§6.5离散系统Z变换分析法 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方 程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法: 时域方法第5章中介绍,烦琐 变换方法 差分方程经变换→代数方程; 可以将时城卷积→频(减)乘积; 部分分式分解后将求解过程变为查表; 求解过程自动包含了初始状态(相当于0的条件)
§6.5离散系统Z变换分析法 描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方 程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法——第5章中介绍，烦琐 •z变换方法 •差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）
差分方程的变换解 线性时不变离散系统总可以用差分方程来描述,对差分方程两边 取z变换,则可以将差分方程变换为代数方程,并把初始条件自 动包含在内。 步骤 (1对差分方程进行单边z变换(移位性质) Z(n=m=:y()+) ZIya+m)=2 Y()-2v(* (2)由变换方程求出响应Y(z) (3)求Ya)的反变换,得到v(n)
一．差分方程的变换解 (1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）； (2)由z变换方程求出响应Y(z) ； (3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。 1．步骤 线性时不变离散系统总可以用差分方程来描述，对差分方程两边 取Z变换，则可以将差分方程变换为代数方程，并把初始条件自 动包含在内。 ( ) ( ) − = + − =− − − 1 [ ( )] k m m k Z y n m z Y z y k z ( ) ( ) + = − − = − 1 0 [ ( )] m k m k Z y n m z Y z y k z
2.差分方程响应y)的起始点确定 全响应yn)根据输入信号加上的时刻定 对因果系统mn)不可能出现在x(n)之前 观察Y(x)分子分母的幂次 分母高于分子的次数是响应的起点 Y(e) 2Z z+1川z+ 2)2 从n=2开始有不为零的值 3.差分方程解的验证 原方程迭代出y(0)p(y(2)两种迭代结果相同 解的表达式迭代出(0)y(①)y(2)-解答是正确的
2．差分方程响应y(n)的起始点确定 ( ) ( )( ) 2 1 2 2 + + = z z z Y z 全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定 对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前 观察Y(z)分子分母的幂次 分母高于分子的次数是响应的起点 从n = 2开始y(n)有不为零的值。 3．差分方程解的验证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 解答是正确的 两种迭代结果相同 解的表达式迭代出 原方程迭代出 , 0 , 1 , 2 0 , 1 , 2 y y y y y y
、系统函数 我们把零状态响应的z变换与激励的z变换F(乙)之比称为系统函 数,用H(Z)表示。 Y(z H(z X(z h(n)和H(z)为一对z变换 yn()=h)*x()+Y(x)=H(z)X(z)
二、系统函数 我们把零状态响应的Z变换与激励的Z变换F(Z)之比称为系统函 数，用H（Z）表示。 ( ) ( ) ( ) X z Y z H z f = h(n)和H(z)为一对z变换 y (n) = h(n) x(n)Y(z) = H(z) X(z) zs
例6-5-1一离散系统的差分方程为y(m)-2y(n-1)=f(m) 激励f(m)=3u(n),y(0)=2求y(n) 解:方法一:差分方程变换解 对微分方程两边取乙变换 Y(x)-2xY(x)+y(-1)=F(z) (1-2x-)Y(z)=2y(-1)+F(z) Y(z)=2y(-1),F(z) 1-2z 2Z 将y(0)=代入差分方程得y(0)-2y-1)=f0)即有y()=1/2 F(x)=Z|3(m)= z-3
例6－5－1 一离散系统的差分方程为 激励 f(n)=3nu(n), y(0)=2.求 y(n). y(n)− 2y(n −1) = f (n) ( ) 2[ ( ) ( 1)] ( ) 1 Y z − z Y z + y − = F z − 1 1 1 2 ( ) 1 2 2 ( 1) ( ) − − − + − − = z F z z y Y z 解： 方法一：差分方程变换解 对微分方程两边取Z变换 (1 2 ) ( ) 2 ( 1) ( ) 1 − z Y z = y − + F z − 3 ( ) [3 ( )] − = = z z F z Z U n n 将y(0)=2代入差分方程得 y(0)-2y(-1)=f(0)即有y(-1)=1/2
3Z z-2z-2z-3z-3z-2 y(n)=[3(3)"-2u(n) 方法二、双零法 1、求yx(m)法一:对齐次方程两边取单边Z变换 (x)-2[xY2(x)+y2(-1)=0 yx(z)=2yx(-1) 1-21y(-1)=3y(0)-f(0)=1-=0.5 Yx(=) 1-2z Vr(n)=2"(n)
