第三讲 复习: 不论对静电力还是静电场,我们遵循的逻辑都是 点电荷的结果(实验)十叠加原理(实验) →多个电荷的结果→连续分布体的结果(三维,二维,一维) 场的定义及点电荷所产生的场强: E(r F er 4 试探电荷,q>0(其产生的附加场不能影响到被探测场本来的行为) b。→>0(可以明确定义F) 线性叠加原理少连线体的电场:EG)=+mPy-n ***半*半半*半幸半*半孝半本半半孝半半*半*半幸*半半半容半幸*半容半半半容半半半尜客*字半半半*岑半容 4.深入认识电场 1.力与场的不同 我们在中学的学习中以及在《力学》的学习中非常熟悉力的概念。然而电场 与静电相互作用力的不同: E(r)- F(r) 1q1q2 (-2) F2r q192 2 根据牛顿第三定律可知:作用力等于反作用力。然而对电场来讲, q在q处的电场:E(2)=y q1 q24ze0|z2-亓 9在q处的电场:2(分)F 914o|F-F2 (F一)
第三讲 复习： z 不论对静电力还是静电场，我们遵循的逻辑都是 点电荷的结果（实验）+ 叠加原理（实验） Æ 多个电荷的结果 Æ 连续分布体的结果（三维，二维，一维） z 场的定义及点电荷所产生的场强： 2 0 () 1 ( ) ˆ 4 r Fr q E r e q r πε = = r r v v 试探电荷， （其产生的附加场不能影响到被探测场本来的行为） （可以明确定义 0 q → 0 0 a → 0 r r ） z 线性叠加原理 Æ 连续体的电场： 3 0 1 () ( ) ( ) 4| | r dr E r r r r r ρ πε ′ ′ = − ′ − ′ ∫ v v v v v v v v ********************************************************************* 4．深入认识电场 1． 力与场的不同 我们在中学的学习中以及在《力学》的学习中非常熟悉力的概念。然而电场 与静电相互作用力的不同： Er Fr ( )~ ( ) v v v v 1 2 12 3 1 2 01 2 1 ( ) 4| | q q F r πε r r = − − v v vr 1 2 21 3 2 1 12 02 1 1 ( ) 4| | q q F rr F πε r r = − − v v v v = − 根据牛顿第三定律可知：作用力等于反作用力。然而对电场来讲， 1 q 在q 处的电场： 2 21 1 1 2 3 2 1 2 02 1 1 ( ) ( ) 4| | F q E r r q πε r r = = − r − v v v v v v v 2 q 在 处的电场： 1 q 12 2 2 1 3 1 2 1 01 2 1 ( ) ( ) 4| | F q E r r q πε r r = = − r − v v v v v v v
从以上两个等式可看出E1(2)≠-E2(),所以我们知道场与力是不同 的。力与两个电荷有关,而场是隶属于一个电荷的内禀的性质 2.一个悖论(电荷对自身的作用) 考虑两个电荷的场 E1(F)= 4 E2(F)=,9(F-E) 4zE。|F 由叠加原理,在空间任何一点F处的电场为: E2(F)=E(F)+E2(F) (264.1) 根据上式,则在F=处的电场为: E (2642) 4E。|E- (2642)式中的第二项趋向于∞!看受力 EG)=F→F()=9EG) (2643) 取观测点为F=,事实上我们可以把探测电荷就认为是处在F=F2点的 q=q2,代入(264.3),得 F2=q2E(2)=q2E1()+q2E2(2)→ (2644) 也就是说,q2所受的力趋向于∞! 但是之前我们已经知道 F2 q192 4xE0| (2-)=q2E(E) (264.5) 为有限值。 如何理解这个问题呢? 从表面看,(264.5)与(2644)的区别是(2645)没有考虑自己对自己的力。 然而问题是,为什么我们不算自己的场给自己的力呢?
