线性代数辅导 3 附录 自测题一 一、 填空题(20分) 108 1. 1512 3 203212 2.已知4为n阶方阵，A为4的伴随矩阵，若4=2，则4=一 (10001 3.设，0200 A= 则A2=；41= 0030 (0004) 4.设c1=(,1l,l,a2=(11-l,-l),a3=(1,-l1,-,a4=(1,-l,-l,),由a1,a2,a3,a4生成 的向量空间的一个基为，该向量空间的维数为 二、计算下列行列式(12分) 123…n-1n -103…n-1n -1-20…n-1n D.= 1-2-30 -1-2-3…1-nn -1-10 三、(10分)己知AB=A-2B,其中A= -101, 求矩阵B. 221 四、(12分)设有方程组 +x2-2x3+3x4=0 2x1+x3-6x3+4x4=-1 3x1+2x2+8x3+7x4=-1 x1-x2-6x3-x4=1 试讨论！取何值时，方程组有解、无解？有解时请求其全部解。 五、(12分)设向量组a1,a2,,am线性无关，问下列向量组是否线性无关？ 1.a1-a2+a3,a1+2-a3,2 2.a1+az,a2+a3;,am-l+am,am+al 六、(12分) 200 (20 0 己知A=001 B=0 y 0 且A相似于B; 01 00-1 1.求x,y; 2.求一个可逆矩阵P使P-1AP=B· 七、判断题(10分) 1.设有两个线性方程组 2x1-x2+3x3=0 3x1+4x2-7x3+5x4=0 以2x1+x2+x3=0 -x1-2x2+3x3-x4=0 则 4x1+x2+2x3=0 4x2-5x3+6x,=0 (4)()、(2)有非零解： (B)(①)只有零解，(2)有非零解： (C) ()有非零解，(2)只有零解： (D)()、(2)都只有零解. 2. X1+x2=1 1 1 a x+b x2=c 且 a b ≠0则线性方程组 ax1+b2x2 =c2 a2 b2c2 (A)无解： (B)有唯一解；(C)有无穷多解； (D)不一定
线性代数辅导 53 附录 自 测 题 一 一、填空题（20 分） 1. 10 8 2 15 12 3 20 32 12 = ； 2. 已知 A为 n 阶方阵， A*为 A的伴随矩阵，若 A = 2 ，则 A* = ； 3. 设 则 A = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1000 0200 0030 0004 , A2 = ； A−1 = ； 4. 设α 12 3 4 = = −− = ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), ( , , , ), 1111 11 1 1 1 11 1 1 1 11 α α − − α = − − 由α 1234 ,,, α α α 生成 的向量空间的一个基为 ，该向量空间的维数为 。 二、计算下列行列式（12 分） D n n n n n n n n n n = − − − −− − −−− −−− − 123 1 10 3 1 1 20 1 123 0 123 1 " " " """" " " " " 三、（10 分）已知 AB = − A 2B，其中 A = ，求矩阵 ． − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 1 10 101 2 21 B 四、（12 分）设有方程组 x xxx xx x x xxxx x x x xt 1 2 34 12 3 4 1234 12 34 23 0 2 64 32 87 6 + −+= + − + =− + + + =− −−−= ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ 1 1 试讨论 t 取何值时，方程组有解、无解？有解时请求其全部解。 五、（12 分）设向量组αα α 1 2 ， ，，" m线性无关，问下列向量组是否线性无关？ 1. α 1 2 31 2 3 1 −+ +− α α , , α α α 2α 2. α 1 22 3 + + α , , α α ", α m mm −1 1 + α ,α + α ． 六、（12 分） 已知 A 且 x = y ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 200 001 0 1 20 0 0 0 00 1 Ｂ＝ A 相似于 ； B 1. 求 x, y ； 2. 求一个可逆矩阵 P 使 P AP B − = 1 ． 七、判断题（10 分） 1. 设有两个线性方程组 ( )⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =+− 024 2 0 032 1 321 321 321 xxx xxx xxx ( ) 则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =−+−− =+−+ 0654 032 05743 2 432 4321 4321 xxx xxxx xxxx ( ) A (1) 、( ) 2 有非零解； (B) (1) 只有零解，(2) 有非零解； ( ) C (1) 有非零解， 只有零解； ( ) 2 (D) (1) 、(2) 都只有零解． 2. 且 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ =+ 2 2 2 1 2 1 2 21 1 cxbxa cxbxa xx 0 111 222 ≠ cba cba 则线性方程组 ( ) A 无解； (B) 有唯一解； 有无穷多解； ( ) C (D) 不一定．
