54 总复习题 总复习题 一、填空题： 1.若3阶行列式4=4，则4)月=一 2.已知4阶方阵A的特征值为-1、1、2、3，则2A= 3.设n阶行列式4=1，则A厂(A)的秩等于 11 1 4.若 2a 2b 2c 可逆，那么a、b、c满足 的条件： a2 b2 c2 5.设3阶方阵A的特征值为入=1，入2=乙3=一1，对应的特征值向量依次是： 5=(01-,52=000,53=(011y则4= 6.若A=A,则A至少有两个特征值 7.若A是秩为2的三阶方阵，5、52是方程组AX=b的非0解，则AX=b的通解 是 8.已知4=(2,1,1)，2=(1，元，1)，a%=(1,12)线性相关，则九= 9.己知f(x,2x)=2x2+x2+x+2xx2+c2x3是正定的，则t的取值范围是 x+2x2+代3=0 10.已知齐次线性方程组) 2x+2x2=0 有非零解，则t满足 条件。 1-x3=0 二、选择题： 1.设A、B都是n阶方阵，下列结论中，正确的是 (a)4+B=4+B (b)4B=4"B ohs104≠o (@-A=4 2. 已知三阶行列式4=2，A=3,则一2(4B)= (a)-3 3 (d一12 3.设n阶方阵A的行列式4=a≠0，A是A的伴随矩阵，则A= (a)a (b) (c)a" (d)am-1 4.4=0的充要条件是 (a)A有零解 (b)A中有两行成比例 (©)A中的行向量组线性相关 (dA的特征值全为0 5.设A、B、C是n阶方阵，若ABC=E,则 (a)BTACT=E (b)ACB=E (c)CAB=E (d)A-B-C-=E
54 总复习题 总复习题 一、填空题： 1. 若 3 阶行列式 A =4，则 ( ) 1 * A − = ____; 2. 已知 4 阶方阵 A 的特征值为－1、1、2、3，则 2A ＝____; 3. 设 n 阶行列式 A ＝1，则 1 A－ ( )' * A 的秩等于_____; 4. 若 可逆，那么 a、b、c 满足 _______ 的条件； 222 111 222 abc abc ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ 5. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 λ1＝1， λ2 ＝ λ3 ＝－1，对应的特征值向量依次是： ( )( ) ( ) T T T , , 110001110 ξ 1 ξ 2 =−= ξ 3 = 则 1 A− =_______； 6. 若 2 A =A，则 A 至少有两个特征值__________; 7. 若 A 是秩为 2 的三阶方阵， 1 ξ 、 2 ξ 是方程组 AX＝b 的非 0 解，则 AX=b 的通解 是__________； 8. 已知α12 3 == = ( ,1,1), 1, ,1 , 1,1, λ α λα λ ( ) ( ) 线性相关，则 λ ＝_______； 9. 已知 f ( ) 123 x , , x x = 2 22 1 2 3 12 2 2 2 3 x + ++ + x x x x tx x 是正定的，则 t 的取值范围是 ________; 10. 已知齐次线性方程组 1 23 1 2 1 3 2 0 22 0 0 x x tx x x tx x ⎧ + + = ⎪ ⎨ + = ⎪ ⎩ − = 有非零解，则 t 满足_________条件。 二、选择题： 1. 设 A、B 都是 n 阶方阵，下列结论中，正确的是_____ (a) A+= + B AB (b) n AB AB = (c) ( 1 0 A AB B B − = ≠ ) (d) −A A = 2. 已知三阶行列式 A B = 2, 3 = ，则 ( ) 1 1 2 A BΤ − = － － _________ (a) －3 (b) 1 3 － (c) 16 3 − (d) —12 3. 设 n 阶方阵 A 的行列式 A＝a 0 ≠ ， * A 是 A 的伴随矩阵，则 * A =_______ （a） a （b） 1 a （c） （d） n a n 1 a − 4. A = 0的充要条件是_______ (a) A 有零解 (b) A 中有两行成比例 (c) A 中的行向量组线性相关 (d) A 的特征值全为 0 5. 设 A、B、C 是 n 阶方阵，若 ABC=E，则_______ (a) B AC E ΤΤΤ = (b) ACB=E (c) CAB=E (d) 111 ABC E −−− =
线性代数辅导 色 6.若A、B都是n阶正交阵，则 (a)A+B也是正交阵(b)AB+BA也是正交阵 (C)ABT也是正交阵(d)AB+H也是正交阵 7.己知四个向量：a=(1,2,-1,-3),42=(1,0,0,0),4=(11,0,0),a4=（-2,-4,2,6), 这个向量组有极大线性无关组 (aa41,a3(b)a1,a2,a3(c)C4,C,0%(d)1,ax3,a4 8.设(2≠0)是n阶方阵A的特征值，则A的伴随矩阵A有特征值 (a)4 b)4(c)2A (da4- 9.设AX=0(I)是非齐次线性方程组AX=b(四)的导出组，则 (a)若（山）有无穷多解，则()仅有零解；(b)若（四）有无穷多解，则(I)有非零解： (c)若有()非零解，则()有唯一零解：(d若有（四非零解，则（Ⅲ有无穷多解 10.若A与B相似，则 (a)A与B相似 (b)A+B与A一B相似 (c)AB与BA相似 (dA+H与B+I相似 三、判断题： 1.