从以上两个等式可看出 12 21 Er E r () () ≠ − v v v v ， 所以我们知道场与力是不同 的。 力与两个电荷有关，而场是隶属于一个电荷的内禀的性质。 2．一个悖论（电荷对自身的作用） 考虑两个电荷的场， 1 1 1 3 0 1 1 ( ) ( ) 4| | q E r r r πε r r = − − v v v v v v 2 2 2 3 0 2 1 ( ) ( ) 4| | q E r r πε r r = − − v v v v v r v 由叠加原理，在空间任何一点r r 处的电场为： 1 2 E () () () r Er E r = + v vv v v 总 v = r r r ， （26.4.1） 根据上式，则在r 2处的电场为： 1 2 2 2 3 1 02 1 02 2 1 1 ( ) ( ) ( ) 4| | 4| | q q E r r r r r πε r r πε r r = − + − − 3 2 − 2 v ur ur v v v 总 v v v v （26.4.2） （26.4.2）式中的第二项趋向于∞ ！ 看受力： 0 0 ( ) ( ) () () F r E r F r qEr q = ⇒= v r v v r r v r r （26.4.3） 取观测点为 r = 2 r r 2 ∞ ，事实上我们可以把探测电荷就认为是处在 点的 ，代入（26.4.3），得 2 r r =r r 0 q q = 2 2 2 21 2 22 2 F qEr qE r qE r == + → () () () v vv vvv （26.4.4） 也就是说， 2 q 所受的力趋向于∞ ！ 但是之前我们已经知道： 1 2 2 2 3 1 02 1 1 () ( 4| | q q 2 1 2 F r r qE r ) πε r r = − = − v vv v v v （26.4.5） 为有限值。 如何理解这个问题呢？ 从表面看，（26.4.5）与（26.4.4）的区别是（26.4.5）没有考虑自己对自己的力。 然而问题是，为什么我们不算自己的场给自己的力呢？
5.举例: (1)半径为R的均匀荷电环的电场 这个问题木质上仍为一维的,线电密度。2=2 定义一微元,其总电荷:q=λRdφ,距观测点距离:r=√2+R 环在观测点处产生的电场分量为 E=Ec E:= Esin ecosφ, E,= elsin sinφ dE 1 aRdo (=2+R2)(=2+R2y aRado 4兀Eo(二2+ R 2z 1 aRado 2Rz E (26.5.1) +R2)260(x2+R) 2R- E0(z+ R2)x4xG0(2+R2)x do cos o=0 也可由对称性得知:E,=E,=0 假设z>>R,那F_1R_AR O 282 4e Rz 4T8 这就是点电荷的结果!!! 当二<0时,E(--)=-E(二),故最终结果可以由(26.51)统一描述。 (2)均匀荷电圆盘 此为二维问题,面电荷密度是:a 取微元为r处的宽为d的圆环 R 它的总电荷量是:q=2rdr:a
5．举例： (1) 半径为R 的均匀荷电环的电场 这个问题本质上仍为一维的，线电荷密度： 2 Q R λ π = 定义一微元，其总电荷： q Rd = λ φ ， 距观测点距离： 2 2 r zR = + 环在观测点处产生的电场分量为： | | cos E E z = θ ， | | sin cos E E x= θ φ ， | |sin sin E E y = θ φ 2 2 1 2 2 2 0 3 2 2 2 0 1 4( ) ( ) 1 4 ( ) z Rd z dE z R z R Rzd z R λ φ πε λ φ πε = + + = + 2 3 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 4 2 () () z Rzd Rz E zR zR π 3 λ φ λ πε ε = = + + ∫ （26.5.1） 2 2 2 3 3 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 cos 1 cos 0 4 4 () () x Rd R R E d zR zR π π λφ φ λ φ φ πε πε = = + + ∫ ∫ = R 也可由对称性得知： 0 E E x y = = 假设 ，那么 z >> 32 2 0 00 1 2 24 4 z 2 0 RzR Q Q E z z Rz z λ λ ε ε πε πε = == = 这就是点电荷的结果！！！ 当 时， z < 0 E z Ez z ( ) () − =− z ，故最终结果可以由（26.5.1）统一描述。 (2) 均匀荷电圆盘 此为二维问题，面电荷密度是： 2 Q R σ π = 取微元为 处的宽为 的圆环， r dr 它的总电荷量是： q rdr = 2π ⋅σ