附录自测题 八、（12分)设二次型fx1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+6x2x3+6x1x3 1.写出f的矩阵表达式： 2.用配方法把∫化成标准形，并写出所做的实可逆线性交换. 参考答案 -、1.0 2.2-1 4.a1,a2,3,a4;4 16) 9 6-2 二、2nl 三、 10 7-2 、-12-83 四、t≠2时无解，t=2时有无穷多解，其解为x=k(-1-20)+(-1100) 五、1.线性相关；2.当m为奇数时线性无关，当m为偶数时线性相关。 100 六、1.x=0,y=1 2.P=011 七、1.B 2.A 01-1 八、1.f=(压xx)2 x1=月-2y2-y3 2.f=y2-3y22-5y32 线性变换 x2=y2-y3 x3=3 自测题二 一.填空（每小题5分） 1-2111 1.A=1-21-1-1的秩R(A)= 24222 2.(E-A)-1-(E-A)-A= (E是A的同阶单位方阵) 3.设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n一1，则线性方程组AX=0的通解 为 (00 4.设A=10 其特征值为 对应的特征向量为 00-1 二.选择题（每小题5分） 1.A为四阶方阵，则3A为(). (A)4|A (B)3A (C)4A (D)3|A 2.向量组(1,1,0)，(3,0，-9)，(1,2,3)，(1，-1，-6)的秩是 () (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.设ξ1=(a1,a2,1,0,0)′，52=(a12,a22,0,1,0)′，ξ3=(a13,a23,0,0,1)′
54 附录 自测题 八、（12 分）设二次型 f x x x x x x xx x x xx ( ) 123 1 2 2 2 3 2 12 23 13 , , =+++ + + 466 1. 写出 f 的矩阵表达式； 2. 用配方法把 化成标准形，并写出所做的实可逆线性交换． f 参考答案 一、1. 0 2. 3. 2n−1 ； 1 4 9 16 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1 1 2 1 3 1 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 4.α 1234 ,,, α α α ；4 二、2 n! 三、 962 10 7 2 12 8 3 − − − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 四、 t ≠ 2 时无解， t = 2 时有无穷多解，其解为 x k( ) ( ) T T = − − +− 1 2 01 1100 五、1. 线性相关； 2. 当 m 为奇数时线性无关，当 为偶数时线性相关。 m 六、1. 2. x y = = 0, 1 P = 七、1. 2. − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 10 0 01 1 01 1 B A 八、 1. f xxx ( ) x x x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 123 1 2 3 123 213 331 2. 线性变换 2 3 2 2 2 1 −−= 53 yyyf ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −−= 33 322 2 3211 yx yyx yyyx 自 测 题 二 一.填空(每小题 5 分) 1. 的秩 R(A)= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − = 22242 11121 11121 A 。 2.(E－A)－1－(E－A)－1A= ；（E是A的同阶单位方阵） 3.设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n－1，则线性方程组 AX=0 的通解 为 。 4.设 ，其特征值为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 100 001 100 A ，对应的特征向量为 。 二.选择题(每小题 5 分) 1.A 为四阶方阵，则|3A|为( ). （A）43 |A| （B）3|A| （C）4|A| （D）34 |A| 2.向量组(1,1,0),(3,0,-9),(1,2,3),(1,-1,-6)的秩是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3.设ξ1=(a11, a21, 1, 0, 0)′,ξ2=(a12, a22, 0, 1, 0)′,ξ3=(a13, a23, 0, 0, 1)′
