第十五讲 复习: 电容贮能U=≌=C2 重复计数修正 ②变力做功平均 *两个表达式对应不同的外界条件 通常对应孤立体系(因此电荷恒定) 2C 通常用在定压条件下(能量由源供给) 另一表达式(r)=E0E( 静电能密度 本课程由平板电容器推出←《电动力学》中有更完整的推导 静电学两者完全等价! 电磁波后者正确←(即使是瞬态过程) 第31章:直流电路 静电学( electrostatics) 电荷静止不动V==0 直流电路(DC. Circuit) 电荷不再静止,电流方向不随时间变化 交流电路(AC. Circuit 电流方向随时间变化 直流电路研究的对象是电流,我们将研究有R(电阻),C(电容)情况下 的电流。电流的载体是导体,前面学习了导体组成的两种元器件,R,C,电 介质不能载流,但可以增加电容 (一)回顾电流的基本概念 单位时间通过一定导体截面的电荷 r).ds 电流密度 ②1()==0Jm0F0DF 电荷守恒
第十五讲 复习： * 电容贮能 2 1 1 2 2 2 Q U C C = = V ① 重复计数修正 ② 变力做功平均 * 两个表达式对应不同的外界条件 2 1 2 Q C ------ 通常对应孤立体系（因此电荷恒定） 1 2 2 CV ------ 通常用在定压条件下（能量由源供给） * 另一表达式 2 0 1 () () 2 r μ εε r E = r v v ------ 静电能密度 本课程由平板电容器推出 Å 《电动力学》中有更完整的推导 静电学 两者完全等价！ 电磁波 后者正确 ⇐ （即使是瞬态过程） --------------------------------------------------------------------------------------------- 第 31 章：直流电路 静电学（electrostatics） 电荷静止不动 v r = & = 0 直流电路（D.C. Circuit） 电荷不再静止，电流方向不随时间变化 交流电路（A.C. Circuit） 电流方向随时间变化 直流电路研究的对象是电流，我们将研究有 R （电阻）， （电容）情况下 的电流。电流的载体是导体，前面学习了导体组成的两种元器件， C R ， ，电 介质不能载流，但可以增加电容。 C （一） 回顾电流的基本概念 ① dq i dt = ⇐ 单位时间通过一定导体截面的电荷 i jr d = ⋅ ∫ ( ) 电流密度 r r rs ② ( ) (,) v q j r ds r t dr t t ρ Δ ∂ ∂ ⋅= = ∂ ∂ ∫ ∫ r rr r r 电荷守恒
稳恒条件下 D(7,t)=0 j()·ds=0 ne j(7)=aE(F) h E(F)=pj(7) V=RI RALR:阻碍电荷流动的能力 A 对比C=5C:贮存电荷的能力 ④能量耗散1,E·d→V 进一步,根据能量守恒,这部分功一定是以热能的形式被环境带走
稳恒条件下 (,) 0 r t t ρ ∂ = ∂ r ( ) 0 v j r ds Δ∫ ⋅ = ⇒ r r r 1 2 i i = = i ③ jr Er () () = σ r r r r 2 ne m σ = τ E() () r j = ρ r r r r r V = RI L R A = ρ R ：阻碍电荷流动的能力 对比 0 A C L = ε C ：贮存电荷的能力 ④ 能量耗散 ⇐ （新的部分） E = ρ j r r 电场对电荷一直做功，但电流恒定不变，电荷带的机械能没有增加，电场得功 到哪儿去了？事实上这些功被晶格振动，杂质运动等带走了，变成了环境的热能！ 此过程即为耗散 dissipation。定量考虑： 单位时间场对电荷的做功 d F qE V dt ⋅ = ⋅ r r r l r dt 时间内， 体积内外场对电流的做功为（计 dΩ W 是电场对电流做的总功） dW nqv E j E dtd = ⋅ =⋅ Ω r r r 将上式对整个电阻内积分，单位时间电场对 R 中电流做的功 () () dW j r E r dr j E A d I V dt = ⋅ =⋅⋅⋅= ∫ r r r rr ⋅ 注意： 此处用到了 j ⋅ A IEd V → ⋅→ , 进一步，根据能量守恒，这部分功一定是以热能的形式被环境带走，即 heat dQ dW I V dt dt = = ⋅
