L 0 0 0 t t0 0 t t0 0 t t (t) (t ) ud (0 ) ud ud L 1 ud i(0 ) L 1 ud i(t ) L 1 ud L 1 ud L 1 udt L 1 i 令t0=0- t=0+
例1:图中直流电压源的电压为U 当电路的电压和电流恒定不变时, C 打开S开关,试求(ot)、i(o+) S(t=0) R2(O 解:根据t=0,时刻电路状态计算 因为S打开前,i和u已恒定不变,所以 du di 0 上=0R2,上的电压极 性上负下正这是人 u2(0) 为规定的 RU 在换路时: R+R u。(0+)=u。(0), R1+R2 uL(0) in.(0+)=in,(0-) L(0)(b) 可把0时刻电路 画出,C和L用电 压源和电流源代 替(b)
S（t=0） 例1：图中直流电压源的电压为U0 当电路的电压和电流恒定不变时， 打开S开关，试求 R1 。 。 R2 iL L U0 ＋ － C ＋ uC uc（o +）、iL（o +） ic（o +） uL（o +） uR2（o +） 解：根据t=0-，时刻电路状态计算 uc（o -） iL（o -） ＋ － ＋ － uL(0+) 1 2 0 R R U + R2 ic(0+) 1 2 2 0 R R R U + 因为S 打开前，i和u已恒定不变，所以 0 dt di 0 dt du c L = = 在换路时： uc（0 +）=uc（0 -）， iL（0 +）=iL（0 -） 可把0 +时刻电路 画出，C和L用电 压源和电流源代 替（b） ＋ － uR2(0+) - iC • • iL(0 （b） +) R2 上的电压极 性上负下正这是人 为规定的
dt di u1=L∴i(0-)=0u(0-)=0 dt u(0)= R,+R.R2=u(0 e(O+) u2(0+) RU R+r r+r i(0) i1(0) R+R u1(0) R+R i(0+ U R ua2(0)=-R2i1(0)= R+R UR u(0)=u2(0”)+u(0) 十 R,+R2R1+R2
( ) 0 R R U R R R U R u (0 ) u (0 ) u (0 ) R R U R u (0 ) R i (0 ) i (0 ) R R U i (0 ) R R U i 0 R u (0 ) R R U u (0 ) i (0-) 0 u (0-) 0 dt di u L dt du i c 1 2 0 2 1 2 0 2 L R 2 c 1 2 0 2 R 2 2 L L 1 2 0 c 1 2 0 L 2 c 1 2 - 0 c c L L L c c = + + + = + = − + = − = − = − + = − + = = + = = = = = + + + + + + + − + ＋ － ＋ － uL(0+) 1 2 0 R R U + R2 ic(0+) 1 2 2 0 R R R U + ＋ － uR2(0+) iL(0 （b） +)
6-2一阶电路的零输入响应(第6周讲) 零输入响应:即外界的激励为0,在动态元件的初始储能作用下的 响应。 1、RC电路的零输入响应:在S闭合前,C已充电,其上电压U0 闭合后:因为uC=ug,而ug=Ri S(t=0) 所以:euR= 电容上电流由负 dt 到正,所以有负U4千 du RC-e+u=o 阶齐次微分方程 初始条件:u(0)=u(0+)=U0,令此方程的通解为:u=Aep代 入上式:(RCP+1)Aept=0 特征方程为:RCP+1=0特征根P=1/RC因为U(0+)=U0代入 (t=Aept A=U 0 u(t)= Uoe-1/rCt.放电过程中电容电压表达式
+ = − −一阶齐次微分方程 − = u 0 dt du RC R u dt du c c c c c 6-2 一阶电路的零输入响应(第6周讲) 零输入响应：即外界的激励为0，在动态元件的初始储能作用下的 响应。 1、RC电路的零输入响应：在S 闭合前，C已充电，其上电压U0 闭合后：因为uC=uR，而uR=Ri 所以： 。 。 S（t=0） u uR U c 0 ＋ － ＋ - i 初始条件：uc（0 -）=uc（0 +）=U0，令此方程的通解为：uc=Aept代 入上式：（RCP+1）Aept=0 特征方程为：RCP+1=0 特征根P=-1/RC 因为U（0 +）=U0代入 uc（t）=Aept A=U0 uc（t）=U0e -1/RC t ----放电过程中电容电压表达式。 电容上电流由负 到正，所以有负 号
电路中电流i=-c du dqu e o e =-c cU(me dt RC R 电阻上的电压un=u.=UeW--指数规律误衰减的 RC=τ--时间常数 u (t=Ue r 2τ t 4 5τ i()=e u()|U|0.3680.35005U0D180.0067 R t=0u(0)=U0 t=τu.()=Ue=0.368心 =t再过τ后u(t+)=Ue Ue ei=eu (to)=0.368u (t 即经过时间常数τ后衰减了6380