若A≠0，则-A=A: 2.若A>0且A是对称矩阵，则A的特征值中负特征值的个数是偶数： 3.若A=0则A的特征值全为0： ( 4.若A=A,则A=0或A=: ( ) 5.若A与B相似，且B为实对称矩阵，则A也是实对称矩阵： 6.若A正定，则A也正定： ( 0 7.若A,A均可逆，则A= 8.若方阵A中有一个r阶子式D>0,则R(A)>r: ( 9.若向量组04，，C,及B,B2,B,均线性无关，a1+B,a2+P2,…,Cn+B 也线性无关： 10.n阶方阵有n个特征值，则A可以对角化。 () 四、计算题与证明题： 1.若4阶方阵A=(a,1,y2,3),B=(B,1,Y2,3),A=4=1,求4+： 2.设A为三阶方阵，4=7求3A-2 1-30 3.设n阶方阵A满足A+B=AB,且B=210求A=? (002 4.设=(1+1，l),a,=(11+1,=(1,11+),B=(0,1,22),当元取何值时， 1)B可由4,2,43唯一线性表示？
线性代数辅导 55 6. 若 A、B 都是 n 阶正交阵，则______ (a) A+B 也是正交阵 (b)AB+BA 也是正交阵 (c) 也是正交阵 (d) AB+I 也是正交阵 1 A B− Τ 7. 已知四个向量：α αα 1 23 = −− = = (1,2, 1, 3 , 1,0,0,0 , 1,1,0,0 ) ( ) ( )，α 4 ＝（－2，－4，2，6）， 这个向量组有极大线性无关组_______ (a) 1 2 α ,α (b) 123 α , , α α (c) 124 α, , α α (d) 1 3 , , α α α4 8. 设 是 λ λ( ≠ 0) n 阶方阵 A 的特征值，则 A 的伴随矩阵 A∗ 有特征值_______ (a) A λ (b) n 1 A λ − (c) λ A (d) n 1 λ A − 9. 设 AX＝0 (Ι) 是非齐次线性方程组 AX＝b (ΙΙ) 的导出组，则_______ (a) 若 有无穷多解，则 ( ) ΙΙ (Ι) 仅有零解； (b) 若(ΙΙ) 有无穷多解，则 有非零解； ( )Ι (c) 若有( )Ι 非零解，则(ΙΙ) 有唯一零解； (d) 若有(Ι) 非零解，则 有无穷多解 ( ) ΙΙ . 10. 若 A 与 B 相似，则_____ (a) A 与 ∗ B∗ 相似 (b) A+B 与 A－B 相似 (c) AB 与 BA 相似 (d) A+I 与 B+I 相似 三、判断题： 1. 若 A ≠ 0 ,则 −A A = ； （ ） 2. 若 A > 0且 A 是对称矩阵，则 A 的特征值中负特征值的个数是偶数； （ ） 3. 若 0 ,则 A 的特征值全为 0； （ ） k A = 4. 若 ,则 A=0 或 A=I； （ ） 2 A A = 5. 若 A 与 B 相似，且 B 为实对称矩阵，则 A 也是实对称矩阵； （ ） 6. 若 A 正定，则 1 A− 也正定； （ ） 7. 若 均可逆，则 A A 1 2 , 可逆，且 ； （ ） 1 2 0 0 A A A ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ 1 1 1 1 2 0 0 A A A − − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠ 8. 若方阵 A 中有一个 r 阶子式 D>0，则 R( A) > r ； （ ） 9. 若向量组α α αr ,,, 21 " 及 β β β r ,,, 21 " 均线性无关，α + β α + β α + β rr ,,, 2211 " 也线性无关； （ ） 10. n 阶方阵有 n 个特征值，则 A 可以对角化。 （ ） 四、计算题与证明题： 1. 若 4 阶方阵 A B = = (α ,, , , ,, , , γ γ γ βγ γ γ 123 ) ( 123 ) A B = 4, 1, = 求 A+ B ； 2. 设 A 为三阶方阵， 1 2 A = ，求 ( ) 1 3 2 A A − ∗ − ； 3. 设 n 阶方阵 A 满足 A+B=AB,且 ，求 A=？ 1 30 210 002 B ⎛ ⎞ − ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ 4. 设α λα λ 1 2 ＝ ＋， ( ) 1 11 11 1 ，， ＝ ，( ＋ ，，) α3 ＝ ，(111，＋ ，λ ) β ( λ λ ), ＝ 0, , 2 当λ 取何值时， 1) β 可由 123 α , , α α 唯一线性表示？