(二)电动势←研究稳恒电流的先决条件 (1)为什么要引入电动势 如果没有任何的非静电源,电流不能稳恒 用导线连起电容两极,即有电流l,电荷由高电势板流到了低电势处 电荷变少→电压,Q变少→电荷仍由△驱动 最终:Q=0,△=0,i=0 从能量角度, 存在C中的总电能为U=c21Q 2 dw 单位时间耗散在R中的电能at =1R变成环境的热能 没有别的能量来源 U 0 →( →)0 思考:若是超导体如何? (2)什么是电动势 非静电机制将正电荷由负极移到十极 用“E”来表示电动势
（二）电动势 ← 研究稳恒电流的先决条件 （1） 为什么要引入电动势 如果没有任何的非静电源，电流不能稳恒 ++++++++++++++++++++++++++ --------------------------------------------- R 用导线连起电容两极，即有电流i ，电荷由高电势板流到了低电势处 电荷变少⇒ 电压α,Q 变少 电荷仍由 驱动 ⇒ ΔV 最终： Q Vi = 0, 0, 0 Δ= = 从能量角度， 存在C 中的总电能为 2 1 1 2 2 2 Q U CV C = = 单位时间耗散在 R 中的电能 dW 2 i R dt = 变成环境的热能 没有别的能量来源 U → 0 i → 0 思考：若是超导体如何？ （2） 什么是电动势 非静电机制将正电荷由负极移到 + 极 用“ε ”来表示电动势
电动势的种态:化学能(电池),太阳能,机械能 目的:将+电由低电势→>高电势 大小:E、QW d移动单位电荷所付出的外界能量 E:有电压的量纲,伏特 但不是由静电场产生的,非静电力产生的 E大,可以维持高的电压 E小,不能高,只能低 电动势E是维持电流稳恒的先决条件 从电荷来讲,电压能被维持(补偿电荷) *从能量来讲,P2R不能被补偿→耗散成热能!非可逆过程 三)电究 (1)基本原则 原则1 kirchhoff(基尔霍夫)第一定律∑i流入=∑i流出 任意节点 微观基础7d=Pd电流电荷守恒 直流情况:=0(开始的瞬态除去),有=0,则对任 at 意一个节点,电流必守恒(流入=流出) 原则2 kirchhoff第二定律:将电源包括在里面,环电路任一闭合回路一周 电势差为0 这个原则的微观本质是静电场的环路定理 E·dl=0,导致电势 -V=Ed,进而-V2=0
电动势的种态： 化学能（电池），太阳能，机械能 目的： 将 电由低电势 高电势 + → 大小： dW dt ε = 移动单位电荷所付出的外界能量 ε ：有电压的量纲，伏特 但不是由静电场产生的，非静电力产生的 ε 大，可以维持高的电压 ε 小，不能高，只能低 电动势ε 是维持电流稳恒的先决条件 * 从电荷来讲，电压能被维持（补偿电荷） * 从能量来讲， 2 I R 不能被补偿 ⇒ 耗散成热能！非可逆过程 （三）电路分析原则 （1）基本原则 原则 1 kirchhoff (基尔霍夫) 第一定律 Σi 流入 = Σi 流出 c 任意节点 微观基础 j ds dr t ρ Ω Ω ∂ ⋅ =− ⋅ ∂ ∫ ∫ v v v 电流-电荷守恒 直流情况： 0 t ∂ρ = ∂ （一开始的瞬态除去） ， 有 0 v j ds = ∫ v v ，则对任 意一个节点，电流必守恒（流入=流出） 原则 2 kirchhoff 第二定律: 将电源包括在里面，环电路任一闭合回路一周 电势差为 0 这个原则的微观本质是静电场的环路定理： E dl ⋅ = 0 ∫ v v ，导致电势 b a b a V V E dl −= ⋅ ∫ v v ，进而V V a a − = 0
