桂林电子科技大学：《CAI课件—信号与系统》第三章（3-7） 周期信号的傅立叶变换

《信号与系统》(A谢件 通信与信息工程系 第三章(3) 制作 2004.0228

第三章(3) 2004.02.28

§3.7周期信号的傅立叶变换 引言 周期信号: f()4>傅里叶级数-F(mo)离散谱 非周期信号: f()4傅里叶变换-F(o)连续谱 周期信号的傅里叶变换如何求? 与傅里叶级数的关系? 周期 f非周期 统一的分析方法:傅里叶变换

周期信号： 非周期信号： 周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？ f (t)傅里叶级数− F(j n) 离散谱 f (t)傅里叶变换− F(j) 连续谱 ( ) 统一的分析方法：傅里叶变换 非周期 周期       f t 引言 §3.7周期信号的傅立叶变换

正弦信号的傅里叶变换 由欧拉公式 coS Oot Jou+e snoot 00t 已知 1分2() 由频移性质 42元00-0 1·e 1@o t )2丌o+m cos 00t652r 60-00) 同理 sinat+>-jrt8(0-0o)+in 8(0+o)

由欧拉公式 由频移性质 一．正弦信号的傅里叶变换 ( ) ( ) t t t t t t 0 0 0 0 j j 0 j j 0 e e 2 j 1 sin e e 2 1 cos       − − = − = + 1 2π  () ( ) ( ) 0 j 0 j 1 e 2 1 e 2 0 0             +   − − t t  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2π 0 2π 0 π 0 π 0 2 1 cos t    − +   + =   + +   − 同理 ( ) ( ) 0 0 π 0 sin t  − jπ   − + j   + 已知

频谱图 COs@>7[8(a+0o)+5(@@o) cos Ot频谱图: Fgjo) sin@ot+)-jnSo-0o)+jr d(o+oo) sina2t频谱图 FgjOI Oo 2

cos π ( ) ( ) 0    +0 +  −0 t ( ) ( ) 0 0 π 0 sin t  − jπ   − + j   + 频谱图 cos : 0 t 频谱图 sin : 0 t 频谱图   0 −0 () 2  2  − o −0  0  (π ) (π ) F()   O |F(jω)| −0  0  (π ) (π ) F()   o |F(jω)|

般周期信号的傅里叶变换 设信号周期:T 由傅里叶级数的指数形式出发:A=∑(mkm n=-00 其傅氏变换(用定义) F(0)=F[fr( F>FUn@ )einon=2E, no, F[ no I ∑Fn(mo)2x(0-no) =2∑F(mo)8(a-nm)

由傅里叶级数的指数形式出发： 其傅氏变换(用定义) 二．一般周期信号的傅里叶变换 1 1 2π :  设信号周期 T = ( )  ( )  =− = n j n t n f t F j n 1 e T 1   ( )  ( ) ( ) ( )   n t n n t F Fn j n F j n F F j F f t 1 1 j 1 j 1 T T e e         −  − =      = = ( ) ( ) 1 π 1 = Fn j n 2   − n  − ( ) ( ) π 1 1 = 2 Fn j n   − n  −

几点认识 Fr(a)=22F,(no,) d(o-no,) (1)f(频谱由冲激序列组成 位置:O=nm1(波频率 强度:2F(mon)与F,(m)成正比,离散谱 (2)谱线的幅度不是有限值,因为F(o)表示的是频谱密度 周期信号的F(o)只存在于O=no处 频率范围无限小幅度为o

(1) ( ) ; f T t 的频谱由冲激序列组成 位置: (谐波频率)  = n1 强度: 2πFn (j n1 ) 与Fn ( j n1 )成正比, 离散谱 几点认识 (2) 谱线的幅度不是有限值 , 因为F(j)表示的是频谱密度。 ( ) , 周期信号的F j 只存在于 = n1 处 频率范围无限小,幅度为。 ( ) ( ) ( ) T π 1 1 F j = 2 Fn j n   − n  −

三、如何由F(o)求Fn(mO 即单个脉冲的F(o)与周期信号()的谱系数F(ma)关系 J() fr(t 设f()<>F(/o)F5(o)=[2/(k-dt G()=∑F(me F (m)=7(知md(2)

即单个脉冲的 F0 (j)与周期信号f T (t)的谱系数Fn (j n1 )的关系 f (t) 0 t 2 T − 2 T f (t) T −T o T t o f (t) F (j) 0 0 设  ( ) ( )e d (1) 2 2 j 0  0 − − = T T t F j f t t   (j ) ( ) 三、如何由F0  求Fn j nω ( ) ( ) ( ) ( )        = =   − −  =− 2 2 j 1 1 j 1 e d (2) 1 e 1 1 T T n t n T n n t T n f t t T F j n f t F j n    

(o)=2(d f()=∑F( in@, )eino A:(m)=1 dt(2) n 比较式(1)2)f()分() 在-,,7()与,()相同所以:(m)=(l 0=no 可由F(o)求周期函数f()的谱系数F(man)

比较式(1),(2) ( ) ( ) ( ) ( )        = =   − −  =− 2 2 j T 1 1 j T 1 e d (2) 1 e 1 1 T T n t n n n t n f t t T F j n f t F j n     f (t) f (t) n 0 T 1     在 内f (t)与f (t)相同 T T 0 T 2 , 2       − ( ) ( ) 1 0 1 1 1     n F j T Fn j n = 所以 = ( ) ( ) ( ) 0  T 1 可由F j 求周期函数 f t 的谱系数 Fn j n ( ) ( )e d (1) 2 2 j 0  0 − − = T T t F j f t t  

周期信号的傅立叶变换 Fn no)=d fo ge O=nol F(a)=22E(nO)d(o-no,)

周期信号的傅立叶变换 ( ) ( ) 1 0 1 1 1     n F j T Fn j n = = ( ) ( ) ( ) T π 1 1 F j = 2 Fn j n   − n  −

例1周期单位冲激序列的傅里叶变换 () oo 6()=∑o(-n7) )0)())() 2T-T 0 T 2T 因为()41 所以1()傅氏级数谱系数(m0)= F(o)=()=2n∑F(mon)6(o-nan)=a∑6(o-m n=-00

( )  ( )  =−  = − n  T t  t nT1 例1 周期单位冲激序列的傅里叶变换 t (t)  T (1) (1) (1) (1) (1)      − 2T1 −T1 T1 2T1   o 因为  (t)1 所以  T (t)的傅氏级数谱系数 ( ) 1 1 1 T F jn n  = ( )  ( )    =−  =− = = − = − n n n F j F t 2 F ( j n ) ( n ) ( n ) T 1 1 1  1         