6 总复习题 2) 阝可由a,C2,43线性表示，但表示不唯一？ 3) B不能由%，a2,a线性表示？ X+x2+x+x+xs=a 5. 对线性方程组： 3x1+2x2+x3+x4-3x5=0 x3+2x3+2x4+6x=b 5x1+4x2+3x3+3x4-x=2 讨论：l)a、b取何值时有解？取何值时无解？ 2)当有解时，求出它的导出组的一个基础解系？ 3)求出方程组的通解？ 6. 已知三阶方阵A的特征值=1，入2=0，乙3=-1对应的特征向量依次为： 求0=2 7. 己知向量组a,a2,的秩等于3，令B=4,B2=a+2,B=+a42+a 试证：B,B2,B线性无关。 8.设二次型f(x,x2,x)=x+2x2++x2本， 1)写出矩阵表达式： 2)用配方法化二次型为标准型，并写出可逆的线性变换。 总复习题参考答案 -10 0 、6 2.-963.n4.a、b、c互不相同5.4 0 0 -1 6.0,1 (0 -1 0 7.5+k(52-5)(k是任意数)8.1，-2 9.（-V2,V2 10.t=±1 三：1×399，t,4x:780,1888x90X100x 四、1.40 提示：利用行列式的性质3即得。A+B=(+B,2y1,2y2,2y3),则 |A+BHa+B,2%1,2y2,2y3Ha,241,2y2,2y3|+|B,2%1,2y2,2y3=23|A+23|B1=40 2、16 -27 3. A= 00 2 4.(1)入≠0,2≠3，(2)1=0，(3)入=-3提示：转化为线性方程组求解。 5.(1)a=1,b=3(2)5=(1,-21,0,0),52=(0,-2,0,0,)',5=(5,-6,0,0,1) (3)X=(-2,3,0,0,0)+c5+c252+c5(C1,C2,C3为任意数) 54-2 提示：利用矩阵的对角化问题解决
56 总复习题 2) β 可由 123 α , , α α 线性表示 ，但表示不唯一？ 3) β 不能由 123 α , , α α 线性表示？ 5. 对线性方程组： 12345 1 234 5 2345 1 2 3 45 32 3 0 226 5433 xxxxx a x xxx x x x x xb x x x xx ⎧ ++++= ⎪ ⎪ + ++− = ⎨ +++= ⎪ ⎪ ⎩ + + + −= 2 讨论：1）a、b 取何值时有解？取何值时无解？ 2）当有解时，求出它的导出组的一个基础解系？ 3）求出方程组的通解？ 6. 已知三阶方阵 A 的特征值 12 3 λ =1, 0, 1 λ λ = =− 对应的特征向量依次为： ， 1 1 2 2 p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 1 p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ， ，求 =? 3 2 1 2 p ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 10 A 7. 已知向量组 123 α , , α α 的秩等于 3，令 . 1 12 1 23 1 2 3 β =αβ α αβ α α α , , =+ =++ 试证： 123 β , , β β 线性无关。 8. 设二次型 ( ) 2 2 1 2 3 1 12 3 23 f x x x x xx x xx ,, 2 =+ ++ ， 1) 写出矩阵表达式； 2) 用配方法化二次型为标准型，并写出可逆的线性变换。 总复习题参考答案 一、 1. 1 16 2.－96 3. n 4. a、b、c 互不相同 5. 6. 0, 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = − 010 100 001 1 A 7. ξ1 2 + − k (ξ ξ1 ) （k 是任意数） 8. 1，－2 9. (− 2, 2 ) 10. t = ±1 二、 1.c 2.d 3.d 4.c 5.c 6.c 7.b 8.a 9.b 10.d 三、 1.（╳）2.（√）3.（√）4.（╳）5.（√）6.（√）7.（╳）8.（╳）9.（╳）10.（╳） 四、1． 40 提示：利用行列式的性质 3 即得。 )2,2,2,( 321 + BA = α + β γ γ γ ,则 |2||2|2,2,2,||2,2,2,||2,2,2,||| |=40 3 3 BA +=+ 321 = 321 + γγγβγγγαγγγβα 321 += BA 2. 16 27 − 3. A= ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 200 01 3 1 0 2 1 1 4.(1) λ ≠ ≠ 0, 3 λ ， (2) λ = 0 ， (3) λ = −3 提示：转化为线性方程组求解。 5.（1） b,a == 31 （2） ( )( ) 1 2 ξ ξ 1, 2,1,0,0 , 1, 2,0,0,1 , Τ Τ =− =− ξ 3 ( ) 5, 6,0,0,1 Τ = − (3) X=( ) 11 2 2 33 − ++ + 2,3,0,0,0 cc c ξ ξ ξ （ ,, ccc 321 为任意数） 6. 10 54 2 1 452 9 22 8 A ⎛ ⎞ − ⎜ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎟ 提示：利用矩阵的对角化问题解决
