第24次课相位振动合成阻尼振动20071130 上次简谐振动微分方 d-x +o x 解:x= x cOS(ot 由初始条件决定,O由系统参数决定 xn振幅,Ot+q相角或相位,初相角,初相位 “相位”:是描述振动和波动最重要物理量,不同的位相表明振动处于不同的振动状态 若两个振动处于相同的相位,表明两个振动在任意时刻都处于相同的状态, 比如它们同时到达极大或极小 与x2同相振动 x与x3反相振动 x2相位超前x.x =xm, cos(ot+P, 对于两个同频率,但初相角不同的振动 e2=xm2 cos(ot +p2 x1,x2振动分别在时间4和12达到相同的振动状态,则mt1+q1=o2+2 △q l2-1 若△q>0,即2>1,则x2领先x△相位 因为△>0,M=12-1<0→2<1,说明x1比x2落后了M时间到达这一状态
第 24 次课 相位_振动合成_阻尼振动_2007.11.30 上次简谐振动 微分方程： 2 2 2 0 d x x dt + = ω 解 ： xx t = + m cos(ω ϕ ) mx ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 由初始条件决定，ω 由系统参数决定 mx 振幅，ω ϕ t + 相角或相位，ϕ 初相角, 初相位 “相位”：是描述振动和波动最重要物理量，不同的位相表明振动处于不同的振动状态。 若两个振动处于相同的相位，表明两个振动在任意时刻都处于相同的状态， 比如它们同时到达极大或极小。 对于两个同频率，但初相角不同的振动 ( ) ( ) 11 1 22 2 cos cos m m xx t xx t ω ϕ ω ϕ = + = + 1 2 0 2 ϕ π ϕ ϕ 0 ，即ϕ2 1 > ϕ ，则 2 x 领先 1 x Δϕ 相位 因为Δ > ϕ 0 , 2 1 Δtt t = −< 0 → 2 1 t t < , 说明 1 x 比 2 x 落后了 Δt 时间到达这一状态 x m1 x m2 x m3 −x 1 1 cos m x = x t ω 1 x 与 2 x 同相振动 1 x 与 3 x 反相振动 t x x tx t 33 3 = −= + m m cos cos ω ( ) ω π 2 2 cos m x = x t ω 2 π xx t 1 = m cos 0 (ω + ) 2 cos 4 m xx t π ω ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 x 相位超前 1 x 4 π
更为直观的方法—矢量法:可以直观地领会简谐振动中xn,O,Q的意义,为振动叠加 提供简便方法。 对x= x cOS(on+q)和x'= x cOS(or+q 设想一个大小为xm的矢量x绕其原点O以O的角速率逆时针转动,如图所示 t=0时刻,矢量与极轴夹角为q,t时刻ot+q 两个矢量x和x在x轴投影表示 两个简谐振动 x=x cos(ot+p) X=x coS(at 9) 从图中看出,p>φ,同时x振动在前,x振动在后 x+x'=x"=m cos(ot +(")=m cos(ot+)+x m cos(ot+p 振动的合成与叠加 x=x,+x2=xm, cos(ot+@)+xm2 cos(ot+02) 与相位差△=2-有关,Aq0x2位相比x位相大,先于x达到某一状态 落后:△q<0
更为直观的方法——矢量法：可以直观地领会简谐振动中 mx , ω , ϕ 的意义，为振动叠加 提供简便方法。 对 xx t = + m cos(ω ϕ ) 和 xx t ′ = + m ′ ′ cos(ω ϕ ) 设想一个大小为 mx 的矢量 mx K 绕其原点O以ω 的角速率逆时针转动，如图所示： mx′ mx′ K t = 0时刻，矢量与极轴夹角为ϕ ，t 时刻 ω ϕ t + ϕ′ ωt +ϕ′ 两个矢量 mx K 和 mx′ K 在 x 轴投影表示 两个简谐振动 ( ) ( ) cos cos m m xx t xx t ω ϕ ω ϕ = + = + ′ ′ 从图中看出，ϕ′ > ϕ ，同时 x′ 振动在前， x 振动在后 xx x x t x t x t += = + = + + + ′ ′′ ′′ ′′ ′ ′ m mm cos cos cos ( ) ω ϕ ωϕ ωϕ ( ) ( ) 振动的合成与叠加 xx x x t x t =+ = + + + 12 1 1 2 2 m m cos cos ( ) ω ϕ ωϕ ( ) 与相位差Δ= − ϕ ϕ ϕ 2 1有关, Δϕ ϕ 0 2 x 位相比 1 x 位相大，先于 1 x 达到某一状态 落后：Δϕ < 0 mx′′ K ϕ x ′ mx K ϕ O ω mx′ K