把现在取的微元看成是之前讨论的电荷环分布的情况,那么对应的电荷线分布 密度为: 利用之前的结果,得 2rz gdr.I O E E 2 c0(=2+r 2 +r 2 +r (26.52) 如果不用之前的结果,直接从点电荷的情况算起,那么取一微元,其电荷是 doar 利用点电荷场的公式得: de - ardor I ardor 4xE0(=2+r R R ordr E 4 0 r 2 R2 下面来分析一下两种极限情况 a)2>>R 利用 Taylor展开
把现在取的微元看成是之前讨论的电荷环分布的情况，那么对应的电荷线分布 密度为： λ =σdr 利用之前的结果，得 ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 z rz dr rz dE zr zr λ σ ε ε ⋅ = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 0 0 2 2 2 2 0 0 1 2 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 2 2 0 2 4 1 11 2 2 | | 1 0 2 R R z R dr rz zdr E zr zr z z z z r z R z z z R σ σ ε ε σ σ ε ε σ ε ⋅ = = + + ⎡ ⎤ = − = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ > ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ ∫ ∫ （26.5.2） 如果不用之前的结果，直接从点电荷的情况算起，那么取一微元，其电荷是： q rd dr = ⋅ φ σ 利用点电荷场的公式得： ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 0 0 1 4 4 z rd dr z rd dr z dE z r z r z r σ φ σ φ πε πε = = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 0 0 2 2 0 2 2 0 0 2 3 2 1 2 0 2 2 2 2 0 0 4 2 1 4 2 R R z R rd dr z rdr z E z r z r z dr z z r z R π σ φ σ πε ε σ σ ε ε = = + + ⎡ ⎤ = =− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ 下面来分析一下两种极限情况 a) z R >> 利用 Taylor 展开
1(R 1 c2+R R 则 R R --点电荷的结果 b) =∞(无限大圆盘) 在这个极限下,我们发现 (i)无限大带电平板电场与z无关 (i)进一步,因R→∞时,E与x,y亦无关 (圆盘没有中心,或是任何一点都是圆心)。 所以 无限大带电平板产生的电场为理想的均匀电场,方向垂直于板, 场强为(2653) 另,根据对称性 E.(=)=-E(二) 据此,我们可以得到均匀带电板的电场分布,如右图所示。 (2)或R有限z→0(参考点非常靠近一个有限尺寸的圆盘) 这种体系只有当参考点非常靠近圆心的一小部分区域,电场才是均匀场 (3)两个平板分别荷电+,-,求其中心的场分布 解:由线性叠加原理,总电场沿z方向 E.(z)=E4(z)+E(=) 带正电荷的板产生的电场
( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 zz R z z R R z z ⎛ ⎞ = ≈ − +⋅⋅⋅⋅ ⎜ ⎟ + ⎡ ⎤ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 则， 2 2 2 2 2 0 0 22 4 4 z Q R R Q R E z z σ π 2 0 ε ε πε z →⋅= = ---- 点电荷的结果。 b) z R << 0 0 1 2 2 z z E R σ σ ε ε ⎡ ⎤ → −→ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （26.5.3） 两种办法可以达到此极限： （1）或 有限 （无限大圆盘）； 在这个极限下，我们发现 z R → ∞ （i）无限大带电平板电场与 无关！ z （ii）进一步，因 R → ∞ 时， 与Ez x, y 亦无关 （圆盘没有中心，或是任何一点都是圆心）。 所以： 无限大带电平板产生的电场为理想的均匀电场，方向垂直于板， 场强为（26.5.3） 另，根据对称性， () () Ez Ez z z = − 据此，我们可以得到均匀带电板的电场分布，如右图所示。 （2）或 R 有限 （参考点非常靠近一个有限尺寸的圆盘） z → 0 这种体系只有当参考点非常靠近圆心的一小部分区域，电场才是均匀场。 (3) 两个平板分别荷电+ −, ，求其中心的场分布 解： 由线性叠加原理，总电场沿 方向， z () () () Ez Ez Ez z = + + − 带正电荷的板产生的电场：
