第六章高散系统的/域分析 §6.1Z变换 、Z变换的定义 单边变换X(2)=∑x(n)zn n=0 双边变换X(z ∑ x(n)3 n:
一、Z变换的定义 = − = − = = － 双 边 变 换 单 边 变 换 n n n n z X z x n z z X z x n z ( ) ( ) ( ) ( ) 0 第六章 离散系统的Z域分析 §6.1 Z变换
对z变换式的理解 X(z)= ∑ x(n)z =-00 (-2)乙2+x(-1) x( 2 z的正幂 +x(0)z0+x(1)z+x(2)z-2+…x(n)zm+ z的负幂 X(z)是z的幂级数 级数的系数是x(n) 幂-n中的指出x()的位置
=− − = n n X(z) x(n)z 的负幂 的正幂 z n z x z x z x z x n z x z x z + + + + + = − + − − − − (0) (1) (2) ( ) ( 2) ( 1) 0 1 2 2 1 X(z)是z −1 的幂级数 幂− n中的n指出 x(n) 的位置 级数的系数是 x(n) 二．对z变换式的理解
说明 ⊙-0<n≤-1z的正幂级数构成左边 ⊙0≤n<o z的负幂级数构成右边 ○若双边序列取单边变换,或对因果信号(有起因序 列)n≥布在的序列取变换 X(z)=∑x(m)x",单边变换 n=0
说明 X z x n z 单 边z变 换 n n ( ) ( ) , 0 = − = 0 n z的负幂级数构成右边序列 − n −1 z的正幂级数构成左边序列 若双边序列取单边z变换，或对因果信号（有起因序 列） n 存在的序列取 0 z变换
§6.1.2Z变换的收敛域 收敛域的定义 对于任意给定的序列(n),能使X(x)=∑x(n)zn 收敛的所有z值之集合为收敛域。 即满足∑(nx<∞的区域(ROC) n=-00 ROC: Region of convergence 不同的x(m)的变换,由于收敛域不同,可能对应于相 同的变换,故在确定z变换时,必须指明收敛域
一．收敛域的定义 收敛的所有z 值之集合为收敛域。 =− − = n n X(z) x(n)z 即满足 ( ) 的区域（ROC） =− − n n x n z 对于任意给定的序列x(n) ，能使 ROC: Region of convergence 不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相 同的z 变换，故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。 §6.1.2 Z变换的收敛域
总结 ★有限长序列的ROC为整个z平面 (可能除去z=0和z=∞); ★右边序列的ROC为z=的圆外; ★左边序列的ROC为z=R的圆内 ★双边序列的ROC为R1<z<R2的圆环
二．总结 ★有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）； ★右边序列的ROC为 z = R1 的圆外； ★左边序列的ROC为 z = R2 的圆内； ★双边序列的ROC为 R1 z R2 的圆环
§6.1.3常用信号的z变换 单位样值函数 6(m) n=0 6(n)= 0 n≠0 X(z)=∑6(m n=-00 u(n) 单位阶跃序列 n≥0 u(n n1
一．单位样值函数 = = 0 0 1 0 ( ) n n n ( ) = ( ) = 1 =− − n n X z n z 二．单位阶跃序列 = 0 0 1 0 ( ) n n u n z 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 2 3 − = − = + + + + = − − − − z z z X z z z z n O (n) 1 n O u(n) 1 1 2 3 §6.1.3常用信号的z变换
指数序列 1.右边序列x(n)=a"u(n) X()=∑a"z 当a=e,设>(",则ze(n)=2 z-e 当n=c,设2>1,则zp Jonn z-e 2.左边序列x(n)=-a"u(-n-) X <a Z-a z变换相同时,左边序列的定义。(m”n≤-)
三．指数序列 x(n) a u(n) n = z a b bn z z Z u n e e ( ) − e , e , 则 = b b 当a = 设 z e , 1, 0 j a = z 当 ω 设 0 0 j j e ( ) ω ω n z z Z e u n − 则 = ( ) = − = n 0 n n X z a z z a z az − = − = −1 1 1 1．右边序列 2 x(n) = −a u(− n −1) 左边序列 n . 注意：z 变换相同时，左边序列的定义。 ( ) z a z X z − = (− a n −1) n z a
§6.2z变换的基本性质 1、线性特性 2、移位特性 3、尺度变换特性4、时间翻转特性 5、乙城微分 6、卷积定理 7、初值定理与终值定理
§6.2 z变换的基本性质 1、线性特性 2、移位特性 3、尺度变换特性 4、时间翻转特性 5、Z域微分 6、卷积定理 7、初值定理与终值定理
线性特性(表现为叠加性和均匀性) 若Zx(m)=X(z) R <R z[v(n)=y()(n<k<R2) 则za(n)+by(m)]=ax(x)+bY(x)(R1<z<R2) a,b为任意常数。 ROC:一般情况下,取二者的重叠部分 a! max(R-1,Rm1)<z< min(Rx2, R,2) 某些线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛域可能 大
一．线性特性 a,b为任意常数。 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z ax n by n aX z bY z R z R Z y n Y z R z R Z x n X z R z R y y x x + = + = = 则 若 ROC：一般情况下，取二者的重叠部分 max( , ) min( , ) x1 y1 Rx2 Ry2 即 R R z 某些线性组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩 大。 (表现为叠加性和均匀性）
例62单边余弦序列cos(ank()7变换 lOon 解:因为cos(o1l) ev+e 2 zenon u(n)=2 z-e 所以zos(4n)( ZIZ-COS0 z-e Jonh z-e Jonn 2z cOSO.+1 同理 [sin(onn yu(n)] SINo JOon Joon 2z coSO+1
( n)u(n) 0 cos ( ) 2 e e cos 0 0 j j 0 ω n ω n ω n − + 解：因为 = ( ) n ω n z z Z u n 0 0 j j e e − = z 1 例6-2单边余弦序列 ( ) ( ) ( ) 2 cos 1 cos 2 e e 1 cos 0 2 0 0 j j 0 0 − + − = − + − = − z z ω z z ω z z z z Z ω n u n 所 以 ω n ω n 同理 ( ) ( ) 2 cos 1 sin 2 j e e 1 Z sin 0 2 0 0 j j 0 0 − + = − − − = − z z ω z ω z z z z ω n u n ω n ω n Z变换