求解电路问题即时利用上述2个原则,在确定外部电动势的前提下,计算电 路中的电流电压分布。 例子 R1 在电路中的静电场及电势分布如同所示 (i)电路只有一个Loop,所以应用 Kirchhoff第一定律容易得到电流处处相等。 (ⅱi)应用 Kichhof第二定律将求解电流-电势差的关系: 由b点(电源的正极)开始,回到b V6-V=iR -=i 这两段电势差与电流的关系容易得到,即导体中的欧姆定律,问题是: Va -vb=? 即电源内的电势-电流的关系是如何?只有得知了上面的这个关系,我们才 能完全解决一个电路。 要回答这个问题,必须建立电源内部的欧姆定律。 (2)欧姆定律在电源里的形式 简单的分析发现欧姆定律在电源内部不成立。比如如下图所示的电源,电源内 部电场的方向是由正极指向负极,如果把电源作为欧姆介质处理,不假思索的应 用欧姆定律,则电流为l 方向由正极流向负极(假设载流子带正电)
求解电路问题即时利用上述 2 个原则，在确定外部电动势的前提下，计算电 路中的电流电压分布。 例子 R1 R2 E E R1 R2 ε i a V E 在电路中的静电场及电势分布如同所示。 （i）电路只有一个 Loop，所以应用 Kirchhoff 第一定律容易得到电流处处相等。 （ii）应用 Kichhoff 第二定律将求解电流-电势差的关系： 由 b 点（电源的正极）开始，回到 b V V iR b c − = 1 V V iR c a − = 2 这两段电势差与电流的关系容易得到，即导体中的欧姆定律， 问题是： ? V V a b − = 即电源内的电势-电流的关系是如何？只有得知了上面的这个关系，我们才 能完全解决一个电路。 要回答这个问题，必须建立电源内部的欧姆定律。 （2）欧姆定律在电源里的形式 简单的分析发现欧姆定律在电源内部不成立。比如如下图所示的电源，电源内 部电场的方向是由正极指向负极，如果把电源作为欧姆介质处理，不假思索的应 用欧姆定律，则电流为 V V b a i r − = ，方向由正极流向负极（假设载流子带正电）
K 负 正极 然而真实的情形却是电流在电源内部由负极流向正极!电流的方向与电场反向! 欧姆定律j=σE不成立!电源是欧姆介质吗?电源里的能量如何转化的? 回忆:电导(阻)的推导 FasFp 电荷的运动是由外部驱动力与散射力共同驱动的 稳恒电流:=-F E 然而后一个等号在只有静电力下才正确! 在电源这一特殊的媒质中,驱动力P可以不仅仅是静电场力qE,还可以由 其他来源-非静电等效力。 要解决这个问题,需引入等效非静电场K。由电动势的定义(从负极移动单 位电荷到正极的过程中,外部非静电力所做的总功),知道 E K q K=Fx/q为非静力等效场。则在电源中,电荷的运动是由静电力与非静电 力的合力驱动的: F=gE+F=ge+K) 故 Va=2-(e+k) 解之可得电流
- - - - - + + + + + 负极 正 - + 极 E K i 然而真实的情形却是电流在电源内部由负极流向正极！电流的方向与电场反向！ 欧姆定律 j = σ E v v 不成立！电源是欧姆介质吗？电源里的能量如何转化的？ 回忆：电导（阻）的推导 d d F V V m= − v v v τ --- 电荷的运动是由外部驱动力与散射力共同驱动的 稳恒电流： d q V F m m E τ τ = = 然而后一个等号在只有静电力下才正确！ 在电源这一特殊的媒质中，驱动力 F v 可以不仅仅是静电场力 ，还可以由 其他来源-非静电等效力。 qE v 要解决这个问题，需引入等效非静电场 K r 。由电动势的定义（丛负极移动单 位电荷到正极的过程中，外部非静电力所做的总功），知道 _ _ W Fex dl K dl q q ε Δ + + = = ⋅= ⋅ Δ ∫ ∫ v v r v / K = F q ex v r 为非静力等效场。则在电源中，电荷的运动是由静电力与非静电 力的合力驱动的： ( ) F ex =+= + qE F q E K v vv vv 故： ( ) d q V E m K τ = + v v v 解之可得电流