线性代数辅导 2 7.证明：考虑向量方程k,a,+k(a2+a,)+k(a1+a2+a3)=0 即(k1+k2+k3a1+(k2+k3a2+ka3=8 向量组4,2，a3的秩等于3，.4，a42,4线性无关， k1+k2+k3=0 k2+k=0.k1=k3=k3=0A,B,B线性无关。 k3=0 86为 ②)f,x)=6+x--⅓x+子=-坊+ x=y-22为 所做的可逆线性变换为 x=为+2乃 X3=3 模拟题一 一填空 1.(5分)设A、B为n阶方阵且|A=2,B=3,则A|B= 2.(5分)矩阵 cosa sin a. 的秩r= -sina cosa 3.(5分)在n元齐次线性方程组AX=0,若R(A)=可，且1，ξ2，…k,是它的一个基础解系， 则k= 当= 时，此方程组只有零解。 1111 4.(5分)矩阵 1111 的非零特征值是 A= 1111 1111 二选择题（共10分，每题2分） 1.A为四阶方阵，则3A|为(). (A)4A (B)3|A (C)4A (D)3|A 2.向量组(1,1,0)，(3,0，-9)，(1,2,3)，(1，-1，-6)的秩是 () (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.设5=(au,a2,1,0,0)T,52=(a,a2,0,1,0)T,5=(a,a2,0,0,1)T, 是某一齐次线性方程组AX=0的基础解系则 (A)R(A)=2 (B)R(A)=3 (C)R(A)=5 (D)R(A)=4 4. 已知B1,B2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，ā1，ā2是对应齐次线性方 程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是() (A)k+k2(+z)+B-B2 2 (B）ka,+k,a,-a)+B+B, 2 (C)k+kB+2) 2 (D)k+k:(B-B2)+B+B 2 5.实二次型f(x1,X2,x)=x1’+2x2+(1-k)x2+2kx1x2是正定二次型，则k的取值范围为
线性代数辅导 57 7. 证明；考虑向量方程 kk ( ) k ( 321312211 ) =+++++ θαααααα 即( )α ( ) kkkkkk 332321321 =+++++ θαα ∵向量组 123 α , , α α 的秩等于 3，∴ 123 α , , α α 线性无关， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+ =++ ∴ 0 0 0 3 32 321 k kk kkk ,∴ = = 321 = 0,kkk ∴ 123 β , , β β 线性无关。 8. (1) ( )( ) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 321321 1 2 1 0 2 01 1 011 x x x x,x,xx,x,xf (2) ( ) x,x,xf 321 =( ) ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3 2 21 4 3 4 3 2 1 +−=+−−+ yyyxxxxx 所做的可逆线性变换为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 33 22 3 211 3 2 1 2 1 yx yyx yyyx = += −−= 模拟题一 一 填空 1.(5 分) 设 A、B 为 n 阶方阵且|A|=2，|B|=3，则 B|A| = 。 2.(5 分) 矩阵 的秩 r= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ αα− αα cossin sincos 。 3.(5 分) 在n元齐次线性方程组AX=0, 若R(A)=r, 且ξ1,ξ2,…ξk,是它的一个基础解系, 则k= ，当r= 时，此方程组只有零解。 4.(5 分) 矩阵 的非零特征值是 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1111 1111 1111 1111 A 。 二 选择题（共 10 分，每题 2 分） 1. A 为四阶方阵，则|3A|为( ). （A）43 |A| （B）3|A| （C）4|A| （D）34 |A| 2. 向量组(1,1,0),(3,0,-9),(1,2,3),(1,-1,-6)的秩是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3. 设ξ1=(a11, a21, 1, 0, 0) T ,ξ2=(a12, a22, 0, 1, 0) T ,ξ3=(a13, a23, 0, 0, 1) ， T 是某一齐次线性方程组 AX=θ的基础解系则 。 （A）R(A)=2 （B）R(A)=3 （C）R(A)=5 （D）R(A)=4 4. 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1, α2是对应齐次线性方 程组Ax=0 的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是（ ） （A） 2 )(kk 21 21211 β−β +α+α+α （B） 2 )(kk 21 21211 β+β +α−α+α （C） 2 )(kk 21 21211 β−β +β+β+α （D） 2 )(kk 21 21211 β+β +β−β+α 5. 实二次型 f (x1,x2,x3)=x1 2 +2x2 2 +(1-k)x3 2 +2kx1x2是正定二次型,则k的取值范围为
