第七章二阶电路 7-1二阶电路:用二阶微分方程描述的动态电路 设电容C原已充电其电压为U,电感中的初始电流为,t=0时,开 关S闭合,则此过程是二阶电路的零输入响应。KVL方程 uctuR+UL=O du du =RI=-RC u dt dt di UL. Uo L LC代入上式 dt du dt? tRod tu=O (1)--二阶常系数方程 dt 假设u=Ae"是解然后定Ap常数 特征方程LCP2+RCP+1=0 P≈RC±√(RC 4LC R R 2I 2L) LC
S （t=0） ( ) L LC R L R LC - RC RC LC P LCP RCP 1 0 u Ae A p u ( ) dt du RC dt d u Lc dt d u LC dt di u L dt du u Ri RC dt du i c 2 2 Pt c c c c c L c R c 1 2 2 2 4 0 1 2 2 2 2 2 − = − − = + + = = + + = − − − − − − = = − = − = = − 特征方程 假 设 是解然后定 常 数 二阶常系数方程 代入上式 7-1 二阶电路：用二阶微分方程描述的动态电路 设电容C原已充电其电压为U0，电感中的初始电流为I0，t=0时，开 关S 闭合，则此过程是二阶电路的零输入响应。KVL方程 -uc+uR+uL=0 。。 R ＋ uR u U0 c ＋ － L uL ＋ i － iL 第七章 二阶电路
R R R R 十 P 2L 2L LC 2L 2L LC (t=Ae+A, 初始条件u,(0)=u(0)=U。i(0)=i(0)=L du du dt dt t=0 C A+A=U P.A.+Pa 可定出A,A常数只讨论U0而=0的情况 A,=UA2A2÷、 QVAs pug 1.R>2非振荡过程 1(PPP-Pe-pel和画 PU
(p e p e ) P - P U e P - P P U e P - P P U u (t) C L 1 R 2 P - P P U A P - P P U A U - A A - A A C I P A P A A A U C I dt t 0 du dt du i c u (0 ) u (0 ) U i(0 ) i(0 ) I u (t) A e A e LC 1 2L R 2L R P LC 1 2L R 2L R P p2t 1 t 1 p 2 2 1 0 t 2 p 2 1 1 0 t 1 p 2 1 2 0 c 2 1 2 0 1 2 1 1 0 1 0 2 2 1 2 0 1 1 2 2 1 2 0 c c 0 0 - 0 - c c t 2 p 2 t 1 p c 1 2 2 2 1 = − = − = = = + = − + = = − = = − = = = = = + − − = − − = − + + + 非振荡过程 可定出 常 数 初始条件 只讨论U0≠0而I0=0的情况
R R 4L P 2L认2L)LC2LVR2C ∴p1<0同理p2<0 du CU.PP 电流i=-c e e 韦达定理pP2=LC (P2e-p2e"2) dt P-P L 放电过程必须经一个最大值,tn可由ddt=0 所以pe"-p2e=0 p
(p e p e ) P P U dt di u L LC 1 p p (e e ) L(P P ) U (e e ) P P cU P P dt du i -c p 0 p 0 ) R C 4L (1 1 2L R LC 1 2L R 2L R p t 2 p 2 t 1 p 1 2 1 0 L 1 2 t 2 t p 1 p 2 1 0 t 2 t p 1 p 2 1 c 0 1 2 1 2 2 2 1 − − = = − = − − − = − = = − − = − − − = − + 韦达定理 电 流 同 理 tm 。 uc i uL 放电过程必须经一个最大值，tm可由di/dt=0 所以 1 2 1 2 m p2t 2 p1t 1 p p p p ln t p e p e 0 − = − = t
例:如图所示电路中,已知Us=10V, R C=1uF,R=4K9L=1H,开关S原来闭 合在1,在t=0时,开关S由1 2处 求(1)u、u、i和u;(2) Us牛 L max 解:(1),L NC10-S2KQ.R=4KQ R>2放电过程是菲振荡的 且u(0)=U p1=-268 p2=-3732 (Pe-pe) (10.77e-0.773) i(t)=289(e1-e)