(E+K)=(E+K) 注意到K‖(=E)(电动势的方向总是由极指向+极),可得电源内的欧姆定律 e+K 3=p7 ●理想电源P=0(没有杂质晶格散射带走能量,即没有内电阻) E+K=0→K≡-E F=∫Rd=Ed-「Ed= ●非理想电源P=有限(电流流过电源内部时有损耗发生) E+K=p(K>E,j与k同向) 左:」(E+K)M=[ELf+「Rm -V+ 4 (内电阻) V=E-ir←微观证明 静电场外非静电力 此为电源作为一特殊电学材料的本构方程! 电流反向,则:T=1b-V=E+ir, 此即为什么电动势方向不依赖于电流方向的微观基础。 回到刚才的例题, V-v=-8+ ir 解之可得 E=I(R+R+r)=i=E/(r+R+R) 注意:基尔霍未第二定律的本质是静电场的保守力性质
2 ( )( ) d nq J nqV E K E K m τ = = += + σ v v vv vv 注意到 K || ( ) −E v v （电动势的方向总是由-极指向+ 极），可得电源内的欧姆定律 E + = K J ρ v v v z 理想电源 ρ = 0 （没有杂质晶格散射带走能量，即没有内电阻） E K+= ⇒ 0 v v K ≡ −E v v ε K dl E dl E dl V V + +− + − − −+ = ⋅ =− ⋅ = ⋅ = − ∫ ∫∫ r rr r rr z 非理想电源 ρ = 有限 （电流流过电源内部时有损耗发生） E + = K ρ j v v r （K > -E ， j r 与 K v 同向） 左： ( ) b b a aa b E += + K dl E dl K dl ∫ ∫∫ vv v v v v v = V V a b − + ε 右： L J A ri A ρ = （内电阻） VV i b a − = − ε r Å 微观证明 ⇓ ⇓ 静电场 外非静电力 此为电源作为一特殊电学材料的本构方程！ 电流反向，则：V V= − =+ b a V ir ε ε ， 此即为什么电动势方向不依赖于电流方向的微观基础。 回到刚才的例题， V V ir a b − =− + ε 解之可得 1 2 1 2 ε = + + ⇒= + + iR R r i r R R ( ) /( ε ) 注意：基尔霍夫第二定律的本质是静电场的保守力性质
与有无电动势并无关系, 电动势的加入仅仅是将Vb-V=E由外界条件确定下来而已 (3)例题 总结:电路分析原则 ①设定电流方向 ②根据电流守恒得到电流之间的关系式 ③选定一闭合回路,到用I定V,i关系式 a在电流之间电压下降 b经过电动势 +上升 例1: R 求iV,Vb,V2,Va,V 解:基尔霍夫第一定律 l处处相等 基尔霍夫第二定律 由a出发,一+E1-E2-i2-iR=0 i(+l2+R)=E1-E 万+2+R E1>E2方向正确 E1<E2l<0方向与所设相反 +r,+p(-E2)
