第10次课(转动动力学,力矩,转动惯量)2007.10.10 上节课介绍了定轴转动中,角变量与线变量的关系 线加速度:a=(an-ro2)ur+(2vO+ra)ul 径向分量 切向分量 1)对于刚体定轴匀速转动:a=-r32= 0 向心加速度 u=0 2)在匀速转动参照系中的径向匀速运动:a=-Olr+2 v oug c=0 非惯性系中 引入惯性力 Fr=-ma=rour-2vou 沿径向向外与切向相反(v>0,沿径向向外力) 惯性离心力 的科里奥利力 3)刚体定轴转动:a~,a一般关系 a=0×(O×R)+a×R 径向分量切向分量
第 10 次课 (转动动力学，力矩，转动惯量) 2007.10.10 上节课介绍了定轴转动中，角变量与线变量的关系 线加速度： 2 ( ) (2 ) r r r a a r u v ru =− + + ω ωα ϕ K 1） 对于刚体定轴匀速转动： 2 2 r r r v a ru u r =− =− ω K 0 0 0 r r a u α = = = 2） 在匀速转动参照系中的径向匀速运动： 2 r 2 r a r u vu =− + ω ω ϕ K 0 0 r a α = = 非惯性系中 引入惯性力 2 v r 2 F ma r u v u r =− = − ω ω ϕ JK K 3） 刚体定轴转动： a ω K JK ∼ ，α JK 一般关系 a RR =× × +× ωω α ( ) K JK JK JK JK JK v K 径向分量 切向分量 向心加速度 沿径向向外 惯性离心力 与切向相反（ 0 r v > ，沿径向向外力） 的科里奥利力 径向分量 切向分量
Chapter 9 Rotational dynamics 微分()积分 转动坐标系 τ力矩 Ⅰ转动惯量 引入这些物理量描述转动状态的变化(产生角加速度 L角动量 转动动力学 转动状态的改变 显然与外力有关力的大小 方向}力的三要素 作用点 作用在刚体上的力不仅要考虑其大小、方向,而且要考虑力的作用点。同样大小的且具 有相同方向的两个力但由于作用点不同,刚体运动状态会完全不同。 举例:开门 力称为滑移矢量,沿通过作用点的直线移动,对刚体作用不变 即不是平移矢量 1)共点力系—直接求合力 2)水平力系:一般不能直接求合力,因为合力作用点 ①完全平行F1∥F2 ∑F=F1+F21必须确定新的作用点 力系分类 I F1 F2l ②反平行 FiH=F2|F=0无作用点→+力偶 3)共面力系 4)一般力系
Chapter 9 Rotational Dynamics ϕ( )t 微分 ω( )t JK 积分 转动坐标系 α( )t JK τ K 力矩 I 转动惯量 引入这些物理量描述转动状态的变化（产生角加速度） L JK 角动量 转动动力学 转动状态的改变 显然与外力有关 力的大小 方向 力的三要素 作用点 作用在刚体上的力不仅要考虑其大小、方向，而且要考虑力的作用点。同样大小的且具 有相同方向的两个力但由于作用点不同，刚体运动状态会完全不同。 举例：开门 力称为滑移矢量，沿通过作用点的直线移动，对刚体作用不变 即不是平移矢量 1）共点力系 直接求合力 2）水平力系：一般不能直接求合力，因为合力作用点： ○1 完全平行 F1 2 // F JK JK ∑FF F = +1 2 | JK JK JK 必须确定新的作用点 | || | F F 1 2 ≠ JK JK ○2 反平行 | || | F F 1 2 = JK JK F = 0 JK 无作用点 力偶 3）共面力系 4）一般力系 力系分类
单一质点定轴转动(轻杆连结绕通过原点O的z轴转动) F 力F= Fsin bu+ Fcos ur 切向 径向 F 质点上力分析 F F被杆对质点张力平衡 线角变量关系 ∑F=Fr=ma=ml Fr=Fsin 6 mra 0是r与F两个矢量夹角,两边乘以r rEsin b= mr2a 单一质点相对转轴的转动惯量Ⅰ=m 力矩z.=la T=rx 刚体的转动惯量:=im∑m=∫rm 积分计算给出许多物体的转动惯量 1球=MBR2=Mkk=R回旋半径 MR= MK