总复习题 (A)02 D)-√互<k<1 三.(12分)设a=(1,1,1),a=(1,2,3),a=(1,3,k),试问k取何值时a1、a2、a线 性相关？并求一个相关表达式。 四.(12分)向量组a=(1,1,-1,-2):a2=(5,2,-3,1):a3=(4,1,-2,3): a=(3,4,一1,2)，求该向量组的秩及它的一个最大无关组.。 1 2-12 五.(16分)己知E= 是矩阵A 3 的一个特征向量。 a -1b -2 (i)试确定参数a,b及特征向量ξ所对应的特征值：(ii)问A能否相似于对角阵？ 说明理由。 c,=(1,0,1) n1=(1,2,-1) 六.(10分)在R中给定两个基： ε2=(2,1,0) 和 n2=(2,2,-1), ε3=(1,1，I) n3=(2,-1,-1) 求由基￡1，e2,e3到基n1,12,n的过渡矩阵。 234… n 七.(10分)证明 123… n-1 x12. D= 1 n-4 =(-1)1x-2 1 xx1…n-3 1 1 八.(10分) 若A=A,证明A的特征值只能是0或1。 模拟题一答案 一.1IA|BArB=2”.3: 2.r=2 3.n-r,n:4.4 二.1.D:2.B3.A4.B:5.D 111 三.(1)D=123=k-5’令D=0可得k=5: 13 (2)引入k1、k2、k3令k1a+k2a+k3a=0 k1+k2+k,=0 →k,+2k2+3k,=0→k=k=1,k=-2→a1-2a+a=0 k1+3k2+5k3=0 11-1-2 1 1 -1-2 1 1 -1-2 四.52-3 -3 11 0 -32 41-2 3 0 -3 2 0 0 0 0 34-1 2 012 0 12 8 11 0-3 =-8≠0 .向量组a1,a2,a3,a4的秩为3，其中a1,a2,a为 01 2 它的一个极大无关组
58 总复习题 ( ) (A)02 (D)- 2 <k<1 三.(12 分) 设α1= (1,1,1)，α2= (1,2,3)，α3= (1,3,k)，试问k取何值时α1、α2、α3线 性相关？并求一个相关表达式。 四.(12 分)向量组α1=（1，1，－1，－2）；α2=(5，2，－3，1)；α3=(4，1，－2，3)； α4=(3,4,－1,2),求该向量组的秩及它的一个最大无关组.。 五.(16 分)已知 是矩阵 的一个特征向量。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =ξ 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 2b1 3a5 212 A (i) 试确定参数 a, b 及特征向量ξ所对应的特征值；(ii) 问 A 能否相似于对角阵？ 说明理由。 六.(10 分) 在R3 中给定两个基 ： 和 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =ε =ε =ε )1,1,1( )0,1,2( )1,0,1( 3 2 1 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−=η −=η −=η )1,1,2( )1,2,2( )1,2,1( 3 2 1 求由基ε1 ，ε2，ε3到基η1，η2，η3的过渡矩阵。 七.(10 分) 证明: D n n x n xx n xxx x n n = − − − = − + − 12 3 4 11 2 3 1 1 12 2 1 13 1 1 1 1 2 " " " " """" " ( ) 八.(10 分) 若A2 =A，证明A的特征值只能是 0 或 1。 模拟题一答案 一. 1. ⋅=⋅= 32|||||| n n BABA ； 2. r=2 3. n－r, n； 4. 4 二. 1. D；2. B 3. A 4. B；5.D 三. （1） 5 31 321 111 = k −= k D ，令 D=0 可得 k=5； （2）引入k1、k2、k3令k1α1+k2α2+k3α3=0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ ⇒ 0k5k3k 0k3k2k 0kkk 321 321 321 ⇒k1=k3=1，k2=－2 ⇒α1－2α2+α3=0 四 ∵ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −− 8210 11230 11230 2111 2143 3214 1325 2111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− → 8210 0000 11230 2111 ∵ 08 210 230 111 ≠−=− − ∴向量组α1，α2，α3，α4的秩为 3，其中α1，α2，α4为 它的一个极大无关组
线性代数辅导 2 [2- -1 2 0 五(i)据定义，有A5=入， 故(4-E)5= a-1 3 - [(2-)-1-2=0 即 5+(a-)-3=0 解之，得入=-1，a=-3,b=0。 -1+b+(2+)=0 (ii) 据(i)， 「2-1 27 它的特征多项式 A=5-33 -10-2 2-a -1 2 |A-E卡 5-3-13 =-(1+1)3, 即入=一1是三重特征值， -1 0 -2- 且由于秩R(A一入I)=R(A+I)=2,因而方程组(A+E)x=0的解空间是一维的，故A不能 相似于对角阵。 六.设基E,e2,e:到基，12,3的过渡矩阵为T, 即[n1,n2,n3]=[e,e2,e3]T, (122 121 -4 -3 3 亦即2 2-1=011, 故T= 3 3 -1-1-101 2 2 1-5 七.证明从D的第2行开始，每行乘以-1加到前一行上去，然后再按第一列展开，得 111…1 1 11 …11 0 1-x11.1 1 1-x11…11 001-x1…11 D- =(-0 1-x 1…11 00 00…1-x 00…1-x 1 x 对这个行列式，从第1行开始，每行都减下一行，得 1-x x 0. 0 D=(-1)* 0 1-x x 0 0 =(-)x2 0 00… 0 00…1-x 八.设入是A的任一特征值，X是对应于入的特征向量，则AX=1X,两边左乘A,得 AX=元AX,即(22-1)X=0,故2-元=0。结论成立。 模拟题二 一填空
