第9次课(刚体的转动运动)9月30日 Chapter 8 Rotational Kinematics 转动运动 一个物体或多质点系统,如果物体上任意两点或质点系中任意两个质点间的间距在运动 中保持不变→该物体或质点系一刚体 刚体运动 刚体上 平动 般运动 任一点轨迹 不同 任一直线 平行 不平行 平动刚体 简化成一个质点 刚体一般运动 某点运动+绕该点的转动 描述转动的物理量(角变量)平动物理量(线变量) 角位移△ 角速度O 角加速度 力矩 角动量L 转动惯量I M 个刚体或质点系在空间几何位移的确定所需要独立坐标变数的个数 自由度 自由度 约束条件 一个质点 3(x1,y1,=1) 平面运动自由度为2(x1,y1),直线:1 3+3=6「(x,y12)两质点间的间距不变: 自由度6-1=5 两个质点 (xy2)=(x-x)
第 9 次课 (刚体的转动运动) 9 月 30 日 Chapter 8 Rotational Kinematics 转动运动 一个物体或多质点系统，如果物体上任意两点或质点系中任意两个质点间的间距在运动 中保持不变 该物体或质点系 刚体 刚体运动 刚体上 平动 一般运动 任一点轨迹 相同 不同 任一直线 平行 不平行 平动刚体 简化成一个质点 刚体一般运动 某点运动 + 绕该点的转动 描述转动的物理量(角变量) 平动物理量(线变量) ⇓ 角位移 Δϕ ↔ r K 角速度 ω JK ↔ v K 角加速度 α JK ↔ a K 力矩 τ K ↔ F JK 角动量 L JK ↔ p JK 转动惯量 I ↔ M …… …… 一个刚体或质点系在空间几何位移的确定所需要独立坐标变数的个数 自由度 自由度 约束条件 一个质点： 3 1 11 (, , ) x y z 平面运动:自由度为 2 1 1 (, ) x y ，直线：1 两个质点： 3 + 3 = 6 1 11 (, ,) x y z 2 22 (, ,) x y z 两质点间的间距不变： 自由度 6 ‐ 1 = 5 ( )( )( ) 2 22 21 2 1 21 l xx yy zz = − +− +−
(x1,y1,=1 三个质点 两两间距不变的约束条件3个 3×3=9(x2,y2,=2) 自由度 (x3,y3, =3) 所有点间距不变:约束条件3N-6 刚体3+3(N-3) N个质点 其他点 (x,yy,N)|三个不共线点确定,刚体位形确定 自由度为3N-(3N-6)=6 描述空间刚体的位形最多需要6个自由度: Z 三个平移坐标 y A(x, y,z) 两个转轴空间方位坐标(O,y) 个绕转轴转动角的坐标(q y 自由度 刚体运动形式:1)平动 (质点运动) 2)定轴转动 传转动坐标变数 3)平面运动 3(两个平动+一个转动) 4)定点转动 3(三个转动) 5)一般运动 (某点平动3个+绕该点转动三个) 转动变量:角位移:△q→不是矢量一因为△1+△2≠△2+△q1 但dq1+d(2=dq2+d 角速度:b=d →方向右手定则 dt 角加速度: =lim
三个质点： …… 1 11 (, ,) x y z 3×3 = 9 2 22 (, ,) x y z 3 33 (, ,) x y z 两两间距不变的约束条件 3 个 自由度 9 – 3 = 6 N 个质点： 1 11 (, , ) x y z 3N …… (, , ) N NN x y z 所有点间距不变：约束条件3 6 N − 刚体 33 3 + − (N ) 其他点 三个不共线点确定，刚体位形确定 ⇒ 自由度为3 3 66 N N −( − =) 描述空间刚体的位形最多需要 6 个自由度： Z 三个平移坐标 ( x y, ,z) A(x,y,z) 两个转轴空间方位坐标 (θ,γ ) 一个绕转轴转动角的坐标 (ϕ ) θ ϕ y X γ 自由度 刚体运动形式： 1) 平动 3 (质点运动) 2) 定轴转动 1 (转动坐标变数) 3) 平面运动 3 (两个平动 + 一个转动) 4) 定点转动 3 (三个转动) 5) 一般运动 6 (某点平动 3 个 + 绕该点转动三个) 转动变量： 角位移：Δϕ → 不是矢量 因为 Δϕ12 21 +Δ ≠Δ +Δ ϕ ϕϕ 但 12 21 dd d d ϕ + ϕϕϕ = + 角速度： 0 limt d dt t ϕ ϕ ω Δ → Δ = = Δ JK JK ω JK 方向右手定则 角加速度： 0 limt d dt t ω ω α Δ → Δ = = Δ JK JK JK
定轴转动线变量与角变量关系 直角坐标P(x,y) 平面空间任一点P,位置确定可以分别用 表示,如图 极坐标P(v,q) R, 即r=(x+y直角坐标不同点在于极坐标中单位矢量是变量 rin极坐标是的函数,而直角坐标的单位矢量是常矢量 ui,=cos i +sin p j dt l.=sin l t cos pJ 直角坐标 极坐标 位置矢量 r=xi+ y ru v=vu+rou 速度: V,I+vJ v:径向分量ro:切向分量 加速度 (a-ro2)2+(2,o+ra) a=a,I+a, 径向分量 切向分量 a.:径向加速度 ra:角加速度引入切向加速度 -ro2:向心加速度2v,O:径向运动引入切向加速度 科里奥力相关项 对于刚体:a.=0,匀速转动a=0 0 向心加速度:a=-rol1=i,ro=v