。 。 。 S（t=0） 1 2 － ＋ － Us R ＋ uc 例：如图所示电路中，已知US=10V， C=1μF，R=4KΩ L=1H，开关S原来闭 合在1，在t=0时，开关S由1 2处， 求（1）uc、uR、i和uL；（2）imax 解：（1） i(t) . (e e ) ( . e . e ) (P e p e ) P - P U u (t) p -3732 p -268 u (0 ) U U C L R K R 4K C L t t t t p t p t 2 1 0 c 2 1 c 0 s 268 3732 268 3732 2 1 1 2 6 2 89 10 77 0 773 2 2 10 1 2 2 − − − − + − = − = − = − = = = = = = = 且 放电过程是非振荡的 uL ＋ iL －
L,=(10.77e2-0.773e) (2)电流最大值发生在t时刻 1=760us =2.19mA maxx 2R<2振荡放电过程此时根号内<0:复数P,P一对共轭复数 令8 R R R 2L LC 2L 2L) LC Jo ∴P,=-8+j0p2=-8-j0 令0=)82+02阝=arcg。有8=0c0s0=sinB
( ) = = = + = = + = − − = − = = = − = = − = = = − − − arctg cos sin p - j p - j j 2L LC R L R LC 2L R 0 P P C L R 2 i . mA s p p p p ln t ( ) t ( . e . e ) dt di u L 0 0 2 2 0 1 2 2 1 2 max 1 2 m m t t L 令 有 令 振荡放电过程此时根号内 复 数 一对共轭复数 电流最大值发生在 时 刻 2 2 2 1 2 3732 268 1 2 1 2 2 19 760 2 10 77 0 773 0
B= cosB+Isin e 阝e-p=cosβ-jsinβ p=-0c0sB+jsinβ=-0(c0sβ-jsinβ) 0 (Pe P,t Pe2) U Oo e-t sin(ot+β) L du e sin ot 0 例:在受控热核研究中,需要强大的脉冲磁场,它是靠强大的脉冲 电流产生的,这种强大的脉电流可以由RLC放电电路产生,若已知: U0=15KV,C=1700F,R=6×104L=6×10H,试问: (1)、i(t)为多少? (2)、i(t)在何时达到极大值,求出imnx
e sin t L U i dt du i c e sin( t ) U (P e Pe ) P P U u p e e p cos jsin (cos jsin ) e cos jsin e cos jsin c t t P t P t c j j j j = − → = + = − − = = − = − = − + = − − = + = − − − − − 0 0 0 2 1 1 2 2 1 0 2 0 0 1 0 0 例：在受控热核研究中，需要强大的脉冲磁场，它是靠强大的脉冲 电流产生的，这种强大的脉电流可以由RLC放电电路产生，若已知： U0=15KV，C=1700μF，R=6×10-4Ω L=6×10-9H，试问： （1）、i（t）为多少？ （2）、i（t）在何时达到极大值，求出imax i uc uL β ωt
解:先算出6=R2L=5×1041/S R 2L′LCj3.09×10°rad/s β= arct(=1.4lrad p,p共轭复数属振荡放电情况 (1)电流为 i= e-o sin ot=8.09×10×esin(3.09×10°t)A 由极值点可知当ot=β达极大值 4.56μs时i达极大值 in=8.09×10 e n(3.09×103×4.56×10 =6.36×10°A
解：先算出δ=R/2L=5×1041/S . A i . e sin( . . ) t . s i i t e sin t . e sin( . t)A L U i (1) i p p arctg( ) . rad j . rad /s LC ) L R ( . max 0 t t 2 6 5 6 6 4 56 10 4 6 5 10 5 4 6 5 10 1 2 5 6 36 10 8 09 10 3 09 10 4 56 10 4 56 8 09 10 3 09 10 1 41 3 09 10 1 2 = = = = = = = = = = − = − − − − − 时 达极大值 由 的极值点可知 当 达极大值 电 流 为 共轭复数 属振荡放电情况
