第八章相量法 8-1 复数 复数的代数式:F=a+jbj Re (F=a Im (F=b 、复数的矢量表示 a+1 3、复数的三角式: F=F(cos+jsin)F-复数的模6-辐角 a cOS 0b=Fsin0F=√a2+b 欧拉公式e=cos6+jsin0 4、指数式: F=Flee 、复数的极坐标式F=F∠0 6、复数加减用代数形式进行,若F1=a1+jb,F2=a2+jb2
Re〔F〕=a Im 〔F〕=b 2、复数的矢量表示 3、复数的三角式： 4、指数式： 5、复数的极坐标式 6、复数加减用代数形式进行，若 8-1 复数 1、复数的代数式：F=a+jb j= −1 F a b +j +1 F e cos jsin a F cos b F sin F a b F F(cos jsin ) F --- -- j 2 2 = + = = = + = + 欧拉公式 复数的模 辐 角 1 1 1 2 2 2 F = a + jb F = a + jb = = F F F Fe j 第八章 相量法
F±F2=(a1+jb,)±(a2+jb2) =(a1±a2)j(b,±b2) FF=Fei 2=FF(+2) F1F∠θ,F 1∠0.-9 F,F,∠0,F 也可用平行四边形法则 f,+F
1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 j( 1 2 ) 1 2 j 2 2 j 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 F F F F F F F F F e F e F F e (a a ) j(b b ) F F (a jb ) (a jb ) = − = = = = + = + + + 也可用平行四边形法则 F=F1+F2 F1 F2
8-2 正弦量 1、正弦量:电路中按正弦规律变化的电压或电流,统称为正弦量 对正弦量的描述可以采用正弦,也可采用余弦描述,本课程用cos i=Icos(ωt+ψ;) I-振幅(极大值) u 峰峰值2Im Gtψ—相角(相位)—角频率中初相(t=0时的相角) 2、有效值:周期量的有效值定义为:=1Hd
8-2 正弦量 1、正弦量：电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量 对正弦量的描述可以采用正弦，也可采用余弦描述，本课程用cos i=Imcos（ωt+ψi） Im---振幅（极大值） 峰峰值2Im ω t+ψi---相角（相位）ω---角频率 ψi--初相（t=0时的相角） 2、有效值：周期量的有效值定义为： i u ＋ － Im -Im = T 0 2 i dt T 1 I i t
对于正弦量i=Lcos(ot+y) I m cos(ot +y dt 12 1+cos[ 2( t+V)I dt 2 交流电器、交流电压表、电流表标 2 出的数值都是有效值 ∴.I=m=0.707I 2 示波器观察相位差:YA和Y通道, i=v2Icos(ot +y) 先达到极值点的为超前。 3、相位差:两个同频正弦量的相位之差 如:=√2Icos(otv u2=√U0ot+y)^等于初相 则i1与u2之间的相位差q=0-(ov)=w-.差 超前:若φ12>0则称i超前,否则1落后 若12 0 则称i1和u2同相 若p12=,正交若q12=π称、u2反相
i Icos( t ) . I I I I dt cos ( t ) I T I cos ( t )dt T I i I cos( t ) i m m m T i m T i 2 m i m = + = = = + + = + = = + 2 0 707 2 2 2 1 1 1 2 0 2 0 2 对于正弦量 *交流电器、交流电压表、电流表标 出的数值都是有效值 3、相位差：两个同频正弦量的相位之差 如： i I cos( t ) 1 = 2 1 + i u 2U cos( t ) 2 = 2 + u 则i1与u2之间的相位差 12 i u i u = t + − (t + ) = − 等于初相 差 超前：若 则称i1超前，否则i1落后 若 则称i1和u2同相 若 正交 若 称i = 1、u2反相。 = = 1 2 1 2 1 2 1 2 2 0 0 示波器观察相位差：YA和YB通道， 先达到极值点的为超前
q12 i1落后u2
φ12 i1 u2 i1落后u2