定轴转动线变量与角变量关系 直角坐标 Pxy ( , ) 平面空间任一点 P，位置确定可以分别用 表示，如图 极坐标 P(γ ,ϕ ) Y uˆϕ ˆr u Pxy ( , ) ˆj ˆi ϕ X 即 r = K xˆ ˆ i yj + 直角坐标 不同点在于极坐标中单位矢量是变量， ˆr ru 极坐标 是ϕ 的函数，而直角坐标的单位矢量是常矢量 ˆ ˆ ˆ cos sin r u ij = + ϕ ϕ ˆ ˆ r du u dt =ω ϕ ˆ ˆ uij ˆ sin cos ϕ = + ϕ ϕ ˆ ˆr du u dt ϕ = −ω 直角坐标 极坐标 位置矢量： ˆ ˆ r xi = + yj K ˆr ru 速度： ˆ ˆ x y v vi v j = + K ˆ ˆ r r v vu r u = + ω ϕ K r v : 径向分量 rω : 切向分量 加速度： ˆ ˆ x y a ai a j = + K ( ) ( ) 2 ˆ ˆ 2 r rr a ar u v ru =− + + ω ωα ϕ K 径向分量 切向分量 r a ：径向加速度 rα ：角加速度引入切向加速度 2 −rω ：向心加速度 2 r v ω ：径向运动引入切向加速度 科里奥力相关项 对于刚体： 0 r a = ，匀速转动 α = 0 0 r v = 向心加速度： 2 2 ˆ ˆ T r r v a ru u r =− = ω K r r v ω = r
定轴转动角变量与线变量更一般形式 刚体任意一点P的位矢R,相对原点O 点:v ou+rau Sine=r∴y= Rosin eu.=×R R ×(a×R)+axR 径向分量-r2切向分量ra 例题 细杆匀角速率旋转 时间 细杆 杆上有一小环匀速ν沿杆向外滑动 t=0时,环位于原点O 1.证明:小环的运动轨迹为阿基米德螺线 2.试求小环任意时刻的速率和加速度 3.定性画出小环的加速度和速度的方向Q 解:1. r()=-g() r(o=r(ti dr(t)dr(t i,+r(ou dt vu +rou 刚体没有v7切向分量 t2a
定轴转动角变量与线变量更一般形式 Z 刚体任意一点 P 的位矢 R JK ，相对原点 O ω JK P 点：v ruˆ = ω ϕ K r v K 2 ˆ ˆ r a r u ru =− + ω α ϕ K P ∵R r sinθ = vR u R sin ˆ ∴ = =× ωθ ω ϕ K JK JK O θ R JK a RR =× × +× ωω α ( ) K JK JK JK JK JK 径向分量 2 −rω 切向分量 rα 例题： 细杆匀角速率ω 旋转 杆上有一小环匀速 r v 沿杆向外滑动. t = 0时，环位于原点 O 1. 证明：小环的运动轨迹为阿基米德螺线 2. 试求小环任意时刻的速率和加速度 3. 定性画出小环的加速度和速度的方向ϕ 解：1. ( ) r r t vt = ( ) ( ) v rt t ϕ ω = ϕ (t t ) =ω const ˆr u 2. () () ˆr rt rtu = K ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ r ( ) d r t dr t vt u rt u dt dt == + ω ϕ K K ˆ ˆ r r vu r u = + ω ϕ 刚体没有 Tv 切向分量 2 2 2 22 2 22 1 rT rr r v v v v vt v t = += + = + ω ω r t 时间 v 细杆 ϕ O ω
()=()6+出 dt dt dt 0 v, i,+y,oi,(ro2)i, 2v ou -y to u a()=n0√4o7 极轴 tan e Vr Vrot tan,=a 21.0 6≠b
( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ r r r r dv t dv du dr d du at u v u r u r dt dt dt dt dt dt ϕ ϕ ϕ ω ==++ + + ω ω K K = 0 uˆ =ω ϕ r = v = 0 ˆr = −ωu ( ) 2 2 ˆˆ ˆ 2 ˆ ˆ rr r r rr vu vu r u v u vt u ϕ ϕ ϕ ωω ω ω ω = + +− = − ( ) 2 2 4 r at v t = + ω ω 3. tan 0 r r t T T v v v vt θ ω →∞ = = ⎯⎯⎯→ 2 2 2 tan ' T r r r a v a vt t ω θ ω ω == = − − θ ≠ θ ' 极轴 P r a JJK θ θ ' a K T v r v aT K