单一质点定轴转动（轻杆连结绕通过原点 O 的 z 轴转动） y r K O x 力 F = + F uF u sin cos θ ϕ θ r JK FT Fr 切向 径向 FT 质点上力分析 Fr Fr 被杆对质点张力平衡 线角变量关系 ∑F F ma mau === T ϕ JK JK K T sin F = == F ma mr θ T z α JK θ 是 r K 与 F JK 两个矢量夹角，两边乘以 r 2 sin z rF mr θ = α 单一质点相对转轴的转动惯量 2 I = mr 力矩 z z τ = Iα τ = r F× K K JK 刚体的转动惯量： 2 2 0 lim n m I r m r dm δ δ → = = ∑ ∫ 积分计算给出许多物体的转动惯量 2 2 2 = 5 I球 球 MR Mk = 2 5 k R 球 = 回旋半径 1 2 2 = 2 I球壳 球壳 MR Mk = θ F JK T
平行轴定理:质量为M的物体绕某轴的转动惯量Ⅰ等于物体绕于该轴平行的且通过质心的 转轴的转动惯量Ⅰ加上质量乘以两轴距离的平方 J=I +Mh2 2P(xn, yn) 证明 根据xn=xn+xm C(质心)(xm,ym) yn=yn ty =∑m2=∑mn(x2+y2) =∑m(x2+y2)+(x2+2∑mn+2xm∑mx+2ym∑my 在质心系中求质心坐标x=0 Ⅰ+Mh 垂直轴定理:绕垂直薄片某轴的转动惯量Ⅰ等于两个平行薄片且相互垂直并都通过该轴与 薄片交点的两个轴其转动惯量之和 r=r×F(但不能随意写成F×r,否则物理上有很大不同意义) 举例:负折射现象
平行轴定理：质量为 M 的物体绕某轴的转动惯量 I 等于物体绕于该轴平行的且通过质心的 转轴的转动惯量 cm I 加上质量乘以两轴距离的平方 2 = +Mh cm I I 证明： 根据 ' n n cm x = + x x ' n n cm y yy = + 2 22 ( ) nn n n n I == + ∑ ∑ mr m x y '2 '2 2 2 ' ' ( )( ) 2 2 = ++ + + + ∑ ∑∑ ∑ m x y x y m x mx y my n n n cm cm n cm n n cm n n 0 0 在质心系中求质心坐标 ' 0 cm x = ' 0 cm y = = 2 Icm +Mh 垂直轴定理：绕垂直薄片某轴的转动惯量 z I 等于两个平行薄片且相互垂直并都通过该轴与 薄片交点的两个轴其转动惯量之和 I zx y =I I + τ = ×r F K K JK （但不能随意写成 F r × JK K ，否则物理上有很大不同意义） 举例：负折射现象 O y’ y x P( n x , n y ) ( ' n x , ' n y ) C(质心)(, ) cm cm x y h x’ z I x I y I
重力引起的力矩 重心C =∑t=∑(nxm.g) C∑mrn)×g= ram xMg g Mre 个物体重力矩=相当于物体的总重力Mg作用在质心上所产生的力矩 重力相当于质心或重心的力矩为零 如果质心与重心不重合?g不是常矢量?
重力引起的力矩 n ( ) n n τ τ == × ∑ ∑ r mg KK K JK ( ) n cm = ×= × ∑m r g r Mg n K JKK JK M r cm K r cg K 一个物体重力矩 =相当于物体的总重力 M g JK 作用在质心上所产生的力矩 重力相当于质心或重心的力矩为零 如果质心与重心不重合？ g JK 不是常矢量？ r n K mg JK M g JK g JK 重心 C mn