8-3相量法基础 正弦稳态电路:在线性电路中,若激励是正弦量,则电路中各 支路的电压和电流的稳杰响应将是同频率正弦量。若有多个激励 (都是同频正弦量)则叠加性质决定了电路中的电压、电流稳态响 应都是同频正弦量,处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路。 相量法是分析正弦电流电路稳态响应的一种有力工具。 、复指数函数: F=F j(ot+y) 欧拉公式F=Feo+y)=Fcos(ot+v)+ jF sin(otv) 取实部ReF]=Fcos(ot+v) 正弦量<复指数函数的实部一一对应 以电流=√2Icos(ot+v)为例子则 i=Re 2le j ejot=rel/2iejot 3、相量其中=le-电流相量 Ie是一个复数且与t无关是常数(复常数但它反映了正弦电流
8-3 相量法基础 1、正弦稳态电路：在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各 支路的电压和电流的稳态响应将是同频率正弦量。若有多个激励 （都是同频正弦量）则叠加性质决定了电路中的电压、电流稳态响 应都是同频正弦量，处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路。 相量法是分析正弦电流电路稳态响应的一种有力工具。 2、复指数函数： 是一个复数且与 无关是常数 复常数 但它反映了正弦电流 其 中 电流相量 以电流 为例子则 正弦量 复指数函数的实部一一对 应 取实部 欧拉公式 Ie t ( ) I Ie i Re 2Ie e Re 2Ie i 2I cos( t ) Re F F cos( t ) F Fe F cos( t ) jF sin( t ) F Fe i i i j j j j t j t j( t ) j( t ) + + = − − = = = + = + = = + + + = 3、相量
I.=√2Ieo+w) 2le jot e v21cos(ot+y)+jsin(ot+v) Re[I]=√lcos(ot+v) Relv2le jvi eio 复数指数分正弦量一一对应 I=I<电流相量
( ) ( ) ( ) ( ) 电流相量 复数指数 正弦量一一对应 = = = + = + + + = = + i j j t i j 1 i i i i j t j i j t 1 I Ie Re 2Ie e Re I 2Icos t 2I cos t jsin t 2Ie e I 2Ie
(有效值和初相),因为o往往是给定的,I和v定了,则定了, 所以给叫个名字--相量(电流) 相量是一个复数,它可用一个矢量表示,该矢量称矢量图, 相量可代表正弦量,因为一一对应 Y
（有效值和初相），因为ω往往是给定的，I和ψ定了，则i就定了， 所以给 取一个名字------相量（电流） 相量是一个复数，它可用一个矢量表示，该矢量称矢量图， 相量可代表正弦量，因为一一对应 i j Ie I +j +1 i I
4、正弦电流i用一个以角速度的旋转相量在实轴上投影表示, 画一个相量√2I,以旋转逆时针转,在实轴的投影为i i= Relv2Ie 1 j
4、正弦电流i用一个以角速度的旋转相量在实轴上投影表示， 画一个相量 ，以旋转逆时针转，在实轴的投影为i I 2 I +1 2 I +j t1 t2 t j t i Re 2Ie =
1、同频正弦量的代数和: 设,=√2Icos(ot+v,)i,=√2I2cos(ot+y,)+ 这些正弦量的和设为那么i=i,+i+… Rel2i, e ]+rel2i eion] =Re1+12+…)e-]但i=Re2e"] .I=I,+12+…合相量=各个分量相加 2、正弦量的微分:i=2Icos(otv) di d d Re 2Iejiot = rel2iole dt dt R2(i0)e"]即的相量为ol 3、正弦量的积分:设 积分的相量 =√2Icos(ot+v) guJ dt=Rel 2ie io]t=Re[ /2ieiotdt]-=Re v2.eiot dt
j I dt di Re 2(j I） e 2Ie Re 2j Ie dt d Re 2Ie Re dt d dt di i 2Icos( t ) I I I ... Re 2(I I ...)e i Re 2I e Re 2I e Re 2I e ... i, i i i ... i 2I cos( t ) i 2I cos( t ) ... j t j t j t j t i 1 2 j t j t 1 2 j t 2 j t 1 1 2 1 1 1 2 2 2 = = = = = + = + + = = + + = = + + = + + = + = + + 即 的相量为 合相量 各个分量相加 但 这些正弦量的和设为 那 么 设 1、同频正弦量的代数和： 2、正弦量的微分： 3、正弦量的积分：设 e dt j I idt Re 2Ie dt Re 2Ie dt Re 2 i 2I cos( t ) j t j t j t i = = = = + 则 j I 积分的相量