2.同频率的振动方向相互垂直的简谐振动合成 xm cos(ot+p) y=ym cos(ot+p2) 1)同相:△=0合成一个新的方向固定的简谐振动 2)反相:△=丌合成一个新的方向固定的简谐振动 3)0<Δφ<丌,合成的简谐振动方向不固定,振动轨迹是一个椭圆 3.不同频率、相同振动方向的简谐振动的合成 x=xm cos(o [+p)+xm cos(o,/+p)=2xmcostcos 2 拍频 4.不同频率、振动方向相互垂直的简谐振动合成:“李萨如曲线” 相位不同——合成的振动完全不同! 简谐振动的能量:x= x cOS(om+q) x与a.同相:同时最大,同时最小 =-0xm5n(om+9)x与n,相位相差:一个最大,另一个为零 -oxm cos(ot+o) 势能U=kx2 机械能 弹簧物块 E=K+U=kx2(最大势能) 动能K=-mv2 变化+变化=常量 相差z 动一势转化 K 任何时刻机械能为常量,机械能守恒
2. 同频率的振动方向相互垂直的简谐振动合成 ( ) ( ) 1 2 cos cos m m xx t yy t ω ϕ ω ϕ = + = + 1) 同相： Δ = ϕ 0 合成一个新的方向固定的简谐振动 2) 反相： Δ = ϕ π 合成一个新的方向固定的简谐振动 3) 0 <Δ < ϕ π , 合成的简谐振动方向不固定，振动轨迹是一个椭圆 3. 不同频率、相同振动方向的简谐振动的合成 () ( ) 1 2 1 2 cos cos 2 cos cos 2 2 mm m xx t x t x t t ω ω ω ω ϕ ωϕ ϕ Δ ⎛ ⎞ + = ++ += + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 拍频 4. 不同频率、振动方向相互垂直的简谐振动合成：“李萨如曲线” 相位不同——合成的振动完全不同！ 简谐振动的能量： xx t = + m cos( ) ω ϕ vx t x m =− + ω sin ( ) ω ϕ ( ) 2 cos x m axt =− + ω ω ϕ 机械能 弹簧—物块： ⇒ 1 2 2 E =+= K U kxm （最大势能） 变化 + 变化=常量 相差 2 π 动—势 转化 任何时刻机械能为常量，机械能守恒 能量 E m −x mx K x( ) U x( ) x x 与 x a 同相：同时最大，同时最小 x 与 x v 相位相差 2 π ：一个最大，另一个为零 势能 1 2 2 U kx = 动能 1 2 2 K = mvx
以上讨论的简谐振动是完全理想的情况:没有能量耗散 能量守恒 振幅不变 对于实际的振动系统,由于存在能量的耗散,同时没有外界能量补充时,系统的能量或 振幅将随时间逐渐衰减,这就是我们将要讨论的阻尼简谐振动 考虑一个在空气或其他流体中的振动,由于流体粘滞阻力可表示为-bv(详见第四章) 如图,系统中质量为m的物体在偏离平衡位置所受到的力fx f =-kr-bi ▲x d 2x 轻杆 阻尼片 d-x k b =0 dt- m a2+20a+anx=0阻尼振动方程 2m 该方程的解:x()= xe cOS(t+) 初始条件决定 当t=亠时,振幅衰减到初始值的 寿命 c=Vab-62当→0m→>ab阻尼为零→简谐振动 欠阻尼:O0>6→反复振动趋于平衡位置 过阻尼:ω无振动快速趋向平衡位置
以上讨论的简谐振动是完全理想的情况：没有能量耗散 能量守恒 振幅不变 对于实际的振动系统，由于存在能量的耗散，同时没有外界能量补充时，系统的能量或 振幅将随时间逐渐衰减，这就是我们将要讨论的阻尼简谐振动。 考虑一个在空气或其他流体中的振动，由于流体粘滞阻力可表示为 x −bv（详见第四章） 如图, 系统中质量为 m 的物体在偏离平衡位置所受到的力 x f x x f =− − kx bv 2 2 x d x m kx bv dt =− − x = a 2 2 0 x dx k b x v dt m m ++ = 2 2 2 0 2 0 d x dx x dt dt + += δ ω 阻尼振动方程 0 k m ω = 2 b m δ = 该方程的解： ( ) cos( ) t m xt xe t δ ω ϕ − = +′ mx ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 初始条件决定 当 1 t δ = 时，振幅衰减到初始值的 1 e =τ 寿命 x 阻尼片 轻杆 m 2 2 ω ω δ 0 ′ = − 当δ → 0 ω ω0 ′ → 阻尼为零 → 简谐振动 mx x 欠阻尼：ω0 > δ → 反复振动趋于平衡位置 过阻尼：ω0 < δ → 无振动缓慢趋向平衡位置 临界阻尼：ω0 = δ → 无振动快速趋向平衡位置