第25次课受迫振动共振_Q值2007.12.5 方程 解 t 简诸振动: +O2x=0 主要由初始条件决定,C由系统参数决定 x=xm cos(ot+o') 阻尼简谐振 d2x.dx d2+26+x=0 主要由条件决定,O由系统参数决定 x 0t+ 暂态解 稳态解 dx 受迫振动 dr2+28+o%x=f, cos ot dt 振幅x= (简谐驱动力 左边也应是简谐的右边是简谐的 (2-02)+4i 初相 F cos ot简谐驱动力O与0(固有频率)不同 讨论:驱动力频率O与固有频率O的关系 1)当O<an(低频→静态),x=x=Fm 与驱动力同相振动 声学 在低频驱动力作用下,系统以驱动力的频率同相振动,此时物体的速度一与加速 度很小→趋近零
第 25 次课 受迫振动_共振_Q 值_2007.12.5 方程 解 简谐振动： 2 2 2 0 0 d x x dt + = ω xx t = m cos(ω0 +ϕ ) mx ϕ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 主要由初始条件决定，ω0 由系统参数决定 阻尼简谐振 动： 2 2 2 0 2 0 d x dx x dt dt + δ ω+ = xx t = + m ′ cos(ω′ ′ ϕ ) mx ϕ ⎛ ⎞ ′ ⎜ ⎟′ ⎝ ⎠ 主要由条件决定，ω′ 由系统参数决定 2 2 ω ω δ 0 ′ = − 受迫振动： (简谐驱动力) 2 2 2 0 2 cos m d x dx x f t dt dt + += δ ω ω 左边也应是简谐的 右边是简谐的 cos cos ( ) () t m m x xe t x t δ ω ϕ ωϕ − = ′ ′′ ++ + 暂态解 稳态解 振幅 ( )2 22 2 0 4 m m f x ω ω δω = − + 初相 2 2 0 2 tan δω ϕ ω ω = − m m F f m = cos F t m ω 简谐驱动力 ω 与ω0 (固有频率) 不同 讨论：驱动力频率ω 与固有频率ω0 的关系 1) 当ω ω0 （低频 →静态）, 0 2 0 m m m m f F x x ω k =≈= ω → 0 ϕ = 0 声学 在低频驱动力作用下，系统以驱动力的频率同相振动，此时物体的速度 dx dt 与加速 度 2 2 d x dt 很小 → 趋近零 与驱动力同相振动
dt Oox f cost 00弹性恢复力/m=驱动力/m→>驱动力与弹性恢复力平衡 振幅x是在F的作用下最大的静伸长 2)当O>0(高频)x→0 0→09=丌 振幅小,反相振动→)驱动与位移总是 光学 反相导致速度小,但加速度不小 d-x d x aox=fr f cos ot cos(ot+丌 d t 2 dt d t- 3)当=a(共振)xn=xm≈ f 2602/0n 品质因数 dx COS @o! 0 驱动力=阻尼力_输入的能量=耗散能量振幅增大到静伸长 的Q倍 共振的条件:外界驱动力的频率O等于系统的固有频率a0O=n 共振时 开始振幅小→速度小→阻尼小→驱动力大→>振幅↑→速度↑→阻尼个→振幅↓ 达到平衡:输入能量〓耗散能量 从以上的分析中要充分理解物理一数学的关系,老物理学家的故事 问题:如果没有阻尼,O=O0将发生什么?
2 2 d x dt + 2 dx dt δ + 2 0 ω x = cos mf ωt 0 0 弹性恢复力 / m = 驱动力 / m → 2) 当ω ω0 （高频） 2 0 m m m f x x ω = ≈→ ∞ ω → ∞ ϕ = π 光学 2 2 2 0 2 cos m d x dx x f t dt dt + += δ ω ω → 2 2 cos m d x f t dt = ω ( ) 2 cos mf x t ω π ω = + 0 0 3) 当ω = ω0 （共振） 0 0 0 0 2 2 m m m mr m f x x x xQ δω δ ω =≈ = = ′ 0 2 Q ω δ = 2 π ϕ = − 品质因数 2 2 2 0 0 cos 2 m d x dx xf t dt dt += − ω ωδ → 0 = 0 驱动力 = 阻尼力 ⇒ 输入的能量 = 耗散能量 共振的条件：外界驱动力的频率ω 等于系统的固有频率ω0 ω =ω0 共振时： 开始振幅小 →速度小 →阻尼小 →驱动力大 →振幅↑ →速度↑ →阻尼↑ →振幅↓ 达到平衡：输入能量 = 耗散能量 从以上的分析中要充分理解物理—数学的关系，老物理学家的故事 问题：如果没有阻尼，ω = ω0 将发生什么？ 驱动力与弹性恢复力平衡 振幅 mx 是在 Fm 的作用下最大的静伸长 振幅小，反相振动 → 驱动与位移总是 反相导致速度小，但加速度不小 振幅增大到静伸长 的Q 倍
品质因数Q 阻尼振动的能量(机械能):E=kx2+mx2 cos(ot+p)+5mo" sin(o't+) δ较小 ≈-kx2e-20 振幅平方 振子能量不再守恒,随时间指数衰减。在一个振动周期7≈2内,损失的能量AE与E 之比的2丌倍为品质因数 E 储存能量 振动一次损失的能量 δ越小,Q越大,振动时间或次数越多,越接近理想谐振 26 O Q大,d小 O中,d中 Q小,大 O很小,δ很大 Q品质因数越高,共振时能量越大,振幅越大 共振的应用:O=06≤C 1)荡秋千 2)收音机、电视、手机、调谐(共振) 3)核磁共振 O越大,谐振越好 电容,电感等电子元器件也有O值
品质因数 Q 阻尼振动的能量（机械能）： 1 1 2 2 2 2 E = + kx mx ( ) ( ) 1 1 2 2 22 2 cos sin 2 2 m m = ++ + kx t m x t ′ ω′ ′ ′′ ′ ′ ϕ ω ωϕ δ 较小，ω ω0 ′ ≈ 1 2 2 2 t m kx e− δ ≈ ′ 振幅平方 振子能量不再守恒，随时间指数衰减。在一个振动周期 0 2 T π ω = 内，损失的能量 ΔE 与 E 之比的 2π 倍为品质因数 2 E Q E = π Δ 0 2 ω δ = δ 越小，Q 越大，振动时间或次数越多，越接近理想谐振 Q 品质因数越高，共振时能量越大，振幅越大 共振的应用： ω =ω0 0 δ ω 1) 荡秋千 2) 收音机、电视、手机、调谐（共振） 3) 核磁共振 …… Q 越大，谐振越好 电容，电感等电子元器件也有Q 值 0 m m x x Q Q 大，δ 小 Q 中，δ 中 Q 小，δ 大 Q 很小，δ 很大 1 0 ω ω 储存能量 振动一次损失的能量