《信号与系统》CA课件 第四章(1) 通信与信息工程系 2004.0228
第四章(1) 《信号与系统》CAI课件 通信与信息工程系 2004.02.28
第四章连续时间系统的复频域分析 §4.1引言 频域分析的局限性 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于:它给出的 结果有着清楚的物理意义,但也有不足之处 1、要求信号绝对可积 U(t)、直流、周期信号的频谱均含有沖激项。 e“U(t)(a>0)无傅立叶变换存在。 2、求时域响应时需要做傅立叶反变换 1 f() F(O)eodo困难 2兀
第四章 连续时间系统的复频域分析 §4.1 引言 无傅立叶变换存在。 、直流、周期信号的频谱均含有冲激项。 、要求信号绝对可积 ( ) ( 0) ( ) 1 e U t a U t a t 一、频域分析的局限性 困难 、求时域响应时需要做傅立叶反变换 ( ) 2 1 ( ) 2 f t F j e d j t − = 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于:它给出的 结果有着清楚的物理意义,但也有不足之处
3、不能包含初始状态,只能求零状态响应yr(t) 频域分析的框图如图4.1-1所示 LTT yf(t) h(t) 响 F分 解 成 F(jO)·H(i)=Y() 图41-1
3 y (t) 、不能包含初始状态,只能求零状态响应 f f (t) y (t) f F( j) H( j) = Y( j) LTI 信 h(t) 号 分 解 响 应 合 成 F −1 F 频域分析的框图如图4.1-1所示 图4.1-1
复频域分析 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析,克服傅立叶 变换的缺点,扩大信号的变换范围,本章研究拉氏变 换法。 优点: 求解比较简单,特别是对系统的微分方程进行变换 时,初始条件被自动计入,因此应用更为普遍。 缺点 物理概念不如傅氏变换那样清楚
二、复频域分析 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析,克服傅立叶 变换的缺点,扩大信号的变换范围,本章研究拉氏变 换法。 •优点: 求解比较简单,特别是对系统的微分方程进行变换 时,初始条件被自动计入,因此应用更为普遍。 •缺点: 物理概念不如傅氏变换那样清楚
本章内容及学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换,然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于,以拉氏变换为工具对系统进行复频 城分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念,并根据他 们的分布研究系统特性,分析频率响应,还要简略介 绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比,便于理解与记忆
本章内容及学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换,然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于,以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念,并根据他 们的分布研究系统特性,分析频率响应,还要简略介 绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比,便于理解与记忆
§4.2拉普拉斯变换一—LT .从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(.乘以衰减因子e(σ为大于零的任意实数)后 容易满足绝对可积条件,依傅氏变换定义 F(o)=(,em]= I- I(e I e-jd 1O t dt + f() -o+jo)t e dt= F(o+jo) 令:σ+ja=s,具有频率的量纲称为复频率 则 F(=r("dt
一.从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ( ) = = − t F j F f t ( ) e 1 f t t t t ( )e e d −j + − − , : ( ), e ( ) 容易满足绝对可积条件 依傅氏变换定义 信号 f t 乘以衰减因子 − t 为大于零的任意实数 后 令: + j = s,具有频率的量纲, 称为复频率。 = F( + j) ( ) ( ) − − F s = f t t s t e d 则 1.拉普拉斯正变换 f t t t ( ) e d −( +j) + − = §4.2 拉普拉斯变换----LT
2.拉氏逆变换 F(o+jo)=f(e) dt=F()=f( e dt 对于f(e是F(+ja)傅里叶逆变换 (=(+ot 两边同乘以e f()= 1 ∫。1 Fo+Jo ioe(o+jo) d a 2丌 其中:s=a+j0;若o取常数,则ds=jdo 积分限:对→对: f() 1rr(de“as 2πiJa
2.拉氏逆变换 ( ) ( ) − − = + e d 2π 1 e t j t f t F j ( ) ( ) ( ) j e d 2π 1 j − + = + t f t F − + − j j : : 积分限:对 对s 对于 ( )e 是 ( j)的傅里叶逆变换 + − f t F t t 两边同乘以e 其中:s = + j ; 若取常数,则d s = jd ( ) ( ) + − = j j e d 2π j 1 f t F s s s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − + F + = f t t = F s = f t t t s t j e d e d j 所以
3.拉氏变换对 F(0=4U()厂(0= 正变换 0=EL=2r6逆变换 记作:/(F()f(为原函数,F(S称为象函数 考虑到实际信号都是因果信号,即信号从O时刻加入: F(jo)= (e odz 相应的单边拉氏变换为 F(-40/Oe"di
3.拉氏变换对 考虑到实际信号都是因果信号,即信号从0时刻加入: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = + − − − − j j 1 e d 2π j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t 逆变换 正变换 记作: f (t) F(s) 相应的单边拉氏变换为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = + − − − j j 1 0 e d 2 j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t π f (t)称为原函数,F(s)称为象函数。 F(jω) f (t) t ω t e d j 0 − 所以 =
二.拉氏变换的收敛 收敛域:使F(s)存在的的区域称为收敛域。 记为ROC( region of convergence 实际上就是拉氏变换存在的条件; lim f(e =0( o>oo) 其中。由f(t)性质决定 收敛轴 注:在实际工程中,只要把a 收敛区 的值取的足够大,上式总是可 以满足的,所以它们的拉氏变 收敛坐标 换都是存大的。本书只讨论单 边拉氏变换,其收敛域必定存 定,故在后面的说明中,一般 不在说明和注明其收敛域
二.拉氏变换的收敛 ( ) 0 lim f (t)e 0 σ σ σ t t = − → 收敛域:使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为:ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件; O σ jω σ0 收敛坐标 收敛轴 收敛区 其中σ0由f(t)性质决定。 注:在实际工程中,只要把σ 的值取的足够大,上式总是可 以满足的,所以它们的拉氏变 换都是存大的。本书只讨论单 边拉氏变换,其收敛域必定存 定,故在后面的说明中,一般 不在说明和注明其收敛域
例42-1考查因果信号f(t)=e(t)的拉氏变换及收敛域 (S+1)t 解F(s)= e u(te dt e s+lt s+1 0 上式积分只有在(Re[s]+1)>0即ReS]>-时收敛 如图42-2,此时 e()<>1 Re S+1 s O 图42-2
j 0 图4.2-2 −1 例4.2-1 考查因果信号f (t) = e −t U(t)的拉氏变换及收敛域 F s e U t e dt −t −st − 解 ( ) = ( ) 如图 ,此时 上式积分只有在( ) 即 时收敛 4.2 2 Re[ ] 1 0 Re[ ] 1 − s + s − − + − + + = = − 0 ( 1) ( 1) 0 | s 1 e e dt s t s t Re[ ] 1 1 1 ( ) − + − s s e U t t