线性代数辅导 5 是某一线性齐次方程组AX=0的基础解系则 (A)R(A)=2 (B)R(A)=3 (C)R(A)=5 (D)R(A)=4 4.已知B1,B2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，a1,a2是对应齐次线性方程 组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是() (A)ka1+k,a1+a2)+B-B2 (B)k,a,+k(a,-a,)+B+B2 (C)k:a:+k2(B:+B2)+B-B (D)k,a1+k,B,-B2)+B+B 2 5.实二次型f(x1,X2,X3)=x12+2x22+(1-k)x32+2kx1x2是正定二次型，则k的取值范围为 (A)02 (D)-√2<k<1 三.(16分) 己知向量组%1=(1,0,2，-1,1)，a2=(3,1,0,-1,-2),3=(2,5,-1,0,0)，a4=(4,1,2,-2,-1),回 答下列问题： (1)求向量组的秩，并回答向量组的相关性（说明理由）； (2)求向量组的最大无关组： (3)试将α，用最大无关组线性表示 四.(13分) 己知向量组 a=(3,-2,0,1,-7)a2=(-1,-3,2,0,4)a3=(2,0,-4,5,1) a4=（4,1,一2,1，一11)试考察线性相关性并求秩。 五.(12分) x1-x2+2x3+3x4=0 x1-x2+x3+2x4=0 求基础解系 X1-x2+3x3+4x4=0 x1-x2+5x4=0 六.(14分) 设a1,a2,,an是一组n维向量，证明：41，a2,,an线性无关的充要条件是任一n维向 量都可被它们线性表出. 参考答案 一.填空 1.(5分)3：2.(5分)E3.(5分)k(1,1,…,1)′4.(5分)入=入2=0，入3=1，入=入2=0
线性代数辅导 55 是某一线性齐次方程组AX=θ的基础解系则 。 （A）R(A)=2 （B）R(A)=3 （C）R(A)=5 （D）R(A)=4 4.已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1, α2是对应齐次线性方程 组Ax=0 的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必是（ ） （A） 2 )(kk 21 21211 β−β +α+α+α （B） 2 )(kk 21 21211 β+β +α−α+α （C） 2 )(kk 21 21211 β−β +β+β+α （D） 2 )(kk 21 21211 β+β +β−β+α 5.实二次型f (x1,x2,x3)=x1 2 +2x2 2 +(1-k)x3 2 +2kx1x2是正定二次型,则k的取值范围为 ( ) (A)02 (D)- 2 <k<1 三.(16 分) 已知向量组 )1,1,2,0,1( α1 −= ， )2,1,0,1,3( α2 = − − ， )0,0,1,5,2( α3 = − ， )1,2,2,1,4( α4 −= − ，回 答下列问题： （1）求向量组的秩，并回答向量组的相关性（说明理由）； （2）求向量组的最大无关组； （3）试将α4 用最大无关组线性表示 四.(13 分) 已知向量组 α1= （3，－2，0，1，－7）α2= （－1，－3，2，0，4）α3= （2，0，－4，5，1） α4= （4，1，－2，1，－11）试考察线性相关性并求秩。 五.(12 分) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++− =++− =++− 05 043 02 032 421 4321 4321 4321 xxx xxxx xxxx xxxx ，求基础解系 六.(14 分) 设α 1 2 , ,, α " α n是一组 n 维向量,证明:α 1 2 , ,, α " α n线性无关的充要条件是任一 n 维向 量都可被它们线性表出. 参考答案 一.填空 1.(5 分)3； 2.(5 分)E 3.(5 分)k(1, 1, …,1)′4.(5 分)λ1=λ2=0,λ3=1, λ1=λ2=0
