第十三章拉普拉斯变换 13-1拉氏变换定义 定义f(t)在0∞)有定义则 F(S)=f(t)e sdt F(s)=Lf(t 0 个象函数↑原函数)=L[f(t C十 拉氏反变换定义f(t) f(seds 2πjc-j
) ( ) F(s)e ds 2 j 1 f(t) f(t) L f(t) F S f(t)e dt F(s) L f(t) 0 13 1 s t c j c j -1 0 -s t + − = = = = − − 拉氏反变换定义 象函数 原函数 定 义 在 有定义 则 拉氏变换定义 f（t） 第十三章 拉普拉斯变换
例1求以下函数的象函数 (1)单位阶跃函数 (2)单位冲击函数 (3)指数函数 解(①):f(t)=e(t) F(S)=Lf(t]=E(t)e-st'dt ∫esdt= (2) f(t)=8(t). F(t=Lf(t]=j&(t)e"dt= 8(t)e"dt=1 ():()=e:F(s=I[(o小-1est=-1 S-a
( ) ( ) ( ) ( ) s 1 e dt F(S) L f(t) (t)e dt 1 f(t) (t) 3 2 1 1 0 s t 0 s t − − − − = = = = 解 = 指数函数 单位冲击函数 单位阶跃函数 例 求以下函数的象函数 ( ) ( ) − = = = = = = = = = − − + − − − − s f(t) e F(s) L f(t) e e dt f(t) (t) F(t) L f(t) (t)e dt (t)e dt t t s t s t s t 1 3 2 1 0 0 0 0
13-2拉氏变换的基本性质 1线性性质 [A, f,()+A, f, (0]=A, L[f(]+A, L[, (t]=AF(S)+A, F(S) CEL[A, f, (0)+A, f,(0=J[A, f, (0)+A,f, (tl"dt A, Sf edt +A, ff edt=A, F(s)+A, F(s) 例若)r(t)= sino(2)(t)=k(-e)求I 111 A(1): L[sino]=y( -eion)=2is-jo s+jo S+o (2)(-e=时ys+S、f KK S+a
( ) ( ) ( ) ( ) + = − + − = − + = + − − = = − = = − = + = + + = + + = + = + − − − − − − − − − − S K S K S K L k( e ) L K s ) s j s j ( j (e e ) j 1 L sin t L 1 f(t) sin t 2 f(t) k( e ) L f A f e dt A f e dt A F (S) A F (S) L A f (t) A f (t) A f (t) A f (t) e dt L A f (t) A f (t) A L f (t) A L f (t) A F (S) A F (S) t j t j t t s t s t s t 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 13 2 2 2 1 1 2 2 0 2 2 0 1 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 解 例 若 求 证 线性性质 拉氏变换的基本性质
2微分性质 若L[f(t=F(s)则L[rt)]=sF(s)-f(0-) 证明L[r(=medt dt 设e=u[r(]at=dv则du=se"dty=f() ∵∫udv=uv-∫vdu∴ df(t) dt e-dt=f(t)e/f((se")dt =-f(0-)+Sf((e")dt=sF(S)-f(0) 例应用导数性质求下列函数的象函数 Of(t)=cos(ot) (2)r(t)=8(t) d"=00000011tiot 解() dsinot dt
-f(0-) s f(t)(e )dt sF(S) f(0 ) e dt f(t)e f(t)( se )dt dt df(t) udv uv - vdu e u f (t) dt dv du -se dt v f(t) e dt dt df(t) L f (t) L f(t) F(s) L f (t) sF(s)-f(0-) 2 0 s t 0 s t 0 s t 0 s t s t s t 0 s t − − − − − − − − − − − − − = + = − = = − − = = = = = = = 设 则 证 明 若 则 微分性质 ( ) ( ) ( ) dt 1 dsin t cos( t) cos( t) dt dsin t 2 f(t) (t) 1 f(t) cos( t) = → = = = 解 1 例 应用导数性质求下列函数的象函数
Is 「1 d sin ot11(0 sin ot= cost」=L 0 s+0 o dt ∵8(0-)=0 ∵sin0=0 s+0 (2):8(t) de(t) e(t)]=∴L[(t)] d e(t)=s-0=1 dt S dt 3积分性质若]=F则[ ir(E)E]- F(S) 证令u=∫f(dtdy=e"dt则du=f()dtv if(t.e lt= F(s t是变量,S是常量, 积分上限t用0-代替
( ) ( ) ( ) s F(s) dt s e f(t) - s e f( )d e dt f( )d - s e u f(t)dt dv e dt du f(t)dt v - S F(S) 3 L f(t) F(t) L f( )d - 0 1 S 1 (t) s dt d L (t) L S 1 L (t) dt d (t) 2 (t) (0-) 0 sin0 0 s s 0 s s 1 dt 1 dsin t L cos t L s L sin t 0 -s t 0 -s t t 0 0 -s t t 0 -s t -s t t 0 2 2 2 2 2 2 = − = = = = = = = = = = = = = = + = − + = = + = − − − − − − 证 令 则 积分性质 若 则 t是变量，S是常量, 积分上限t用0-代替