线性代数辅导 59 五(i) 据定义，有 Aξ=λξ，故 ， 即 解之，得λ=－1，a=－3，b=0。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − −− =− 0 0 0 1 1 1 1 2 5 3 212 )( λ λ λ ξλ b EA a ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+++− =−−+ =−−− 0)2(1 03)(5 021)2( λ λ λ b a (ii) 据(i) ， ，它的特征多项式 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 201 335 212 A 3 )1( 201 335 212 || +−= − −− −− −− =− λ λ λ λ λEA ，即λ0=－1 是三重特征值， 且由于秩 R(A－λ0I)=R(A+I)=2，因而方程组(A+E)x=0 的解空间是一维的，故A不能 相似于对角阵。 六. 设基 ε1, ε2, ε3 到基 η1, η2, η3 的过渡矩阵为T, 即[η1, η2, η3]= [ε1, ε2, ε3]T, 亦即 T，故 101 110 121 111 122 221 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− = 512 332 334 2 1 T 。 七. 证明 从 D 的第 2 行开始，每行乘以-1 加到前一行上去，然后再按第一列展开，得 11000 11110 11111 11111 )1( 1 1 110000 111100 111110 111110 1 x x x xxxx x x x D n − − − −= − − − = + " """""""""""" " " " " " """"""""""" " " " 对这个行列式，从第 1 行开始，每行都减下一行，得 D=(－1)n+1 .)1( 000 11 000 0 10 00 1 0 00 00 00 −+ 21 −= − − − nn x x x xx xx x " " """""""""" " " " 八. 设 λ 是A的 任一特征值，X是对应于 λ 的特征向量，则AX= λ X，两边左乘A，得 A2 X= λ AX,即 0 ,故 。结论成立。 2 λλ X)( =− 0 2 λλ =− 模拟题二 一.填空
60 总复习题 「011…11 1.(5分)设n阶矩阵 101…11 则A= 110…11 A= 111…01 111…10 2.(5分) 若向量组I可由向量组II线性表示，则I的秩 II的秩： 3.(5分)初等变换有三种，它们是(1) (2) (3) 2x1+X2+X3=1 4.(5分)当入= 时，方程组 X+x,+X=元，有无穷多解。 X+X2+元x3= 二.选择题（共15分，每小题3分） 1.设A和B都是n阶可逆矩阵， 则 0 (A)(-2)|AIB1(B)(-2)1AIB-1(C)-2|A|IB(D)-2IAIB|- 2. 设有m个n维向量(m>n),则()成立。 (A)必定线性相关(B)必定线性无关(C)不一定(D)无法判定 2x+y+z=0 3. 设方程组 kx+y+:=0有非零解，则() x-y+z=0 (A)k=1 (B)k=2 (C)k=-1 (①)k=-2 4. 若A是实正交方阵，则下述各式中( )是不正确的。 (A)AAT=E (B)A'A=E(C)|A=1 (D)A=A 5. 1) 设a-（0y方B=600Y,它们凝范正交，即单位正交，则 1 (A)x任意，y= √2 (B)x=±1，y=± (C)x=y=1 (D)x=y=±1 l+a 1 1 三.(10分)计算 1 1-a 1 1 1 1+b1 1 1 11-b 四.(10分)己知a=(1,2,3),a=(3,-1,2),a=(2,3,c),试问 1、c为何值时，a1,a2,a线性无关。 2、c为何值时，a1,a2,a线性相关，并将a3表示成a1,a的线性组合。 x1-x2+2x3+3x4=0 五.(10分) x1-x2+x3+2x4=0 求基础解系 x1-x2+3x3+4x4=0 X1-x2+5x4=0 六(13分)入取何值时，下述方程组有解，无解.在有解的情况下求出通解