63 8 0 U e e e u (t ) 0.368u (t ) t t u (t ) U e t u ( ) U e o.368U t 0 u (0) U R U e i(t) u (t) U e RC ---- u u U e --- R U e )e RC 1 cU ( dt d(U e ) c dt du i c c 0 c 0 1 t 1 1 0 t ) 0 (t 0 c 0 0 0 -1 c 0 c 0 t 1 0 t 1 c 0 t RC 1 R c 0 t RC 1 0 t RC 1 0 t RC 1 c 0 = = = = + = = = = = = = = = = = = − = − = − = − − − + − − − − − − − 即经过时间常数 后衰减了 再 过 后 时间常数 电阻上的电压 指数规律误衰减的 电路中电流 t 0 τ 2τ 3τ 4τ 5τ uc (t) U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05U0 0.D18 U0 0.0067 U0
工程上认为经过3τ--5τ衰减过程结束 U/R 0 0.368U 0.368U0/1 0.135U 0135U0/R T T T t 放电过程中,电容放能量,R吸收能量,全部吸收的能量: 2 t Wa=∫i(t)Rdt=∫("e)2Rdt=e"dt R 2t RC ∫e"sd (-)(-)=-cU(e) R RC 2 cU(0-1)=cU2
工程上认为经过3τ----5τ衰减过程结束 U0 uc uR 0 τ 2τ t 0.368U0 0.135U0 τ 2τ 0.368U0/R 0135U0/R t U0/R i 放电过程中，电容放能量，R吸收能量，全部吸收的能量： 0 2 0 2 0 RC 2t 0 2 0 RC 2t 2 0 0 RC 2t 0 2 2 0 t 0 0 2 R cU 2 1 cU (0 1) 2 1 - cU (e ) 2 1 ) - 2 RC )( - RC 2t e d( - R U e dt R U e ) Rdt R U W i (t)Rdt ( = − = = = = = = − − − −
例:图中所示开关S原在位置1,且电路已达稳态。t=0时开关由1合 向2,试求≥0的电流i(t) R R1=4 解:在t=0时,C开路相当于 2 Q2 4Q 10×4 10v 2pS(t=0+ 4v C=1F 2 2+4+4 (0)=u(0)=4v 换路后见(b,c通过R,R,放电 R1=4 并联等效电阻R= RR 49 R.+D=292 C=1F u τ=RC=2S u (t=u(0e= 4e u i(t)= 0.5t 注意:负号
例：图中所示开关S原在位置1，且电路已达稳态。t=0时开关由1合 向2，试求 的电流i（t） 。 。 。S（t=0） 1 2 R R1=4 uc R2 ＋ － 10V ＋ － 2Ω 4Ω C=1F 解：在t= 时，C开路相当于 − o c 0.5t 0.5t t c c 1 2 1 2 1 2 c c c e 4 u (t) i(t) u (t) u (0 )e 4e R`C 2S 2 R R R R R` (b),c R R u (0 ) u (0 ) 4v 4v 2 4 4 10 4 u (0 ) − − − + + − − = − = − = = = = = + = = = = + + = 并联等效电阻 换路后见 通过 放电 Ω R1=4 uc R2 ＋ － 4Ω C=1F Ω i （b） t 0 注意：负号
Ro s(t=O) 0 2、R、L电路的零输入响应:S倒 向2之前,电压和电流已恒定, Rr 电感中电流I=U/R=i1(0) L 在t=0时倒向2,由(b)知: (b) a l+u=0 l=Ri l=l 电路微分方程 dt L-+ri=o dt 令i=Ae"→Lp+R=0P i=Ae∵i()=f0)=L代入上式得A=i(0)=L i=i(0e=le u=Ri= RLe l L一=-RIe 时间常数 dt R
2 、 R 、 L电路的零输入响应： S 倒 向 2之前，电压和电流已恒定， 电感中电流 I 0=U 0/R 0=i L （ 0 -）， 在t=0 +时倒向 2，由（ b）知： 。 。 。 S （t=0 ） 1 2 R 0 u L ＋－ U 0＋－ u R iL u L＋－ R ＋－ （ a ） • （ b ） R • i 时间常数 代入上式得 令 电路微分方程 = = = = − = − − − = = = = = = = = + = = + = + = = = + + − +RL RI e dt di u Ri RI e u L i i(0 )e I e i Ae i(0 ) i(0 ) I A i(0 ) I LR i Ae Lp R 0 P - Ri 0 dt di L dt di u u 0 u Ri u L t LR- L 0 t LR- R 0 t LR- 0 t LR- 0 0 t LRpt R L R L
u R i uL t
