第8章系统的状态变量分析 §81状态方程 输入一输出法(端口法) 研究单输入-单输出系统 着眼于系统的外部特性; 基本模型为系统函数,着重运用频率响应特性的 概念。 状态变量分析法 °产生于20世纪50至60年代 卡尔曼( REKalman)引入 利用状态变量描述系统的内部特性; 运用于多输入-多输出系统 用n个状态变量的一阶微分(或差分)方程组来 描述系统
一．输入－输出法（端口法） •研究单输入－单输出系统； •着眼于系统的外部特性； •基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的 概念。 •产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来 描述系统 。 二．状态变量分析法 第8章 系统的状态变量分析 §8.1状态方程
状态变量分析法优点 (1)提供了系统的内部特性以供研究; (2)-阶微分(或差分)方程组便于计算机进行 数值计算; (3)便于分析多输入-多输出系统; (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统; (5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念
三．状态变量分析法优点 (1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行 数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统； (5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念
例8-1 elt c=v 输入:e(t)输出:vc(t) 微分方程(输入-输出描述法): :()+2()+12()=a20 dt dt 其中 R 2 LC
例8-1 e(t) R L C + − v (t) C 微分方程（输入－输出描述法）： e(t) v (t) 输入： 输出： C ( ) v (t) v (t) e(t) t v t t C C C 2 0 2 2 0 2 d d 2 d d + + = L LC R 1 2 = 0 = 其中
以c(i1(为变量列方程 R1(t)+Li1()+v()=e( vc(=tl i(edt d 写为 dt d R )-v()+,e() dt L L L )=i1() dt
以vC (t),i L (t)为变量列方程： ( ) i (t) v (t) e(t) t RiL t + L L + C = d d ( ) ( ) − = t C L i t t C v t d 1 ( ) i (t) C v t t C L 1 d d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = − − + i t C v t t e t L v t L i t L R i t t C L L L C 1 d d 1 1 d d 写为
写为矩阵形式: d R dt ( +L ( d C dt 只要知道iL(t)2v(t)的初始状态及输入e()即可完全确 定电路的全部行为。 输出方程 r()={0 21(t) 此方法称为状态变量或状态空间分析法; i(t),vc(t)为状态变量
( ) ( ) ( ) ( ) L e(t) v t i t C L L R v t t i t t C L C L + − − = 0 1 0 1 1 d d d d 写为矩阵形式： 只要知道 的初始状态及输入 即可完全确 定电路的全部行为。 i (t), v (t) L C e(t) 输出方程 = ( ) ( ) ( ) 0 1 v t i t r t C L 此方法称为状态变量或状态空间分析法； i L (t), vC (t) 为状态变量
四.名词定义 状态:表示动态系统的一组最少变量(被称为状态 变量),只要知道t=t时这组变量和t≥t时的输 入,那么就能完全确定系统在任何时间t≥t0的行为 状态变量:能够表示系统状态的那些变量称为状态 变量。例如上例中的i1(t)v(D) 状态矢量:能够完全描述一个系统行为的k个状态变 量,可以看作矢量的各个分量的坐标。称为 状态矢量。 状态空间:状态矢量A(t所在的空间。 状态轨迹:在状态空间中状态矢量端点随时向变化 而描出的路径称为状态轨迹
四．名词定义 状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态 变量），只要知道 时这组变量和 时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 的行为。 0 t = t 0 t t 0 t t 状态变量：能够表示系统状态的那些变量称为状态 变量。例如上例中的 i L (t), vC (t) 。 状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变 量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。 称为 状态矢量。 (t) (t) 状态空间：状态矢量 (t) 所在的空间。 状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹
状态方程:状态变量的方程叫做状态方程,它是用状态变量和激励 表示的一组独立的一阶微分方程。 ①每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激 励信号的函数; ②每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数; ③通常选择动态元件的输出作为状态变量,在连续系统中是选积 分器的输出。 输出方程:由状态变量和激励来表示各个输出的方程组,它是 代数方程 动态方程:状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程
状态方程：状态变量的方程叫做状态方程，它是用状态变量和激励 表示的一组独立的一阶微分方程。 输出方程：由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是 代数方程 动态方程：状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程 ①每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激 励信号的函数； ②每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数； ③通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积 分器的输出
五.动态方程的一般形式 一个动态连续系统的时城数学模型可利用信号的各阶导 数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的 联立一阶微分方程组,即 2(t0)} m个输入信号 r个输出信号 1(O2()…,()为系统的个状态变量
五．动态方程的一般形式 一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导 数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的 联立一阶微分方程组，即 e (t) 1 e (t) 2 e (t) m . . . r (t) 1 r (t) 2 r (t) r i (t 0 ) (t) (t) (t) k , , , 1 2 为系统的k个状态变量。 m个输入信号 r个输出信号
状态方程 d 4()=f{21(2()…,4(e1()e2()…,en()4 dt d4(0A[2()2()…(e(O4=(….0小 d ()=f2()2()…,42(te()e2(0)…en()4 dt 输出方程 r(t)=h[21()2()…,4(t)e1()e2(t)…,en(小 2()=h2[2()2()…,2():(t)e2()…,en( h[2()2(),…,2(e(e2()…,en(0)4
状态方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = t f t t t e t e t e t t t t f t t t e t e t e t t t t f t t t e t e t e t t t k k k m k m k m , , , ; , , , , d d , , , ; , , , , d d , , , ; , , , , d d 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = r t h t t t e t e t e t t r t h t t t e t e t e t t r t h t t t e t e t e t t r r k m k m k m , , , ; , , , , , , , ; , , , , , , , ; , , , , 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 输出方程
如果系统是线性时不变的,则状态方程和输出方程是 状态变量和输入信号的线性组合,即: d 41()=a11()+a12() …+a1 d t +6 +b 12 d ∴+a d t +b2e1(t)+ d 2(t)=a11()+a22()+…+aM d t +b2e1()+b2e2()+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + b e t b e t b e t t a t a t a t t b e t b e t b e t t a t a t a t t b e t b e t b e t t a t a t a t t k k km m k k k kk k m m k k m m k k 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 d d d d d d 如果系统是线性时不变的，则状态方程和输出方程是 状态变量和输入信号的线性组合，即：