附录自测题 对应特征向量k 1,入=1对应的特征向量k (k1,k2∈R,k1,k2≠0) 0 1 二.选择 1.(5分)D:2.(5分)B3.(5分)(A)4.(5分)B:5.(5分)(D) 三.(16分) (1)向量组a1,a2,a3a的秩为3，故线性相关。 (2)a1,a2,a3为其最大无关组。 (3)令x1a!+X2a2+X3a3+X4a4=0 x1+3x2+2x3+4x4=0 X2+5x3+x4=0 即 2x1-X3+2x4=0, 对其系数矩阵通过初等行变换 X1+X2+2x4=0 X1-2x2-X4=0 1 2 4 132 ) 0 1 5 1 015 1 X1+3x2+2x3=-4x4 A= 2 0 -1 2 →·〉 001 0 同解方程组 X2+5x3=-x4 1 10 2 00 0 X3=0 1 -2 0 -1 0 000 X1=1 令x4=-1 得x2=1 ∴.a4=a1+a2+0a3 x3=0 四.(13分) 3 -2 0 1 7 -3 20 4 -1 -3 0 4 3 -2 01 -7 0 -4 5 2 0 -45 1 41 -21 -11 -2 -11 -1-3204 -1-3 -3 2 0 4 0-11 6 15 0 1 -13 0 1 6 -9 -13 -6059 0 0 5 0 0 36 -49 -69 0 -1161 5 0 000 0 00 0 0 由此可见a1,a2, 3 a线性相关且秩(a1, a2, 3 ā4)=3 五.(12分) (1-100 x 11 A 0010 令x2=1 得 =k 001 X3 0 000 0
56 附录 自测题 对应特征向量 ,λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 1 0 k1 3=1 对应的特征向量 (k ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 1 k2 1, k2∈R,k1,k2≠0) 二.选择 1.(5 分)D；2.(5 分)B 3.(5 分)（A）4.(5 分) B；5.(5 分) (D) 三.(16 分) （1）向量组α1，α2，α3，α4的秩为 3，故线性相关。 （2）α1，α2，α3为其最大无关组。 （3）令x1α1+ x2α2+ x3α3+ x4α4=0 即 ， 对其系数矩阵通过初等行变换 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =++ =+− =++ =+++ 0xx2x 0x2xx 0x2xx2 0xx5x 0x4x2x3x 421 421 431 432 4321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ →→ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− = − 0000 0000 0100 1510 4231 1021 2011 2102 1510 4231 A " ，同解方程组 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −=+ −=++ 0x xx5x x4x2x3x 3 32 4 321 4 令x4= －1 得 ∴α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 0x 1x 1x 3 2 1 4=α1+α2+0⋅α3 四.(13 分) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − − −− ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− − − = 111214 15402 71023 40231 ~ 111214 15402 40231 71023 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− −− ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − −− 00000 69493600 139610 40231 ~ 00000 95060 139610 40231 ~ 516110 95060 110 516 40231 ~ 由此可见α1，α2，α3，α4线性相关且秩（α1，α2，α3，α4）=3 五.(12 分) A～ 令x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0000 1000 0100 0011 2 = 1 得 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 k x x x x 1 4 3 2 1