3、R=2临界情况此时特征根重根p,=p R 微分方程通解为 u(t)=(A1+A2 (0)=u(0)=U。 dudu i(0+)=i(0)=0 dt dt A,=U。[已假定L=0 A δe(A,+At)=0A2-8U。=0A2=8U du u u(t)=U(6t+1)e di Lx=Ue“(1-6t) dt 不振荡,是振荡非振荡的分界线,所以称临界非振荡过程
3、 U e (1 t) dt di u L te L U dt du u (t) U ( t 1)e i -c A e e (A A t) 0 A - U 0 A U A U 0 dt du dt du i(0 ) i(0 ) 0 i -c u (t) (A A t)e u (0 ) u (0 ) U 2L R p p C L R 2 - t L 0 - t c 0 - t c 0 1 2 2 0 2 0 - t - t 2 1 0 t 0 c c c c 0 - t c 1 2 1 2 = = − = + = = − + = = = = = = = = = + = = = = = − = − = + − + − 微分方程通解为 临界情况 此 时 特征根重根 不振荡，是振荡非振荡的分界线，所以称临界非振荡过程。 已假定I0=0
72二阶电路的零状态响应和阶跃响应 二阶电路的初始储能为0(即u。(0)=0,i(0)=0),仅由外施激 励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。 在图中,u(0-)=0i(0)=0t=0时,开关S打开 S|(t0) du di C i=Gu l=ll=l-L dt dt d i ∴LCm2+GL+i=i 二阶线性非齐次方程 dt dt 十 ↑特解↑齐次方程通解与零输入晌应相同
S（t=0） i i L C 7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应 二阶电路的初始储能为0（即uc（0 -）=0，i（0 -）=0），仅由外施激 励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。 在图中，uc（0-）=0 i（0 -）=0 t=0时，开关S 打开 ic+iG+iL=is i s 。 。 G C L iG 特 解 齐次方程通解与零输入晌应相同 二阶线性非齐次方程 = + + + = − − − = = = = i i i i i dt di GL dt d i LC dt di i Gu u u u L dt du i c L L L L s L 2 L 2 L G c c L L c c uL ＋ －
米二阶电路的阶跃响应:二阶电路在阶跃激励下的零状态响应,求解 方法与零状态响应相同。 :全(电路)响应:,零状态响应+零输入响应 例:在上图中,u(0-)=0,i(0-)=0,G2×103sC=1F, L=1H,i。=1A当t=0把开关S打开,试求阶跃响应i、u和i。 解:开关S的动作,相当于i=8(t)A阶跃函数 特征方程:LCP2+GLP+1=0 P2+G/C+1/LC=0代入数据 P1=P2=P=-10 因为P1、P2重根,临界状态 i=i1,+ L -IA L 齐次方程解 1=(A1+A2t)e见高数有关内容通解:p+(A,+A)e 七=0的初始条件1(0)=i(0)=0,fdi u(0)=:u(O)=0 代入初始条件:A1=1A2=-103所以
*二阶电路的阶跃响应：二阶电路在阶跃激励下的零状态响应，求解 方法与零状态响应相同。 *：全（电路）响应：零状态响应+零输入响应 例：在上图中，uc（0-）=0，iL（0-）=0，G=2×10-3S C=1μF， L=1H，is=1A当t=0把开关S打开，试求阶跃响应iL、uc和ic 解：开关S的动作，相当于is=ε（t）A阶跃函数 特征方程：LCP2+GLP+1=0 P2+G/C+1/LC=0代入数据 P1=P2=P=-103 因为P1、P2重根，临界状态 iL=iL`+iL`` iL`=1A iL``----齐次方程解 iL``=（A1+A2t）e Pt见高数有关内容 通解： t=0+的初始条件iL（0 +）=iL（0 -）=0， t 3 10 1 2 1 (A A t)e − + + 0 0 1 0 1 0 = = = + − u ( ) L u ( ) dt L di c c L 代入初始条件：A1=-1 A2=-103 所以