60 总复习题 1.(5 分) 设 n 阶矩阵 ，则|A|= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 01111 10111 11011 11101 11110 A " " # " " " 。 2.(5 分) 若向量组 I 可由向量组 II 线性表示，则 I 的秩 II 的秩； 3.(5 分) 初等变换有三种，它们是（1） ，（2） （3） 。 4.(5 分) 当λ= 时，方程组 ，有无穷多解。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ=λ++ λ=+λ+ =++λ 2 321 321 321 xxx xxx 1xxx 二.选择题（共 15 分，每小题 3 分） 1. 设 A 和 B 都是 n 阶可逆矩阵，则 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −1 0 0 2 B AT （ ）。 （A）(－2)2n|A| |B|－1（B）(－2)n |A| |B|－1 (C)－2|A′||B|（D）－2|A| |B|－1 2. 设有 m 个 n 维向量(m＞n)，则（ ）成立。 （A）必定线性相关 （B）必定线性无关 （C）不一定 （D）无法判定 3. 设方程组 有非零解，则( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++ =++ 0 0 2 0 zyx zykx zyx (A)k=1 (B)k=2 (C)k=-1 (D)k=-2 4. 若 A 是实正交方阵，则下述各式中（ ）是不正确的。 （A）AAT =E （B）AT A=E （C）|A|=1 （D）AT =A－1 5. 设 ,y T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= 2 1 α 0 ， ( ，它们规范正交，即单位正交，则 T β = x 00 ) （A）x 任意， 2 1 y = （B）x=±1， 2 1 y ±= （C）x=y=1 （D）x=y=±1 三.(10 分) 计算 b1111 1b111 11a11 111a1 − + − + 四.(10 分) 已知α1=（1，2，3），α2=（3，－1，2），α3=（2，3，c），试问 1、c为何值时，α1，α2，α3线性无关。 2、c为何值时，α1，α2，α3线性相关，并将α3表示成α1，α2的线性组合。 五.(10 分) ，求基础解系 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++− =++− =++− 05 043 02 032 421 4321 4321 4321 xxx xxxx xxxx xxxx 六.(13 分) λ取何值时，下述方程组有解，无解.在有解的情况下求出通解
线性代数辅导 x1+2x2-x3-2x4=0 2x1-x2-x3+x4=1 3x1+x2-2x3-x4=元 x1-2x2+x3+2x4=0 七.(12分)求方程组 2x-x2+3x-x4=0的解空间的基与维数。 -x1+5x2-7x4=0 八.(10分)证明，若齐次线性方程组 a1x1+a12x2+…+amxn=0 a21x1+a22x2+…+a2mx=0 amix+am2x2+…+amxn=0 的系数矩阵A的秩为n-1,且系数行列式A的某个元素a知的代数余子式A如≠0，则 (Ak1,Ak2,…,AH,…,A)是这个齐次线性方程组的一个基础解系. 模拟题二答案 一.1(-1)-1(n-1)2.≤ 3.两行（列）互换，某行（列）×k(k≠0)，某行（列）的k倍加到另一行（列）对 应元素上。41。 二 1.(A)2.(A)3.B4.(C) 5.(B) 1+a11 1 100 1100 三 11-a1 1 11-a11 I 1-a 0-a11 ab ab 111+b1 00 bb 0 0 1 1 0011 =a2b2 11-1111-1111-b 000-b 123引 123 四. 引入辅助行列式D=阝-12-…=- 23 00c-5 (1)a1,a2,a线性无关-D≠0，=c≠5 (②)a,a2,a线性相关台D-0,→c=5且a,=7a+7, 111 (1-100 五A→0010 令x2=1得 X2 1 =k 0001 0000 x 六设A表示系数矩阵(A|B)表示增广矩阵 (12-1-20Y (12-1 -20 1 2-1-2 0 (A|B)=2-1-111 0 -51 51 0 -5 1 51 31-2-1) 0-515 0 0 01-1 当R(A)≠R(AB)时，方程组无解，此时入≠1： 当R(A)=R(AB)时，方程组有解，此时入=1
线性代数辅导 61 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−−+ =+−− =−−+ 4321 λ 4321 4321 23 2 1 022 xxxx xxxx xxxx 七.(12 分) 求方程组 的解空间的基与维数。 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− =−+− =++− 075 032 022 421 4321 4321 xxx xxxx xxxx 八.(10 分) 证明,若齐次线性方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 222121 2 212111 1 n n nnn n nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa " """ " " 的系数矩阵 A 的秩为 n-1,且系数行列式 A 的某个元素 的代数余子式 ,则 是这个齐次线性方程组的一个基础解系. akl Akl ≠ 0 ),,,,,( kk 21 kl "" AAAA kn 模拟题二答案 一. 1 (－1)n－1(n－1) 2. ≤ 3. 