桂林电子科技大学：《CAI课件—信号与系统》第三章（3-4） 非周期信号的频谱分析

《信号与系统》(A[课 通信与信息工程系 第三章(3) C 创新基地 http://sctc.gliet.educn 联合制作 2000.09.28

第三章(3) 2000.09.28

§3.4非周期信号的频谱分析 傅立叶变换(FT) 从傅立叶级数到傅立叶变换 fn(t)=∑F( no)em…① F, (no)=jaf,(e m dt 当T→>∞ o 2入aF1->E T :既然复振幅都为无穷小量,但它们并不是同样大小,其相 对值之间仍有差别,为表征这种差别,引入一个新的物理量 频谱密度函数 FUo) lim TF(F F) T T

 ①  − = j n t T n f t F jn e 0 ( ) ( )0   = − 2 − ② 2 0 0 ( ) 1 ( ) T T j n t n f t t e dt T F jn   当T →      = =  Fn → T 2 0 §3.4非周期信号的频谱分析 ---傅立叶变换(FT） 一、从傅立叶级数到傅立叶变换 注意：既然复振幅都为无穷小量，但它们并不是同样大小，其相 对值之间仍有差别，为表征这种差别，引入一个新的物理量---- 频谱密度函数： F) T 1 (F lim ( ) = n = → TF n F j T 

出②式有F0)-m7.fOk-moah T o q 由①式有 fOt\ lim 2 F() mon T->∞2 T lim F(in。),o△ 2 f(2)1 F(oedo ●@0 (4 2兀

由②式有 dt jnωt f (t)e T T T F(j T T T 0 2 2 lim 1 ) −   → =  − 0 0 0 0 0 2 lim ( ) lim ( ) ( )       =   =   −  − → → j n t j n t e F jn e T F jn f t T T 由①式有 0  dt③ j t F(j ) f(t)e T nω ω -   −  =     → →  ④   f t F j e d j t  =   − ( ) 2 1 ( )

yne t t f()=∑F(mol①F(mo)=n( d② T m03rFo)y10i0④F(o)=f mt③ 2丌 将③、④和①、②比较: 结论:1、④表示非周期信号可分解一系列连续的角频率 为ω的指数信号的迭加 求和变成积分,离散谱变 成连续谱。 2、指数信号的复振幅为F(o),其中F(jo)的物理含义 可由定义得到。 即:F(jO) T>o0 TF_lim 2TF lim F △m00△04f 可见,F(jω)表示单位频带的复振幅 频谱 密度函数(频谱)

将③、④和①、②比较： 结论：1、④表示非周期信号可分解一系列连续的角频率 为ω的指数信号的迭加-------求和变成积分，离散谱变 成连续谱。 2、指数信号的复振幅为 ，其中F(jω)的物理含义 可由定义得到。   2 F( j ) ( ) =  ( 0 ) 0 ①  − jn t f t F jn e T n    ② − = − 2 2 0 0 ( ) 1 ( ) T T n t dt jn t f t e T F jn   ( ) ④ 2 1 ( )     d j t f t =  F j e  − dt ③ j t F(j ) f(t)e -   − =    f F F TF n n n f  =  = = →  →  → lim lim 2 lim F(j ) T 0  0   即：  可见，F(jω)表示单位频带的复振幅------频谱 密度函数（频谱）

3、非周期信号f(t)和它的频谱密度函数之间有 一对应关系 “付氏变换对”,两者可以互 求 F(jo)=f(t)e dt>F()=FI(tI f(t= Foe odo> f(t=F-lFgoJ 2丌 即 f(<>FGo)

3、非周期信号f (t)和它的频谱密度函数之间有一、 一对应关系----------“付氏变换对”，两者可以互 求： ( ) ( ) [ ( )] 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 1         f t F j e d f t F F j F j f t e dt F j F f t j t j t  − −  − − =  → = =  → = 即 f (t)  F( j)