E,( +r 带负电荷的板产生的电场: E_(二) (d-=2)+R2 总电场: d (2+R)y(d-=3)+R2) 当R→∞时, E()≈[2] 均匀电场与z无关是单板的2倍! (4)球壳状荷电体的电场 面电荷密度: 4丌R 考虑任意一观测点,均可以通过坐标变换将其旋 转到z轴上,不失普遍性,我们可假设观测点在z轴。 取一环状微元,如图所示,定义 r=Rsin e ==l-rcos e 则微元带电量为Aq=GRd6.2 T Rsin 根据对称性,微元产生的电场仅有z分量。有 dE 4 1 oRdB Rsin 8(/-Rcos 8) LEo(-Rcos8)2+(Rsin8)21
( )1 2 2 2 0 () 1 2 z E z z R σ ε + ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ 带负电荷的板产生的电场： ( )1 2 2 2 0 () 1 2 ( ) d z E z dz R σ ε − ⎡ ⎤ − = − ⎢ ⎥ − + ⎣ ⎦ 总电场： ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 0 () 2 2 ( ) z dz E z z R dz R σ ε ⎡ ⎤ − =− − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + −+ ⎣ ⎦ 当 时， R → ∞ [ ] 0 0 () 2 2 E z σ σ ε ε ≈ = 均匀电场与 无关是单板的 z 2 倍！ （4）球壳状荷电体的电场 面电荷密度： 2 4 Q R σ π = 。考虑任意一观测点，均可以通过坐标变换将其旋 转到 z 轴上，不失普遍性，我们可假设观测点在 z 轴。 取一环状微元，如图所示，定义 r R = sinθ zlR = − cosθ 则微元带电量为 Δ= ⋅ q Rd R σ θπ θ 2 sin 根据对称性，微元产生的电场仅有 z 分量。有： ( )3 2 2 2 0 3 2 2 2 0 4 1 sin ( co 2 ( cos ) ( sin ) z q z dE z r Rd R l R lR R πε σ θθ θs ) ε θ θ Δ = + ⋅ ⋅− = ⎡ ⎤ − + ⎣ ⎦
I oR sin ed6·(l- Rcos e) 250[P+R2-2Rcoy3 oR d(cos 0).(-Rcoso) 2。[P+R2-2 CoseT 定义x=cos日,则 E、OR (-Rx)dx (P2+R2-2l (-Rx)-d 2 R√P2+R2-2/Rx R 12+R2-2IRx 26i/√P+R2-2Rx (26.54) GRJ1-R_1-R_/+ RR l+R R2 l>R /<R 对均匀带电球壳,可以严格证明其内部的电场处处为0!而外部电场与处于 球心处的带有相同电量的点电荷产生的电场一致!但计算极其繁复! 从这里我们可看出高斯定理的重要性! 5)偶极子电场 dipole 1.什么是偶极子?定义P=ql 2.为什么研究偶极子? ①介电物质在电场下的响应即是形成偶极子 ②任意电荷分布, 最低阶贡献为点电荷:Q=∫p( 高一阶的贡献就是偶极子: P=rp(r)dr
2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 0 1 sin ( cos ) 2 2 cos 1 (cos ) ( cos 2 2 cos R d lR l R lR Rd l R l R lR σ θθ θ ε θ σ θ θ ) ε θ ⋅ − = ⎡ ⎤ + − ⎣ ⎦ ⋅ − = − ⎡ ⎤ + − ⎣ ⎦ 定义 x = cosθ ，则， 2 1 2 2 3/2 1 0 2 1 1 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 0 2 2 2 0 0 ( )d 2 ( 2) 1 1 ( )d 2 2 2 2 2 2 4 z R l Rx x E l R lRx R l Rx Rl l R