两行（列）互换，某行（列）×k（k≠0），某行（列）的 k 倍加到另一行（列）对 应元素上。4 1。 二 1. （A）2. （A)3. B 4. （C） 5. （B） 三 b bb a aa b b a a − − = − + − + 1111 00 1111 00 1111 1111 1111 1111 22ba b000 1100 11a0 0011 ab b1111 1100 11a11 0011 ab = − − = − − = 四. 引入辅助行列式 5c00 110 321 7 c32 213 321 D − −=…=−= 。 （1）α1，α2，α3线性无关⇔D≠0，⇒c≠5 (2) α1，α2，α3线性相关⇔ D=0，⇒c=5 且 3 1 2 7 1 7 11 α+α=α 五 A→ 令x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0000 1000 0100 0011 2 = 1 得 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 1 4 3 2 1 k x x x x 六 设 A 表示系数矩阵 （A|B）表示增广矩阵 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− = λ 5150 λ 15150 02121 1213 11112 02121 )B|A( ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −− → 10000 15150 02121 λ 当 R（A）≠R(A|B)时,方程组无解,此时λ≠1； 当 R（A）= R(A|B)时,方程组有解,此时λ=1
62 总复习题 即X+2X2-x3-2X4=0 解得x 3-51-5 (0 -5x2+x3+5x4=1 =k +k2 2-515 (k1,k2∈R) 0 4 1 0 0 七对方程组的系数矩阵进行初等行变换： -2127 [1-21 2 1 -507 2 -13 031-5 0 31-5 -1 5 -7 0 31-5 0 000 所以，方程组的一般解为 x1=5x2-7x4 x3=-3x2+5x 其中x2,x是自由未知量，取x月，xF0与x=0,xF1,得基础解系 (5,1,一3,0)，（一7,0,5,1），这就是方程组的解空间的一组基，由此，解空 间的维数为2。 八.由秩(A)=n-1,得引A=0从而ak4kH+a2A2++amAm0 这就是说，(4k,A2,:A)是(*)的第k个方程的解。又在N中有 ailAkl+ai2Ak2++ainAkn=0,i=1,2.k-1,k+1,.n 这就是说，(4k,A2,4n)也是(*)的第1,2，k-l,…,n这n-1个方程的解， 于是得到(A知，A2,Am)是(*)的解， 最后，因为秩(A)=n-1,所以(*)的基础解系中含向量的个数为n-(n-1尸1，而且由 AH≠0，得出 (4k1,A2,Akm）≠0， 是线性无关的，这样，就证明了（A1,A2,Am)是(*)的一个基础解系
62 总复习题 即 解得 ⎩ ⎨ ⎧ =++− =−−+ 1x5xx5 0x2xx2x 432 4321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 5 1 5 2 1 0 1 0 0 1 5 1 5 3 1 2 4 3 2 1 kk x x x x （k1,k2∈R） 七 对方程组的系数矩阵进行初等行变换： 1 21 2 1 21 2 1 50 7 2 13 1 0 3 1 5 0 3 1 5 150 7 031 5 0000 ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ − −− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ − −→ −→ − ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ −− − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 所以，方程组的一般解为 ⎩ ⎨ ⎧ +−= −= 3 42 421 53 75 xxx xxx 其中x2，x4是自由未知量，取x2=1，x4=0 与x2=0，x4=1，得基础解系 （5，1，－3，0），（－7，0，5，1），这就是方程组的解空间的一组基，由此，解空 间的维数为 2。 八 .由秩（A）=n-1，得|A|=0 从而 ak1Ak1+ak2Ak2+…+ aknAkn=0 这就是说，（Ak1，Ak2,…, Akn）是（*）的第k个方程的解。又 在|A|中有 ai1Ak1+ai2Ak2+…+ ainAkn=0,i=1,2, …,k-1,k+1, …n 这就是说，（Ak1，Ak2，…Akn）也是（*）的第 1，2，…k-1，…，n这n-1 个方程的解， 于是得到（Ak1，Ak2，…Akn）是（*）的解， 最后，因为 秩（A）=n-1，所以（*）的基础解系中含向量的个数为n-(n-1)=1,而且由 Akl≠0，得出 （Ak1，Ak2，…Akn）≠0， 是线性无关的，这样，就证明了（Ak1，Ak2，…Akn）是（*）的一个基础解系