第十五章电路方程的矩阵形式 15-1割集 前面讨论了电路的分析方法:回路分析法、结点电压法、建立方程 当方程的个数少时,人工解可求出未知量,当电路方程多,只有 依靠计算机进行了--电路的计算机辅助分析与设计 就要求方程以矩阵的形式表示,怎样建立这种以矩阵表示的方程呢 割集:连通图G的一个割集是G的一个支路集合:1、当移去割集时, G分成两部分,2、若少一个,则图G仍将是连通的。 例如:图G的割集:Q1Q2Q3。。。Q7 Q1:a、d、偌若移去a、d、恻节点(1)与c、b、e构成两部分,移 去支路并不移去连接的两个节点。 但支路集合(a、d、e、f)和(a、b、c、d、e)则不是G的割集。 因为(a、d、e、f)若少移去一条支路,则G仍分成两部分,也即 须加两条才变成连通的
第十五章 电路方程的矩阵形式 15-1 割集 前面讨论了电路的分析方法：回路分析法、结点电压法、建立方程 ，当方程的个数少时，人工解可求出未知量，当电路方程多，只有 依靠计算机进行了----电路的计算机辅助分析与设计。 就要求方程以矩阵的形式表示，怎样建立这种以矩阵表示的方程呢？ 割集：连通图G的一个割集是G的一个支路集合:1、当移去割集时， G分成两部分，2、若少一个，则图G仍将是连通的。 例如：图G的割集：Q1 Q2 Q3。。。Q7 Q1 ：a、d、f若移去a、d、f则节点（1）与c、b、e构成两部分，移 去支路并不移去连接的两个节点。 但支路集合（a、d、e、f）和（a、b、c、d、e）则不是G 的割集。 因为（a、d、e、f）若少移去一条支路，则G 仍分成两部分，也即必 须加两条才变成连通的。 第十五章 电路方程的矩阵形式
② b hb b ①°e ① ④ ① d QI 移去割集G分成两部分 少移去一个仍连通 F Q5 h ① ① ① ④ Q3 f f
a b c d e F • • • • Q1 b c e • • • • a b c d e • • • • 少移去一个仍连通 移去割集G分成两部分 a b c d e f • • • • Q3 a b c d e f • • • • Q4 a b c d e f • • • • Q5 ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④
②Q7 b Q6 b ④① f 找割集的方法:用闭合曲面包某几个结点(但不可全包),则切割 的那些支路是一个割集 独立割集:方程数与割集数相等,因为KCL方程适合于任何曲面。 一个包含若干个结点的曲面可列一个KCL方程,总共可列出与割集 数相等的方程数,但这些方程数并不一定是线性独立的 与线性独立相对应的那些割集称为独立割集, 借助树确定独立割集的方法
a b c d e f • • • • Q6 a b c d e f • • • • Q7 找割集的方法：用闭合曲面包某几个结点（但不可全包），则切割 的那些支路是一个割集。 独立割集：方程数与割集数相等，因为KCL方程适合于任何曲面。 一个包含若干个结点的曲面可列一个KCL方程，总共可列出与割集 数相等的方程数，但这些方程数并不一定是线性独立的。 与线性独立相对应的那些割集称为独立割集， 借助树确定独立割集的方法： ① ② ④ ③ ① ② ③ ④
(1)与树对应的连支集合不能构成割集 因为移去全部连支,则剩下的是树,而树是连通的,不能分成两个 部分 (2)基本割集:(又称单树支割集) 条树支+相应的一些连支构成支路 集合。 对于下图中移去bt,则树分成两部分T和T2,所以连支L1、L2、L3 和树支bt构成割集。 对于n个结点,有n1树支,所以有(n-1)个基本割集,基本割集 是独立割集组。 对于n个结点,独立割集数有(n-1)个 a 独立割集组不唯一,因为选树不唯 bt G
（1）与树对应的连支集合不能构成割 集： 因为移去全部连支，则剩下的是树，而树是连通的，不能分成两个 部分 • • • • • • T1 T2 G bt L1 L2 L3 （2）基本割集：（又称单树支割集） 一条树支+相应的一些连支构成支路 集合。 对于下图中移去bt，则树分成两部分T1和T2，所以连支L1、L2、L3 和树支bt构成割集。 对于n个结点，有n-1树支，所以有（n-1）个基本割集，基本割集 是独立割集组。 对于n个结点，独立割集数有（n-1）个 独立割集组不唯一，因为选树不唯一 •
例:选(2346)为树,则基本割集组为Q1(21578)、Q2(3158) Q3(415)、Q4(6578) 独立割集数=树支数 Q 4 5 5 8 6 6 6 3 2 2 5 5 8 6 8 6 3 2
例：选（2346）为树，则基本割集组为Q1 （21578）、Q2（3158）、 Q3（415）、Q4（6578） 独立割集数=树支数 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 Q1 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 Q2 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 Q3 • • • • • 1 2 3 4 5 6 7 8 Q4
15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 、关联矩阵及有关方程: 相关联:一条支路连接两个结点, 3 4 称该支路与这两个结点相关联 ① 关联矩阵:Aa它的行--点 2 列-支路 每个元素定义如下:a12+1表示 支路K与结点关联且它的方向背结 离结点。 支路 1234526 a1=1表示支路k与结点关联且它 的方向指向结点。 1-1+1000 表示支路与结点无关联。Aa2001|10+1 +100+1+1 例:对于图15-4所示的有向图, 4-0+100-1 01 它的关联矩阵为:
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 一、关联矩阵及有关方程： 3 i3 4 i4 5 i 2 i 5 2 6 i6 1 i1 • • • • 相关联：一条支路连接两个结点， 称该支路与这两个结点相关联 关联矩阵：Aa它的行-----结点 列-----支路 每个元素定义如下：ajk=+1表示 支路K与结点j关联且它的方向背 离结点。 ajk=-1表示支路k与结点j关联且它 的方向指向结点。 ajk=0表示支路k与结点j无关联。 例：对于图15-4所示的有向图， 它的关联矩阵为： 1 2 3 4 5 6 1 -1 -1 +1 0 0 0 2 0 0 -1 -1 0 +1 3 +1 0 0 +1 +1 0 4 0 +1 0 0 -1 -1 Aa= 结 点 支 路 ① ② ③ ④
关联矩阵特点:1、每一列只有两个非零元素+1或-1 2、n个不是独立的 降阶关联矩阵:Aa的任一行划去而剩下的元素构成的矩阵 例:上面划去An第4行 4 5 此时,A中某一此列只有+1 或-1,这列必与划去的结点 1-1+1000 相关联一支路,相对应。被A[00+10+1 划去的行(结点),可当作+1100+110 参考结点 电路中b个支路电流用b阶列向量表示: 用A(mx左乘x得(n)行的列向1=12 i,2…in) 量 结点的21甲每二元素为对应结点上关联的支路电流代数和 而KCL=0任何一个结点的电流代数和为0 A=结点2的A1=0右边是0矩阵)
关联矩阵特点：1、每一列只有两个非零元素+1或-1 2、n个不是独立的 降阶关联矩阵：Aa的任一行划去而剩下的元素构成的矩阵 例：上面 划去An第4行 A= 1 2 3 4 5 6 1 -1 -1 +1 0 0 0 2 0 0 -1 -1 0 +1 3 +1 0 0 +1 +1 0 此时，A中某一此列只有+1 或-1，这列必与划去的结点 相关联一支路，相对应。被 划去的行（结点），可当作 参考结点。 电路中b 个支路电流用b阶列向量表示： 用A（n-1）×b左乘ib×1得（n-1）行的列向 量 ( ) T 1 2 b b 2 1 i ,i ...i i i i i = = ................. 2 i 1 i Ai = 结点 的 结点 的 (右边是 矩阵) 而 任何一个结点的电流代数和为 Ai 0 0 KCL 0 0 = = 即每一元素为对应结点上关联的支路电流代数和
例:上面的A则-i1-i2+i31「0 Ai= +1|=|0-1,-2+=0 +1+14+1 电路中b个支路电压可用b个阶列向量表示u=[u,u2…un (n-1个结点电压用n-阶列向量表示u=[ n n(n-1) A的每一列即A的每一行表示每一支路与对应结点相关联情况 ∴u=ATun---KVL的矩阵表示 u 101 U+u 3 取+1 u2 100 u 1 (3 u3||1-10m u u 例上面 n n2 u40一11 n2 -u. tung u u5001 n3 3 取 61010 n2
例：上面的A 则 i i i 0 0 0 0 i i i i i i i i i Ai 2 3 1 4 5 3 4 6 2 3 1 1 − − + = = + + + − − + − − + = 即 的矩阵表示 的每一列即 的每一行 表示每一支路与对应结点相关联情况 个结点电压用 阶列向量表示 电路中 个支路电压可用 个阶列向量表示 u A u KVL A A (n 1) n -1 u u u ...u b b u u u ...u n T T T n n1 n2 n(n-1 ) T 1 2 b = − − − − = = − + − − − + = − − − − = n2 n3 n2 n3 n1 n2 n1 n1 n3 n3 n2 n1 u u u u u u u u u u u u 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 u6 u5 u4 u3 u2 u1 例 上 面 （1） （3） u1 取-1 取+1○ ○
支路与回路相关联回路由这些支路构成则称这些与回路相关联 回路矩阵B定义B=+1回路中有该支路且方向一致 B=-1回路中有该支路且方向相反 Bjk=0无 独立回路矩阵独立回路的矩阵 23456 3 010-1I 选独立回路3个B= 2 11001 3b001-11 基本回路矩阵回路组对应一个树的单连支回路组B一个时路中只 一个连支其它为树支--构成一个回路 4 6 6 5[
--- B f 3 0 0 0 1 -1 1 2 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 -1 1 1 2 3 4 5 6 3 B Bjk B 1 B B 1 jk jk 一个连支 其它为树支 构成一个回路 基本回路矩阵 回路组对应一个树的单连支回路组 一个回路中只有 选独立回路 个 独立回路矩阵 独立回路的矩阵 无 回路中有该支路且方向相反 回路矩阵 定 义 回路中有该支路且方向一致 支路与回路相关联 回路由这些支路构成 则称这些与回路相关联 === − = +0 3 i 3 4 i 4 2 i2 5 i5 6 i 6 1 i 1 • • • • 3 6 5 1 1 3 6 2 2 6 45 3 ① ② ③ ④
例上图选356为树支则支路124即为连支 124356 1、连支放在前面 11001-11 Bf= 2、取连支方向为绕向 2010101 30010-11 3、将出现一个单位子矩阵 6 4 ① 6 2i2 2 1i1
3 0 0 1 0 -1 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 -1 1 1 2 4 3 5 6 Bf 356 124 = 例 上图选 为树支 则支路 即为连支 1、连支放在前面 2、取连支方向为绕向 3、将出现一个单位子矩阵 3 i3 4 i4 5 i5 2 i2 6 i6 1 i1 • • • • 3 6 5 1 1 3 6 2 6 4 5 3 2 ① ② ③ ④