与有无电动势并无关系， 电动势的加入仅仅是将 V V b a − = ε 由外界条件确定下来而已 （3）例题 总结：电路分析原则 ① 设定电流方向 ② 根据电流守恒得到电流之间的关系式 ③ 选定一闭合回路， 到用 I 定 V，i 关系式 a 在电流之间电压下降 b 经过电动势 −→+ 上升 例 1： ε2 r 2 R r 1 ε1 i a b c d e 求 ,,,,, abcde iV V V V V 解：基尔霍夫第一定律 i 处处相等 基尔霍夫第二定律 由 出发， a 112 2 −+− − − = ir ir iR ε ε 0 12 1 ir r R ( ) 2 ++ = − ε ε 1 2 1 2 i rr R ε −ε = + + 1 ε > 2 ε 方向正确 1 ε < 2 ε i < 0 方向与所设相反 1 1 1 1 2 ( ) a b r V V ir rr R 2 −== − ε ε + +
e2 +n+R(6-E2) R V=ir 万+石+P(E1-E2) 例2:求解电路 R R2 loop 1 l1=2+l3 kirchhoff第一定律 E1-iR1-i3R2-E2-1R1=0<LooP1用 kirchhoff第二定律 i2R-E2-2R1+E2+i3R2=0←10oP2 E1-82 2(R+R2) R (E1-E2) 4R(R+R2)
V V b c 1 − =−ε V V c d 2 − = ε 2 2 1 1 2 ( ) d e r V V ir rr R 2 −= = − ε ε + + 1 2 1 2 ( ) e a R V V iR rr R −== − ε ε + + 例 2：求解电路 i 2 i 3 i 1 i 3 R1 R1 R1 R1 R2 ε 1 i 1 i 2 loop1 loop2 1 2 iii = + 3 kirchhoff 第一定律 1 11 3 2 2 11 ε − − −− = iR iR iR ε 0 ⇐ LOOP1 用 kirchhoff 第二定律 21 2 21 2 32 − −− ++ = iR iR iR ε ε 0 ⇐ LOOP2 1 2 3 1 2 2( ) i R R ε −ε = + 2 2 1 11 2 ( ) 4( ) R i RR R 2 = − ε ε +
R2+2RE1-E2 2R,+R 2R2(R+R2)4R(R+B)~e2) 尽管取了不同的定义及方向,结果完全一样 (4)电路中的电场 有任一电路: t=0没有电荷分布,没有E在电路中p(r)=0E(r)=0 *t→∞电流稳恒下来,J=pE,J有,则E必有 E有,哪里来? 稳恒电流条件下,导体中有电场E,有电荷分布 与静电平衡条件不同!!!! 注意:电流稳恒的过程是和电荷的积累过程联在一起的此过程叫瞬态过程 ( transient)解态过程由光速决定,不是电荷的实际运动速度2=E电流太大,P2中孔径太小,有些电荷被阻在界面 电荷在P1P2界面积累起来E1=E0-E
2 1 12 1 2 1 1 1 1 2 11 2 2 2 ( ) 2 2( ) 4 ( ) R R R R i R R R RR R 2 ε ε ε ε + − + = = + + − 尽管取了不同的定义及方向，结果完全一样 （4）电路中的电场 有任一电路： * t = 0 没有电荷分布，没有 E v 在电路中 ρ() 0 r = E r() 0 = v * t → ∞ 电流稳恒下来, J = ρE v v ， J v 有，则 E v 必有 E v 有， 哪里来？ 稳恒电流条件下，导体中有电场 E v ，有电荷分布 与静电平衡条件不同！！！！ 注意：电流稳恒的过程是和电荷的积累过程联在一起的，此过程叫瞬态过程 （transient）瞬态过程由光速决定，不是电荷的实际运动速度 ⇐ 复杂 具体例子： E' + + + ρ1 >>ρ2 Vb ρ2 ρ1 V a E0 E' + 一开始是均匀电场 E0 0 1 2 1 2 E E J J 0 ρ ρ = >> = 电流太大， ρ 2 中孔径太小，有些电荷被阻在界面 电荷在 ρ1 ρ 2 界面积累起来 EEE 1 0 = − ′