线性代数辅导 7 六.(14分) 证明必要性，设a1,a2,,an线性无关，B是任意一个n的维向量，则n+1个n 维向量a1,a2,…,an,B必线性相关，因而，B可由a,a2,…,an线性表出。 充分性，设任一n维向量都可由a1,a2,,an线性表出，则特别地，单位向量组e ,e2,…,e,也都可由a1,a2,…,an线性表出，而a1,a2,…,an是可由e,e 2,…,ε线性表出的，于是这两个向量组等价，具有相同的秩，即得 秩{a1,a2,,an}=秩{e,e2,…,e。}=n 从而向量组41，a2,…,n线性无关 自测题三 一.填空 123到 1.(3分)》 450= 600 2.(3分)A,B两个向量组等价的定义是 3.(3分)己知a1,a2,a3两两正交，则(a,k41+k22+k)= 4.(4分)方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是 向量，且 二.选择 1.(4分)设A和B都是n阶可逆矩阵， 0 20B- (A)(-2)|AIB-(B)(-2)|A|IB|-1(C)-2IA'|IB (D)-2|A|B|- 2.(4分)设有m个n维向量(m>n),则()成立。 (A)必定线性相关(B)必定线性无关(C)不一定(D)无法判定 2x+y+z=0 3.(4分)设方程组 +y+:=0有非零解则() x-y+z=0 (A)k=1 (B)k=2 (C)k=-1 (D)k=-2 4.(4分)若A是实正交方阵，则下述各式中()是不正确的。 (A)AAT=E (B)ATA=E (C)A=1 (D)AT=A- 5.(3分) 设 它们规范正交，即单位正交，则 (A)x任意，y= (B)x=±1，y=± (C)x=y=1 (D)x=y=士1 三.(17分) 将B=(0,2,0,-1)用a=(1,1,1,1)a2=(1,1,1,0),a3=(1,1,0
线性代数辅导 57 六.(14 分) 证明 必要性，设 线性无关，β是任意一个 n 的维向量，则 n+1 个 n 维向量 ，β必线性相关，因而，β可由 线性表出。 αα α 1 2 ，，，" n αα α 1 2 ，，，" n αα α 1 2 ， ，， " n 充分性，设任一n维向量都可由αα α 1 2 ，，，" n线性表出，则特别地，单位向量组ε 1, ε2, …, εn，也都可由αα α 1 2 ，，，" n线性表出，而αα α 1 2 ，，，" n是可由ε1, ε 2, …, εn线性表出的，于是这两个向量组等价，具有相同的秩，即得 秩{ αα α 1 2 ，，，" n }=秩{ε1, ε2, …, εn }=n 从而向量组αα α 1 2 ，，，" n线性无关 自 测 题 三 一.填空 1.(3 分) = 006 054 321 。 2.(3 分) A，B 两个向量组等价的定义是 。 3.(3 分) 已知α1，α 2，α 3 两两正交，则 ( , ) α α α 3322111 α + + kkk ＝ 。 4.(4 分)方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列向量都是 向量，且 。 二.选择 1.(4 分) 设 A 和 B 都是 n 阶可逆矩阵，则 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ − −1 0 0 2 B A （ ）。 （A）(－2)2n|A| |B|－1 （B）(－2)n |A| |B|－1 (C)－2|A′| |B| （D）－2|A| |B|－1 2.(4 分) 设有 m 个 n 维向量(m＞n)，则（ ）成立。 （A）必定线性相关 （B）必定线性无关 （C）不一定 （D）无法判定 3.(4 分) 设方程组 有非零解则( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =++ =++ 0 0 2 0 zyx zykx zyx (A)k=1 (B)k=2 (C)k=-1 (D)k=-2 4.(4 分) 若 A 是实正交方阵，则下述各式中（ ）是不正确的。 （A）AAT =E （B）AT A=E （C）|A|=1 （D）AT =A－1 5.(3 分) 设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =α 2 1 y 0 ， ，它们规范正交，即单位正交，则 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =β 0 0 x （A）x 任意， 2 1 y = （B）x=±1， 2 1 y ±= （C）x=y=1 （D）x=y=±1 三.(17 分) 将β=（0，2，0，－1）用α1=（1，1，1，1），α2=（1，1，1，0），α3=（1，1，0
中 附录自测题 0),a=(1,0,0,0)线性表示。 四.(13分) 0 0 1 计算矩阵 0 6 4 10 的秩 1 11 416 1 -19-7-14-34 五.(16分) 求正交变换，将二次型f=2x+2x3+3x+2x1X2化为标准型。 六.(11分) 0 a b c 设a,b,c是三角形的三条边，证明：a0cb <0 b c 0 a c b a 0 七.(10分) 若A2=A,证明A的特征值只能是0或1。 参考答案 一.填空 3x(3-1) 1.(3分)(-1)2×3×5×6=-90 2.(3分)A组每个向量可由B组表示，B组中每一个也可由A组表示 3.(3分)k(a1,a1) 4.(4分)单位，两两正交： 二.选择 1.(4分)(A)2.(4分)(A)3.(4分)B4.(4分)(C)5.(3分)(B) 三.(17分) 0 .B=k1a1+k2a2+k3a3+k4a4, 即 =k, 1 0 0 0 解得k=-1,k2=1,k3=2,k=-2,∴.B=-a1+a2+2a3-2a4 四.(13分)矩阵的秩为3： 「210 2-λ1 0 五.(16分)A=120 |A-1E= 12-入 0 =(1-1)3-1)2 003 0 03-1 对于X=1,得单位特征向量：P=2 1 (1,-1,0):
