《信号与系统》CA课件 第四章(1) 通信与信息工程系 2004.0228
第四章(1) 《信号与系统》CAI课件 通信与信息工程系 2004.02.28
第四章连续时间系统的复频域分析 §4.1引言 频域分析的局限性 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于:它给出的 结果有着清楚的物理意义,但也有不足之处 1、要求信号绝对可积 U(t)、直流、周期信号的频谱均含有沖激项。 e“U(t)(a>0)无傅立叶变换存在。 2、求时域响应时需要做傅立叶反变换 1 f() F(O)eodo困难 2兀
第四章 连续时间系统的复频域分析 §4.1 引言 无傅立叶变换存在。 、直流、周期信号的频谱均含有冲激项。 、要求信号绝对可积 ( ) ( 0) ( ) 1 e U t a U t a t 一、频域分析的局限性 困难 、求时域响应时需要做傅立叶反变换 ( ) 2 1 ( ) 2 f t F j e d j t − = 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的 结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处
3、不能包含初始状态,只能求零状态响应yr(t) 频域分析的框图如图4.1-1所示 LTT yf(t) h(t) 响 F分 解 成 F(jO)·H(i)=Y() 图41-1
3 y (t) 、不能包含初始状态，只能求零状态响应 f f (t) y (t) f F( j) H( j) = Y( j) LTI 信 h(t) 号 分 解 响 应 合 成 F −1 F 频域分析的框图如图4.1-1所示 图4.1-1
复频域分析 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析,克服傅立叶 变换的缺点,扩大信号的变换范围,本章研究拉氏变 换法。 优点: 求解比较简单,特别是对系统的微分方程进行变换 时,初始条件被自动计入,因此应用更为普遍。 缺点 物理概念不如傅氏变换那样清楚
二、复频域分析 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，克服傅立叶 变换的缺点，扩大信号的变换范围，本章研究拉氏变 换法。 •优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换 时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 •缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚
本章内容及学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换,然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于,以拉氏变换为工具对系统进行复频 城分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念,并根据他 们的分布研究系统特性,分析频率响应,还要简略介 绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比,便于理解与记忆
本章内容及学习方法 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正 变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频 域分析。 最后介绍系统函数以及H(s)零极点概念，并根据他 们的分布研究系统特性，分析频率响应，还要简略介 绍系统稳定性问题。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆
§4.2拉普拉斯变换一—LT .从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(.乘以衰减因子e(σ为大于零的任意实数)后 容易满足绝对可积条件,依傅氏变换定义 F(o)=(,em]= I- I(e I e-jd 1O t dt + f() -o+jo)t e dt= F(o+jo) 令:σ+ja=s,具有频率的量纲称为复频率 则 F(=r("dt
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ( ) = = − t F j F f t ( ) e 1 f t t t t ( )e e d −j + − − , : ( ), e ( ) 容易满足绝对可积条件 依傅氏变换定义 信号 f t 乘以衰减因子 − t 为大于零的任意实数 后 令: + j = s,具有频率的量纲, 称为复频率。 = F( + j) ( ) ( ) − − F s = f t t s t e d 则 1．拉普拉斯正变换 f t t t ( ) e d −( +j) + − = §4.2 拉普拉斯变换----LT
2.拉氏逆变换 F(o+jo)=f(e) dt=F()=f( e dt 对于f(e是F(+ja)傅里叶逆变换 (=(+ot 两边同乘以e f()= 1 ∫。1 Fo+Jo ioe(o+jo) d a 2丌 其中:s=a+j0;若o取常数,则ds=jdo 积分限:对→对: f() 1rr(de“as 2πiJa
2．拉氏逆变换 ( ) ( ) − − = + e d 2π 1 e t j t f t F j ( ) ( ) ( ) j e d 2π 1 j − + = + t f t F − + − j j : : 积分限：对 对s 对于 ( )e 是 ( j)的傅里叶逆变换 + − f t F t t 两边同乘以e 其中:s = + j ; 若取常数，则d s = jd ( ) ( ) + − = j j e d 2π j 1 f t F s s s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − − + F + = f t t = F s = f t t t s t j e d e d j 所以
3.拉氏变换对 F(0=4U()厂(0= 正变换 0=EL=2r6逆变换 记作:/(F()f(为原函数,F(S称为象函数 考虑到实际信号都是因果信号,即信号从O时刻加入: F(jo)= (e odz 相应的单边拉氏变换为 F(-40/Oe"di
3．拉氏变换对 考虑到实际信号都是因果信号，即信号从0时刻加入： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = + − − − − j j 1 e d 2π j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t 逆变换 正变换 记作: f (t) F(s) 相应的单边拉氏变换为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = + − − − j j 1 0 e d 2 j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t π f (t)称为原函数，F(s)称为象函数。 F(jω) f (t) t ω t e d j 0 − 所以 =
二.拉氏变换的收敛 收敛域:使F(s)存在的的区域称为收敛域。 记为ROC( region of convergence 实际上就是拉氏变换存在的条件; lim f(e =0( o>oo) 其中。由f(t)性质决定 收敛轴 注:在实际工程中,只要把a 收敛区 的值取的足够大,上式总是可 以满足的,所以它们的拉氏变 收敛坐标 换都是存大的。本书只讨论单 边拉氏变换,其收敛域必定存 定,故在后面的说明中,一般 不在说明和注明其收敛域
二．拉氏变换的收敛 ( ) 0 lim f (t)e 0 σ σ σ t t = − → 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； O σ jω σ0 收敛坐标 收敛轴 收敛区 其中σ0由f(t)性质决定。 注：在实际工程中，只要把σ 的值取的足够大，上式总是可 以满足的，所以它们的拉氏变 换都是存大的。本书只讨论单 边拉氏变换，其收敛域必定存 定，故在后面的说明中，一般 不在说明和注明其收敛域
例42-1考查因果信号f(t)=e(t)的拉氏变换及收敛域 (S+1)t 解F(s)= e u(te dt e s+lt s+1 0 上式积分只有在(Re[s]+1)>0即ReS]>-时收敛 如图42-2,此时 e()<>1 Re S+1 s O 图42-2
j 0 图4.2-2 −1 例4.2-1 考查因果信号f (t) = e −t U(t)的拉氏变换及收敛域 F s e U t e dt −t −st − 解 ( ) = ( ) 如图 ，此时 上式积分只有在（ ） 即 时收敛 4.2 2 Re[ ] 1 0 Re[ ] 1 − s + s − − + − + + = = − 0 ( 1) ( 1) 0 | s 1 e e dt s t s t Re[ ] 1 1 1 ( ) − + − s s e U t t