例利用积分性质求(t)=t的象函数 解由于(0=t=|atEd:L[ro=1H(s)=1-=1 4延时性质若L[(t)=F(S)则I(t-t)=eF(S) 其中f(t-t0)=0当t<to时)令℃=t-t Lr++1=7g ∫f(t-te"dt=∫+∫=∫f(t-t)evdt ff(tetio'dt=es f(tedt=e F(s) 例求矩形波的象函数 解图中矩形脉冲可表示为(t)=ε(t)-E(t-τ):Ie(t)]= S 延迟性质Le(-)=e-→Ir e sto e S
2 1 1 1 1 S S S F(S) S f(t) t ( )d L f(t) f(t) t t0 = = = = = = 解 由于 例 利用积分性质求 的象函数 ( ) ( ) ( ) − − − − − − + − − − − − − − = → = − = − = = = = = = = + = = = = = s t s t s s t s t s s t t s t 0 t t00- s t 0 0 0 s t 0 e S e S S e L f(t) S L (t - ) S f(t) (t)- (t- ) L (t) f ( )e dt e f ( )e d e F(S) L f(t-t ) f(t-t )e dt f(t-t )e dt f(t-t0) 0 t t t -t L f(t) F(S) L f(t-t ) e F(S) 1 1 1 1 1 1 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 延迟性质 解图中矩形脉冲可表示为 例 求矩形波的象函数 其 中 当 时 令 延时性质 若 则 A τ f(t) t ·
13-3拉氏反变换的部分分式展开 思想:把象函数进行部分分式,求出每个分式的反变换(原函数) 例求F(S)= 2S+1 的原函数 s+7S2+10S 解∵F(S)= 2S+1 2S+1 S(S2+7s+10)SS+5S+2) 2s+1 KK K S(S+5)s+2) →Kl=0.1K2=-0.6K3=0.5 S: S+5 S+2 2S+1 0.1-0.60.5 2S+1 S+5+ =—十 + =0.1+0.5e-1-0.6e-t +2)S"S+5S+2 S(S+5)S+2)
13-3 拉氏反变换的部分分式展开 思想：把象函数进行部分分式，求出每个分式的反变换（原函数） ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0.1 0.5e 0.6e S S 5 S 2 2S 1 L S 2 0.5 S 5 0.6 S 0.1 S S 5 S 2 2S 1 K1 0.1 K2 0.6 K3 0.5 S 2 K S 5 K S K S S 5 S 2 2S 1 S S 5 S 2 2S 1 S S 7S 1 0 2S 1 F S S 7S 1 0S 2S 1 1 F S 5t 1 2t 1 2 2 2 1 3 2 − − − = + − + + + + + + − = + + + + → = = − = + + + = + + + + + + + = + + + = + + + = 解 例 求 的原函数
13-4运算电路 时域基尔霍夫定律Σi=0∑u=0 S域拉氏变换后(对上式(S)=0EU(S)=0 -基尔霍夫定律运算形式 I(S R 电阻元件 J(S)=RI(S)∵u=Ri +U(S) 电感元件()=L取拉氏变换和微分性质 dt 附加电 LD 源,其 u(t=LL di(t [=L[SI(S)-i(o dt 极性与I U(S)=SLI(S)-Li(0-)SL--称运算阻抗 反向。 Li(0-) 以O+电感的 t,u U(S) 运算电 路形式
( ) ( ) ( ) ( ) 称运算阻抗 电感元件 取拉氏变换和微分性质 电阻元件 基尔霍夫定律运算形式 域 拉氏变换后 对上式 时 域 基尔霍夫定律 运算电路 U(S) SLI(S) Li( ) SL---- L SI S i(0-) dt di(t) L u(t) LL dt di(t) u(t) L U(S) RI(S) u Ri S I S U S i u 0 = − − = − = == = − − = = = = − 0 0 0 0 13 4 I （ S ） R + U （ S ） - I sL － ＋ Li(0 - ) i uL ＋ － ○ U(S) ＋ － 电感的 运算电 路形式 附加电 源，其 极性与 I 反向
电容: 附加的电 u(t)=-∫i(tdt+u(0) 源,其正 极性与电 U(S)=11(S)+0 流一致 cs 1u(0) I(S C u U(S) C的运算电路
＋ - i C的运算电路 电容： s u( ) I(S) cs U(S) i(t)dt u( ) c u(t) t − − − = + = + 1 00 1 0 ○ ○ u ＋ - I （ S ） ○ ○ U （ S ） CS1 + - s u ( ) − 0 附加的电 源，其正 极性与电 流一致
耦合电感应包含互感M的作用 di ∴u1=I + M M dt dt di di u2=L22+M dt dt 两边取拉氏变换 U1(S)=SL1l1S)-L11(0)+SMI,(S)-Mi2(0) 有互 U2(S)=SL2l2(S)-L2i2(0)+SMI1(S)-Mi1(0) sM-互感运算阻抗 Mi1(0)Mi2(0)-附加电压源 I1(S) l2(S) O十 有两个附加电源 SM SL U1(S) SL L2i2(0-) 耦合电感的运算电路 Mi2(0 Mi(0-)
L2 i2 (0-) 附加电压源 互感运算阻抗 两边取拉氏变换 耦合电感 应包含互感 的作用 Mi (0 ) Mi (0 )---- s M --- U (S) SL I (S)-L i (0 ) SMI (S)-Mi (0 ) U (S) SL I (S)-L i (0 ) SMI (S)-Mi (0 ) dt di M dt di u L dt di M dt di u L M - 2 - 1 - 1 1 - 2 2 2 2 2 - 2 2 - 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 = + = + = + = + ○ ○ ○ ○ i1 i2 u1 ＋ ＋ - - u2 L1 L2 • • M ○ ○ ○ ○ I1 (S) I2 (S) U1 (S) ＋ ＋ - - U2 (S) SL1 L1 i1 (0-) Mi2 (0-) SL2 • • SM ＋ ＋ - - ＋ ＋ - - Mi1 (0-) 耦合电感的运算电路 － 有 两 个 附 加 电 源 有互 感