58 附录 自测题 0），α4=（1，0，0，0）线性表示。 四.(13 分) 计算矩阵 的秩 12 0 0 1 0 6 2 4 10 1 11 3 4 16 1 19 7 14 34 − −− − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 五.(16 分) 求正交变换，将二次型 21 化为标准型。 2 3 2 2 2 1 +++= xx2x3x2x2f 六.(11 分) 设 a,b,c 是三角形的三条边,证明: 0 0 0 0 0 abc a cb bc a cba < 七.(10 分) 若A2 =A，证明A的特征值只能是 0 或 1。 参考答案 一.填空 1.(3 分) 90653)1( 2 )13(3 −=×××− −× 2.(3 分)A 组每个向量可由 B 组表示，B 组中每一个也可由 A 组表示 3.(3 分) ),(α α111 k 4.(4 分)单位，两两正交； 二.选择 1.(4 分)（A）2.(4 分)（A)3.(4 分) B4.(4 分)（C） 5.(3 分)（B） 三.(17 分) ∴β=k1α1+k2α2+k3α3+k4α4，即 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 0 0 0 1 k 0 0 1 1 k 0 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 0 2 0 1 2 3 4 解得k1= -1，k2=1，k3=2，k4= -2，∴β=－α1+α2+2α3－2α4 四.(13 分) 矩阵的秩为 3； 五.(16 分) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 300 021 012 A 2 )3)(1( 300 021 012 |EA| λ−λ−= λ− λ− λ− =λ− 对于λ=1，得单位特征向量： 2 1 p1 = （1，-1，0）′；
线性代数辅导 9 对于入=3得单位正交向量： p=2 (1,1,0)',P=(0,0,1)'。 1 0 取正交变换X=PY= 1 0 0 1 则f=y12+3y22+3y32。 六.(11分) 0 b a+b+c b a 0 c 5 a+b+c 0 b b 0 a+b+c 0 a b a 0 a+b+c b a h a b 证明： 0 =(a+b+c) b 0 b 0 0 a-b-c b+c-a c+b-a 0 b =(a+b+c) 0 b 0 10 0 -1 c-b =(a+b+c)a-b- 6 -a a 1 a+b a h c-b =(a+b+c)a-b-c)1 c -a a+b a =(a+b+c)a-b-c)(a-b+c)(a+b-c). 因为a、b、c是三角形的三边，所以a+b+c>0,a-b一c0,a-b+c>0, a b 从而行列式 0 <0 6 0 b a 9 七.(10分) 设AX=入X,(X≠0)，由A2=A推得A2X=A(AX)=A(入X)=入2X=AX=入X,即入X=XX, 从而入（入一1)X=0(X≠0)。所以λ=0或入=1
线性代数辅导 59 对于λ=3 得单位正交向量： 2 1 p2 = （1，1，0）′， p3 = （0，0，1）′。 取正交变换 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −== 3 2 1 y y y 100 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 PYX 则f=y1 2 + 3y2 2 + 3y3 2 。 六.(11 分) 证明: 1 0 1 0 01 0 )( 1 0 1 0 01 1 )( 0 0 0 0 0 0 0 ab c a bc abcacbcba cba ab c a bc cba cba abcba ccba a cba bc cbacba abc cb a a bc cba −+−+−− ++= ++= + + ++ ++ ++ = = ++ −− − − − + = ++ −− − − + = ++ −− −+ +− ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ). a b ca b c c cb b c aa ab a a b ca b c c cb c a ab a a b ca b ca b ca b c 000 1 1 1 1 0 1 1 1 因为 a、b、c 是三角形的三边，所以 a+b+c>0, a－b－c0, a－b+c>0, 从而行列式 0 0 0 0 0 abc a cb bc a cba < 七.(10 分) 设AX=λX，（X≠0），由A2 =A推得A2 X=A（AX）=A（λX）=λ2 X=AX=λX，即λ2 X=λX， 从而λ(λ－1) X=0 （X≠0）。所以λ=0 或λ=1