1 y (n) 、求 x 法一:对齐次方程两边取单边Z变换 ( ) 2[ ( ) ( 1)] 0 1 − + − = − x x x Y z z Y z y 1 1 2 2 ( 1) ( ) − − − = z y Y z x x 0.5 2 1 (0) 1 2 1 (0) 2 1 yx (−1) = y − f = − = 1 2 2 1 ( ) 1 − = − = − z z z Y z x y (n) 2 u(n) n x = 3 2 3 2 2 3 ( ) − − − = − • − + − = z z z z z z z z z z Y z y(n)=[3(3)n -2 n ]U(n) 方法二、双零法
时域法求零输入 特征根入=2∴yx(m)=c2"l(m y(-1)==y(0)-=f(0)=1-=0.5 yx(0)=2yx(-1)=1→c=1 yx(n)=2(m) 2求y/(m)y(n)-2y(n-1)=f(n) H(z) F(z)= 1-2x z-3 2z3 (x)=H()F(z)=-0 2 2=2 3 3 y/(n)=(31-2)a(n) y(n)=y2(m)+y(n)=(3+1-2")u(m)
时域法求零输入 特征根 =2 y (n) c2 u(n) n x = (0) 2 ( 1) 1 1 0.5 2 1 (0) 1 2 1 (0) 2 1 ( 1) = − = = − = − = − = y y c y y f x x x y (n) 2 u(n) n x = 2.求 y (n) f y(n) − 2y(n −1) = f (n) 1 2 2 1 ( ) 1 − = − = − z z z H z 3 ( ) − = z z F z 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) − + − − = − • − = = z z z z z z z z Y z H z F z f ( ) (3 2 ) ( ) 1 1 y n u n n n f + + = − ( ) ( ) ( ) (3 2 ) ( ) 1 y n y n y n u n n n = x + f = − +
例6-5-2 已知系统框图 ①列出系统的差分方程。 E +4+ ②x{n) ∫(2)"n≥0 3 E 0n<0 2 求系统的响应y(m) E 解 (1)列差分方程,从加法器入手 x()+x-)-3-1)-2y(n=2)=j() 所以J)+3y(n-1)+2y(n-2)=x()+x(n-1)
例6-5-2 解： 已知系统框图 列出系统的差分方程。 求系统的响应 y(n)。 （1） 列差分方程，从加法器入手 x(n)+ x(n −1)− 3y(n −1)− 2y(n − 2) = y(n) 所以 y(n)+ 3y(n−1)+ 2y(n− 2) = x(n)+ x(n−1) E x(n) 1 E 1 E 1 − 2 − 3 y(n) + + + ( ) ( ) ( ) ( ) = = − = , 0 1 0, 0 0 2 0 y y n n x n n
(2)用变换求解需要(1y(-2)用y(y(0)方程选代 y(-1)=-,y(-2)= 5 4 (3)差分方程两端取变换,利用右移位性质 Y(a)+3zY(x)+(-1)+2k2y(x)+z-1y(=1)+y(-2) +2,z-1(x(1)=0)() z+2z+2
( ) ( ) 4 5 , 2 2 1 y −1 = − y − = ( ) 3 ( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 2) 1 2 1 + + − + + − + − − − − Y z z Y z y z Y z z y y ( ( 1) 0) (1) 2 2 1 − = + + + = − z x z z z z （3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质 （2） 用z变换求解需要y(−1), y(− 2),用y(1), y(0)由方程迭代出
整理(1)式得全响应 Y(z)= 2Z (z+1Xz+2 Y 2 A1 十一 十 (+1Xz+2)x+1zx+2(z+2) d 2 B -1)d 乙+2 z+1z+2)=-22 A1=2,B2=-2 2 2 2 所以 十 zz+1z+2(z+2) Y(z)=22 2、 z+1z+2(z+ y(n)=2(-1)-2(-2)+n(-2)(n≥0
整理（1）式得全响应 ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 + + + + + = + + = z B z B z A z z z Y z ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 2 2 2 d d 2 1 ! 1 2 2 1 = − = − + + + − = z z z z z B ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 + − + + − + + = z z z z Y z 所 以 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 + − + − + = z z z z z z Y z y(n) = 2(−1) − 2(− 2) + n(− 2) (n 0) n n n A1 = 2,B2 = −2 ( ) ( )( ) 2 1 2 2 + + = z z z Y z