lRx R l Rx l R lRx l l l R lRx RlR lRlR l R llR l lR l R Q l l l σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε πε − − − − = + − ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + − ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − +− = − ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ + − ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ − ++ − = − −+ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ − + ⎩ ⎭ = = ∫ ∫ 0 R l R ⎧ ⎪ > ⎨ ⎪ ⎩ < （26.5.4） 对均匀带电球壳，可以严格证明其内部的电场处处为 0！而外部电场与处于 球心处的带有相同电量的点电荷产生的电场一致！但计算极其繁复！ 从这里我们可看出高斯定理的重要性！ （5）偶极子电场 dipole 1． 什么是偶极子？ 定义 P ql = ur r d r 2． 为什么研究偶极子？ ① 介电物质在电场下的响应即是形成偶极子 ② 任意电荷分布， 最低阶贡献为点电荷：Q r = ρ( ) ∫ r r 高一阶的贡献就是偶极子： P r rd = ρ( ) ∫ ur r r rr
3.偶极子的电场 E=E+E E.≠0.<0 +q产生的电场:E 4 而 E=E 故E=-2×-91 xsin e 4 1×/)2卫24m0y0 以上结果是在l<的情况上简化的 P E(0,20) (26.5.5) 偶极子的电场r3,而电荷的贡献~2,因而偶极子的贡献比电荷的贡献更 快衰减。 (六)电力线 如何表征E()?法拉第发明了电力线的方法来形象地表征电场。 电力线定义:①电力线的切线方向∥E 电力线数密度∝E (1)点电荷 4πε E 4:
3．偶极子的电场 E = + E E + ur uur uur − ， 0 E y = ， 0, 0 Ez ≠ < +q 产生的电场： 2 0 2 0 1 4 2 q E l y πε + = ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 而 E E − + = ， 故 2 3 3 2 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2 sin 4 2 2 2 z l q q E l y l y y θ πε πε πε =− × × =− ≈ − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 2 0 0 4 ql 以上结果是在 的情况上简化的。 0 l y << 3 0 (0, ,0) 4 P E u πε y = − ur ur （26.5.5） 偶极子的电场 3 1 ~ r , 而电荷的贡献 2 1 ~ r ，因而偶极子的贡献比电荷的贡献更 快衰减。 （六）电力线 如何表征 rE ?)( 法拉第发明了电力线的方法来形象地表征电场。 电力线定义 ： ① 电力线的切线方向 // E ② 电力线数密度∝ E （1）点电荷 2 0 1 4 r q E r + = πε uur ure 2 0 1 ( ) 4 r q E e r − = − πε uur ur
E(r) 电力线的数目与r无关!也就是说: 电力线是连续的, 考虑到电力线的方向,有另一结论: 始于正电荷,终于负电荷 (2)平板 它产生的电场是均匀电场 (3)两点电荷的电场分布 靠近某一点电荷时,电力线行为由这个电荷唯一确定 ●电力线连续,由+正电荷出发,到-电荷终止 没有负电荷,则电力线终止与无穷远 这3个原则可以帮助我们画出任何电荷体系的电力线分布。 作业 P609-610, Problems,2,4,6,8
2 2 )( 4 r q rE r Nr == π 0 ε q Nr = 电力线的数目与 r 无关！也就是说： 电力线是连续的， 考虑到电力线的方向，有另一结论： 始于正电荷，终于负电荷 （2）平板 它产生的电场是均匀电场 （3）两点电荷的电场分布 z 靠近某一点电荷时，电力线行为由这个电荷唯一确定 z 电力线连续，由+正电荷出发，到-电荷终止。 z 没有负电荷，则电力线终止与无穷远。 这 3 个原则可以帮助我们画出任何电荷体系的电力线分布。 作业： P609-610， Problems，2，4，6，8