频谱密度函数F(jω)的特性 1、f(t)为实函数,F(jω)一般是o的复函数。 =R(O)+jX(o)=FGo)leito ()sin tdt F(o)=f(e io dt=/(Cos ondt-iJo5C 其中 R(O)=R(-O)实部为o的偶函数 X(O)=-X(O)虚部为o的奇函数 F(O)=F(O}=F(-O)模为o的偶函数 O)=-(-o)幅角为o的奇函数 画出F()≈O的关系--信号的振幅谱 0(o)≈的关系-倍号的相位谱

二、频谱密度函数F(jω)的特性 1、f(t)为实函数，F(jω)一般是ω的复函数。 F j f t e dt j t   − − =  ( ) ( )    −  − = f (t)Costdt − j f (t)sin tdt = R() + jX() -j ( ) | F(j )| e   =  虚部为 的奇函数 实部为 的偶函数 其中，       X( ) -X(- ) R( ) R(- ) = = 幅角为 的奇函数 模为 的偶函数          ( ) - (- ) F( ) | F(j | ( ) = = = F − 的关系 信号的相位谱 画出 的关系 信号的振幅谱 ( ) ---- F( ) ----       

2、实偶函数的频谱是实偶函数 即f(t)=f(-t),则F(ju)=R() 3、实奇函数的频谱是虚奇函数(smu奇函数 即f()=f(+1),则F(j)=X( (o)=0 f( CoSt--奇函数 R()=0 4、偶函数的频谱是偶函数 即f(t)=f(+),则F(-j)=F 证明 F(10)=f(eh令t=7 If(re dr=l f(e odr=F(o)

2、实偶函数的频谱是实偶函数 即 f (t)= f (- t ) , 则F(jω)=R(ω) 3、实奇函数的频谱是虚奇函数 即 f (t)= -f (-t) , 则F(jω)=jX(ω) 4、偶函数的频谱是偶函数 即 f (t)= f (-t) , 则F(-jω)=F(jω) 证明： ∵f (t) Sinωt ---奇函数 ∴ X(ω)=0 ∵f (t)Cosωt ---奇函数 ∴ R(ω)=0    − +  − − −  − = − = = − = = - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t -           f e d f e d F j F j f t e dt j j j t 令

解:Fn=Sa(1onx Flow) 2 , aT FGO)=TF=TSa) 2 G2()<>Sa( G2() 例1求G;()的频谱F(o) 0

三、求取频谱的方法 F j f t e dt jt   − − ( ) = ( ) ① 根据周期信号的复振幅求F(jω) F(jω) = T Fn 把 nω0 ----> ω ② 根据定义： ③ 借助常用信号的频谱及FT性质 5、奇函数的频谱是奇函数 即 f (t)= -f (- t) , 则F(-jω)= - F(jω) 例1.求 ( ) F(j) G t 的频谱 G (t)  t 0 2  2  − 1 ) 2 ( ) (   G t  Sa 即 ω  2 0 ) F(jω) 2 F ( 0 n  n  Sa T 解 = ) 2 F(j ) TF ( n    = =Sa

例2求8(t)的频谱F(jo) δ(t) 解:F(o)=F[(1)=()eot =d(t)1at=1 F(jO)↑ 6(t)<>1

t  (t) 0 1 F(j) 0 ω 例2.求 (t)的频谱 F(j) t t e dt j t    − = = - F(j ) F[ ( )] ( )  解：    ( ) 1 1 - =  =     t dt  (t) 1

F(0)」J(Osdt=H[ f()=FGobioldo=F-FGo) 这里将Fo)称做f(t)的傅立叶变换, 而f(称做F(jo)的

( ) ( )e d  ( ) j F j f t t F f t t = =   − −   ( )   ( )   f t F j e F F j j t 1 d 2 1 ( ) −  − = =  简写 f (t) F(j) 这里将F(jω)称做f(t)的傅立叶变换， 而f(t)称做F(jω)的傅立叶逆变换 ① ②